不動點定理? ??課程分享15

? ? ? ?這是通識選修課《經濟研究中的計算方法》第六講的主要課例。一方面，它在經濟學研究中有所應用；另一方面，它是計算方法中解高次方程迭代法的理論基礎。

一、不動點定理

? ? ? ?對于空間X到X自身的映射f，滿足f（x）＝x的點x∈X，被稱為f的不動點。起源于求解方程的代數問題，后轉化為幾何理論中研究不動點的存在、個數、性質與求法的理論，成為拓撲學和泛函分析中的重要內容。

? ? ? ?較早的不動點定理是壓縮映射原理，1890年由法國數學家皮卡提出，后為波蘭數學家巴拿赫（1922）所發展，成為許多方程的解的存在性、唯一性及迭代解法的理論基礎。

? ? ? ?1910年荷蘭數學家布勞威爾證明了多面體的不動點定理：設X是歐氏空間中的緊凸集，則X到自身的每個連續映射都至少有一個不動點。這個定理被稱為布勞威爾不動點定理。

二、布勞威爾

? ? ? ?布勞威爾（Brouwer），荷蘭數學家。1881年2月27日生于荷蘭的奧弗希，1966年12月2日于布拉里克姆去世。1904年畢業于阿姆斯特丹大學。后在G.曼諾利的影響下，開始接觸拓撲學和數學基礎。1912年為阿姆斯特丹大學教授，同年為荷蘭皇家科學院院士。他強調數學直覺，堅持數學對象必須可以構造，被視為直覺主義的創始人和代表人物。

布勞威爾

? ? ? ?1926年美國數學家萊夫謝茨發展了布勞威爾的定理，得到不動點指數中的萊夫謝茨不動點定理。1913年，G．D．伯克霍夫證明了前一年法國數學家龐加萊關于三體問題的一個猜想，得到龐加萊－伯克霍夫不動點定理。G．D．伯克霍夫還與另一美國數學家凱洛格于1922年共同把不動點定理推廣到無窮維函數空間，并應用于證明微分方程解的存在性。

? ? ? ?1930年波蘭數學家紹德爾將布勞威爾不動點定理推廣到線性賦范空間中的凸緊集、巴拿赫空間中的凸緊集等到自身的映射上，得到紹德爾不定點定理。1935年原蘇聯數學家吉洪諾夫將布勞威爾的結果推廣到局部凸拓撲線性空間中凸緊集到自身的映射上，得到吉洪諾夫不動點定理。 ???

三、應用

? ? ? ?不動點定理在代數方程、微分方程、積分方程、數理經濟學等學科中皆有廣泛的應用。例如，關于代數方程的基本定理，要證實f(x)=x必有一根，只須證實在適當大的圓內函數f(x)有一不動點即可。

? ? ? ?在運籌學中，不動點定理的用途至少有二：一為對策論中用來證實非合作對策的平衡點的存在和求出平衡點；一為數學規劃中用來尋求數學規劃的最優解。

? ? ? ?經濟學不動點理論或者均衡理論使得經濟學可以數量化。經濟學家證實了供銷平衡點的存在，就是一個平衡點可以使得所有買賣的商人都滿足，也就是說獲得帕累拖最優效應。為此有兩位經濟學家獲得了諾貝爾獎。

? ? ? ?有學者甚至提出“語言不動點”猜想（甘邦民）。他認為，其實語言學和經濟學一樣，也涉及了個人行為和集體行為這兩種行為研究 ，所以語言學規則與不規則之間應存在不動點。

? ? ? ?比如：語言運用有“重復表示強調率”，也就是如果一個語言單位重復出現，言說主體一定就要強調某樣事物，如：

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? ? ? ?重復一次我們認為是強調，重復兩次我們認為強調意味更強，重復三次我們認為強調意味更加更加強，那么強調到五次甚至六次的時候呢，我們就一定會認為言說者不是結巴，就是傻。所以在我們語言心理接受上也有一個語言心理平衡點，開始“重復表示強調率”邏輯展開，但是隨著次數增多，在某一點后，這個規律將不再適用，而是起到相反的效果，雖然每個人對這個點的感覺不盡相同，但是卻這個點應該在[4—6次]這個區間當中，這也是概率論的方法準備開始進入語言的時機。

? ? ? ?結論值得商榷，但從方法論看很有意義。

四、學生的發散思維

? ? ? ?某次期末考試中，一學生受此啟發，認真寫了自己的思考和成果，我給了高分，還抄錄下來（圖1、圖2、圖3）。教學相長，共同進步。

圖1

圖2

圖3

15級金融學2班 ?葉韶能 ??2017.5.14

? ? ? ?在上到布勞威爾不動點定理的時候，講到比如用迭代法算時，最后的結果會趨于一個穩定的數值，此時我的腦海中迅速聯想到兩個很有趣的思考方向。

? ? ? ?第一個方向是卡農中的不動點。在音樂的定義上，卡農是指以不同的調子上下顛倒或從后往前地進行演奏。這里就需要說到卡農的一個基本點，它是建立在一個單一主題與它相伴而奏的。如果我們將一首卡農進行一個徹底的刨析，將不同聲調的do re mi fa so mi fa so重復循環，得到最核心的東西就是它所要表達的主題。音樂中的不動點其實與數學上的理論并不是二元對立的，一旦我們認識到這種關系，我們就可以跳躍到另外一個思考方向上。

? ? ? ?另外一個思考方向是哲學上的，最近在讀到的一些哲學書籍上有這么一句出自古希臘哲學的話：如果是兩個理性而真誠的真理追求者爭論問題，爭論的結果必然是二人達成一致。換句話說，如果爭論不歡而散，那么其中必然有一方是虛偽的。按照我的淺解，如果一個不動點方程最后的計算結果是趨于某一個穩定的數值，那么我們可以說這個探討過程是正確的，因為這個不動點是客觀存在的。如果最后的計算結果錯誤，那么我們必定在這個計算過程中出現了謬誤。更深入了解真理的探討，在《萬萬沒想到---用理工科思維理解世界》這本書中作者提及了一個觀點就是不一致的達成。比如說我們在討論美國近日會不會攻打朝鮮，我的觀點是會，理由1，2，3羅列出來。可是另外一個反對，他的觀點是不會，理由1，2，3反駁。這時我就會思考是不是對方掌握了更前沿及時的信息而做出這樣的判斷，在這種對話博弈中，最后雙方達成一致，這與我們在探索不動點的過程中難道不是相似的嗎？

? ? ? ?雖然不知道這種思考方向對不對，但我覺得其實很多學科問題都可以進行交叉聯系，以此區探尋隱匿在其中的，真正的自然規律。