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定義壓縮映射 設 $X$ 是度量空間， $T$ 是 $X$ 到 $X$ 中的映射，如果存在一個數 $\alpha$ , $0<\alpha<1$ , 使得對所有的 $x, y \in X,$
$d(Tx, Ty) \leq \alpha d(x,y),$
則稱T是壓縮映射.

定理1 壓縮映射定理（不動點定理） 壓縮映射有唯一的不動點.

設 $X$ 是完備的度量空間， $T$ 是 $X$ 上的壓縮映射，那么 $T$ 有且只有一個不動點（也就是說，方程 $Tx=x$ 有且只有一個解）.

證明略.

定理2 隱函數存在定理 設函數 $f(x,y)$ 在帶狀區域 $a\leq x \leq b, -\infty<y<\infty$ 中處處連續，且處處有關于y的偏導數 $f_y'(x,y)$ . 如果還存在常數m和M，滿足 $0<m\leq f_y'(x,y) \leq M$ , $m<M$ ,
則方程 $f(x,y)=0$ 在區間 $[a,b]$ 上必有唯一的連續函數 $y=\varphi(x)$ 作為解，即
$f(x,\varphi(x))\equiv0, x \in [a,b]$
證明在完備空間 $C[a,b]$ 中作映射 $A$ , 使得對任意的函數 $\varphi \in C[a,b]$ , 有 $(A\varphi)(x)=\varphi(x)-\frac1M f(x,\varphi(x))$ . 按照定理條件, $f(x,y)$ 是連續的, 因此 $(A\varphi)(x)$ 也連續, 即 $A\varphi \in C[a,b]$ . 所以 $A$ 是 $C[a,b]$ 到自身的映射.

現在證明A是壓縮映射. 任取 $\varphi_1, \varphi_2 \in C[a,b]$ , 根據微分中值定理, 存在 $0<\theta<1$ , 滿足
$\begin{align*}&|(A\varphi_2)(x)-(A\varphi_1)(x)|\\=& |\varphi_2(x)-\frac 1M f(x,\varphi_2(x))-\varphi_1(x)+\frac 1M f(x,\varphi_1(x))|\\=& |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)-\notag \\ &\frac 1M f_y'[x,\varphi_1(x)+\theta(\varphi_2(x)-\varphi_1(x))]\cdot (\varphi_2(x)-\varphi_1(x))| \qquad\text{(Lagrange)}\\&\leq |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|(1-\frac mM).\end{align*}$
由于 $0<\frac {m}{M}<1$ , 所以令 $\alpha=1-\frac mM$ , 則有 $0<\alpha<1$ , 且
$|(A\varphi_2)(x)-(A\varphi_1)(x)|\leq \alpha |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|$
按 $C[a,b]$ 中距離的定義, 即知
$d(A\varphi_2, A\varphi_1) \leq \alpha d(\varphi_2, \varphi_1)$
因此 $A$ 是壓縮映射. 由壓縮映射原理, 存在唯一的 $\varphi \in C[a,b]$ , 滿足 $A\varphi=\varphi$ , 即 $\varphi(x) \equiv\varphi(x)-\frac1M f(x,\varphi(x))$ . 因此,
$f(x,\varphi(x))\equiv0,\quad \forall x\in [a,b]$
證畢.