從拓?fù)浣嵌群?jiǎn)單證明Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理

這就是大名鼎鼎的Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，第一次接觸它是在大一數(shù)學(xué)分析課，第二次是在大二上學(xué)期的復(fù)分析，其證明都帶有濃重的分析色彩. 即將結(jié)束的大二下學(xué)期里的拓?fù)湔n再一次出現(xiàn)了這個(gè)定理，利用同倫和基本群可以讓事情變得更加簡(jiǎn)單.

\begin{align}Lem.&S^1不是D^2的收縮核.\\&pf.記j:S^1\rightarrow D^2為嵌入，若S^1是D^2的收縮核，則\\&\exists \gamma :D^2\rightarrow S^1 使得\gamma j=id_{S^1}\\&以上誘導(dǎo)了基本群之間的同態(tài)：\gamma _*j_*=id_{\pi _1(S^1)}，記\sigma _1=e^{2\pi it}為環(huán)繞S^1一周的道路\\&則由于D^2單連通，[\sigma _1]=id([\sigma _1])=\gamma _*j_*[\sigma _1]=\gamma _*(1)=1，與\sigma _1非平凡是矛盾的.\Box\end{align}

這本身是一個(gè)極有用的引理，矛盾的本質(zhì)在于，作為收縮核應(yīng)與大空間有相同的倫型.

\begin{align}pf \ of\ Thm&.若定理不成立，則\exists f:D^2\rightarrow D^2使得\forall x\in D^2,f(x)\neq x.\\&作f(x)出發(fā)的射線\overline{f(x)\rightarrow x}與邊界圓周交于r(x)，顯然r(x)連續(xù).\\&然而\forall x\in S^1,r(x)=x,\forall x\in (D^2)^{\circ },r(x)\neq x,\\&這說(shuō)明在r之下S^1成為D^2的收縮核，這不可能.\Box\end{align}

至此，用了一個(gè)很直觀的引理解決了Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理的證明.

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