上一節學習了一個基礎的不動點定理，在巴拿赫空間中，閉集上的收縮算子存在唯一的不動點。

現在考慮其應用：

積分方程，對于中文互聯網上不多見，搜索不到多少東西。不過積分方程在數學物理中具有很高的價值，通常而言的本征值問題，最初就是從積分方程中得出的，可以了解一下柯朗，希爾伯特的數學物理方法一書，可以說是開山之作了，里面就專門介紹了線性積分方程理論。不過，這本書時代過于久遠，所以看上去很不習慣，很多概念都過時了。看這本書其實也是為了以現代語言學習積分方程。

積分方程，本身可以視為一個算子，于是可以化為不動點問題。

接下來只要證明這個算子A滿足定理條件即可，這就需要對參數值和函數添加一定的限制，這些限制條件是為了滿足定理條件而引入的，所以可由證明中得出，這里就不寫了。

于是，對于特定的情況下，這個不動點問題有唯一解，可以進行迭代求解。這就是積分方程的迭代法求解的原理。

對于微分方程，采用了取巧的方式，任意的一階微分方程總可化為積分方程

這樣只要證明積分方程有解，那微分方程自然有解。而且可以進行迭代求解，這種迭代法的收斂性由一個定理給出。自然，對于這種微分方程也是有條件限制的。這就與微分方程的適定性理論聯系起來了。著名的皮卡定理。

巴拿赫不動點，核心就是一個壓縮映射，因為巴拿赫空間一般是滿足的，常用的就是閉區間上的連續函數空間，不管是一元的還是多元的沒有什么太大區別。所以，只要能證明一個算子是收縮的，問題就自然獲得了解決。這種普遍性，使得不動點定理在非線性泛函分析中也能發揮巨大作用。就比如上面的算子方程的例子，并沒有限定算子必須是線性的。