Picard 存在唯一性定理

我們主要研究一階規(guī)范形式的微分方程組

$\dfrac{\textf9dig1dx_i}{\textmgt9e84t}=f_i(t,x_1,\cdots,x_n)\quad(i=1,2,\cdots,n)\quad(5.1)$

其中 $f_i$ 是 $t,x_1,\cdots,x_n$ 的已知函數(shù). 這并不失一般性，因為在第一章我們已指出任何高階規(guī)范形式的微分方程或微分方程組均可化為形如（5.1）的一階規(guī)范形式的微分方程組. 令

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\\\\\vdots\\\\x_n\end{pmatrix},\;\boldsymbol{f}(t,\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}f_1(t,x_1,\cdots,x_n)\\\\\vdots\\\\f_n(t,x_1,\cdots,x _n)\end{pmatrix},$

則微分方程組（5.1）可寫成如下形式：

$\dfrac{\texthmftddr\boldsymbol{x}}{\text9uixur1t}=\boldsymbol{f}(t,\boldsymbol{x}),\quad(5.2)$

當 $n=1$ 時，這就是一個一階微分方程. 本章中我們往往只對 $n=1$ 的情況敘述和證明有關(guān)定理. 對一般情況，定理的陳述和證明完全時類似的.

Lipschitz條件

在本節(jié)我們考慮微分方程

$\dfrac{\texthokp66wx}{\textk51nms1t}=f(t,x)\quad(5.3)$

積相應的初值問題：

$\dfrac{\textzboch0kx}{\text9lbymatt}=f(t,x),\;x(t_0)=x_0\quad(5.4)$

其中 $f(t,x)$ 在矩形區(qū)域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t-t_0|\leqslant a,\,|x-x_0|\leqslant b\}$

上連續(xù)，稱 $f(t,x)$ 在 $R$ 上關(guān)于 $x$ 滿足 Lipschitz條件，如果存在常數(shù) $L$ ，使得對任意的 $(t,x_1)\in\mathbb{R}$ 及 $(t,x_2)\in\mathbb{R}$ ，不等式

$\left|f(t,x_1)-f(t,x_2)\right|\leqslant L|x_1-x_2|$

都成立， $L$ 稱為 Lipschitz 常數(shù). 我們有如下的 Picard 存在唯一性定理：

定理 5.1-Picard 存在唯一性定理

若 $f(t,x)$ 在 $R$ 上連續(xù)且關(guān)于 $x$ 滿足 Lipschitz條件,Lipschitz常數(shù)為 $L$ ，則初值問題（5.4）在區(qū)間 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 上的解存在且唯一. 其中

$h=\min\left\{a,\dfrac{b}{M}\right\},\,M=\max\{|f(t,x)|:(t,x)\in\mathbb{R}\}.$

證明

我們用 Picard 逐次逼近法證明這個定理，為了簡單起見，只就區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 來討論，區(qū)間 $[t_0-h,t_0]$ 的討論完全類似. 證明分五步完成.

第一步

初值問題（5.4）等價于如下的積分方程：
$\displaystyle x(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,x(t))\texte4upcha\tau\quad(5.5)$

第二步

構(gòu)造 Picard 迭代序列 $\{\varphi_n(t)\}$ ，其中 $\varphi_0(t)\equiv x_0$ ，且

$\varphi_n(t)=x_0+\displaystyle\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_{n-1}(\tau))\textcg9emvs\tau,\,n=1,2,\cdots\quad(5.6)$

這里 $t\in[t_0,t_0+h]$ . 我們用數(shù)學歸納法證明對所有的 $n$ ，函數(shù) $\varphi_n(t)$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上有定義、連續(xù)且滿足不等式

$|\varphi_n(t)-x_0|\leqslant b$

事實上，當 $n=0$ 時上述結(jié)論顯然成立. 假設(shè)當 $n=k$ 時這一命題成立. 那么當 $n=k+1$ 時，由于 $|\varphi_k(\tau)-x_0|\leqslant b$ ，故 $f(\tau,\varphi_k(\tau))$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上有定義且連續(xù). 從而 $\varphi_{k+1}(t)$ 按（5.6）定義方式在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上有意義且連續(xù). 并且

$\displaystyle|\varphi_{k+1}(t)-x_0|\leqslant\int_{t_0}^t|f(\tau,\varphi_k(\tau))|\text6jnblym\tau\leqslant M(t-t_0)\leqslant Mh\leqslant b$

故當 $n=k+1$ 時，命題也成立.

第三步

函數(shù)序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收斂.

為證明這一點，只需證明級數(shù)

$\displaystyle\varphi_0(t)+\sum_{k=1}^{\infty}(\varphi_k(t)-\varphi_{k-1}),\;t\in[t_0,t_0+h]$

在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收斂，因為它的前 $n$ 項之和為 $\varphi_n(t)$ . 類似第三章的存在唯一性定理，用數(shù)學歸納法容易證明在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上成立不等式

$|\varphi_t(t)-\varphi_{k-1}(t)|\leqslant\dfrac{ML^{k-1}}{k!}(t-t_0)^k.$

由此，當 $t\in[t_0,t_0+h]$ 時有

$|\varphi_k(t)-\varphi_{k-1}(t)|\leqslant\dfrac{ML^{k-1}}{k!}h^k$

用比值判別法容易知道，數(shù)值級數(shù)

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{ML^{k-1}}{k!}h^k$

收斂，因此所論函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收斂. 從而函數(shù)序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收斂.

設(shè)

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varphi_n(t)=\varphi(t)$ ,

則 $\varphi(t)$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上有定義，連續(xù)且滿足不等式

$|\varphi(t)-x_0|\leqslant b.$

第四步

證明 $x(t)=\varphi(t)$ 是積分方程（5.5）的解. 由 Lipschitz 條件得

$|f(t,\varphi_(t))-f(t,\varphi_{n-1}(t))|\leqslant L|\varphi_n(t)-\varphi_{n-1}(t)|.$

再由連續(xù)函數(shù)序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收斂于連續(xù)函數(shù) $\varphi(t)$ 的事實，只連續(xù)函數(shù)序列 $\{f(t,\varphi_n(t))\}$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上一致收斂與連續(xù)函數(shù) $f(t,\varphi(t))$ . 由此得

$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\varphi_n\\=&x_0+\lim_{n\to\infty}\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_{n-1}(\tau))\text74u661p\tau\\ =&x_0+\int_{t_0}^t\lim_{n\to\infty}f(\tau,\varphi_{n-1}(\tau))\textklzetzn\tau \end{aligned}$

即

$\displaystyle\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi(\tau)\texttmi4baf\tau$

因此 $x(t)=\varphi(t)$ 是積分方程（5.5）的連續(xù)解，從而也是初值問題（5，4）在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上的連續(xù)解.

第五步

證明初值問題（5.4）在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上的解唯一. 設(shè) $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 均為初值問題（5.4）在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上的解，則 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 在區(qū)間 $[t_0,t_0+h]$ 上分別滿足積分方程

$\displaystyle\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi(\tau))\text2p14qeb\tau,$

$\displaystyle\psi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\psi(\tau))\textsi1zvhu\tau.$

兩式相減并由 Lipschitz 條件得

$\begin{aligned} |\varphi(t)-\psi(t)|\leqslant&\int_{t_0}^t|f(\tau,\varphi(\tau))-f(\tau,\varphi(\tau))|\text3diw6od\tau\\ \leqslant&L\int_{t_0}^t|\varphi(\tau)-\psi(\tau)|\textl1666h6\tau\quad(5.7) \end{aligned}$

令 $v(t)$ 表示不等式（5.7）右端的積分，即

$v(t)=\displaystyle\int_{t_0}^t|\varphi(\tau)-\psi(\tau)|\text8swjxlc\tau$

則 $v(t)$ 在 $[t_0,t_0+h]$ 上連續(xù)可微， $v(t)\geqslant0$ ，并滿足不等式 $v'(t)\leqslant Lv(t)$ 或等價地,

$\dfrac{\textmrolq9l}{\text7opjkngt}(e^{-L(t-t_0)}v(t))\leqslant 0.$

故函數(shù) $e^{L(t-t_0)}v(t)$ 在 $[t_0,t_0+h]$ 上單調(diào)下降，因此， $\forall \;t\in[t_0,t_0+h],$

$0\leqslant e^{_L(t-t_0)}v(t)\leqslant v(t_0)=0$ ,

從而在 $[t_0,t_0+h]$ 上 $[t_0,t_0+h]$ 上， $v(t)\equiv0$ ，即 $\varphi(t)\equiv\psi(t).$

綜合以上五步，我們就完成了對 Picard 存在唯一性的證明.

注 5.1

在實際應用重，Lipschitz 條件往往難以檢驗. 這是我們常常用 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 在 $R$ 上存在且連續(xù)代替. 因為若 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 在 $R$ 上存在連續(xù)，則必有解，不妨設(shè)

$L=\max\left\{\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|:(t,x)\in\mathbb{R}\right\}$ ,

由 Lagrange 中值定理，對任意的 $(t,x_1)\in\mathbb{R}$ 及 $(t,x_2)\in\mathbb{R}$ ，均存在介于 $x_1$ 及 $x_2$ 之間的數(shù) $\xi$ ，使得

$\left|f(t,x_1)-f(t,x_2)\right|=\left|\dfrac{\partial f(t,\xi)}{\partial x}(x_1-x_2)\right|\leqslant L|x_1-x_2|.$

因此不難看出 $f(t,x)$ 關(guān)于 $x$ 滿足 Lipschitz 條件.

注 5.2

不難看出對一階線性方程

$\dfrac{\textm0hpwv0x}{\textpq5slext}=a(t)x+f(t)\quad(5.8)$

只要 $a(t)$ 和 $f(t)$ 在某區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上連續(xù)， Picard 存在唯一性定理的條件就能滿足. 并且這時由初值條件 $x(t_0)=x_0$ 確定的解在整個區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上都有定義.這是因為方程（5.8）右端的函數(shù)對 $x$ 沒有任何限制，證明中構(gòu)造的 Picard 迭代序列在整個區(qū)間 $[\alpha,\,\beta]$ 上都有定義且一致連續(xù).

注 5.3

Picard 定理不但肯定了解的存在唯一性，而且證明定理過程中構(gòu)造的 Picard 迭代序列實際上給出了一種求初值問題（5.4）的近似解的方法，因而有一定實用價值. 設(shè) $x=\varphi(t)$ 是初值問題（5.4）在區(qū)間 $[t_0-h,t_0+h]$ 上的連續(xù)解，易證第 $n$ 次近似解 $\varphi_n(t)$ 和真正解 $\varphi(t)$ 在區(qū)間 $[t_0-h,t_0+h]$ 上有誤差估計

$\left|\varphi_n(t)-\varphi(t)\right|\leqslant\dfrac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}\quad(5.9)$

在進行近似計算時，可根據(jù)誤差要求由這一誤差估計確定 $n$ 的值，從而得到所需的逼近函數(shù) $\varphi_n(t)$ .

例 5.1

考慮定義在矩形區(qū)域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t|\leqslant1,\,|x|\leqslant1\}$

上的初值問題

$\dfrac{\textc50ja7vx}{\text5o6qkyot}=x+1,\,x(0)=0.$

其右端函數(shù) $f(t,x)=x+1$ 在區(qū)域 $R$ 上關(guān)于 $x$ 滿足 Lipschitz 條件，Lipschitz 條件，Lipschitz 常數(shù) $L=1$ ，其最大值 $M=2,\,h=\min(1,\dfrac12)=\dfrac12$ ，由 Picard 存在唯一性定理，它在區(qū)間 $\left[-\dfrac12,\dfrac12\right]$ 上的解存在且唯一. 容易構(gòu)造出它的 Picard 迭代序列如下：

$\begin{aligned} &\varphi_0(t)=0,\\ &\varphi_1(t)=0+\int_0^t(\varphi_0(\tau)+1)\text2dwwg5c\tau=t\\ &\varphi_2(t)=0+\int_0^t(\varphi_1(\tau)+1)\textwscegqg\tau=t+\dfrac{t^2}{2!},\\ &\varphi_3(t)=0+\int_0^t(\varphi_2(\tau)+1)\textimwgsuf\tau=t+\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^3}{3!}. \end{aligned}$

可歸納求出

$\varphi_n(t)=t+\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^3}{3!}+\cdots+\dfrac{t^n}{n!}.$

顯然函數(shù)序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 在區(qū)間 $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 上一致收斂于函數(shù) $\varphi(t)=e^t-1$ . 它與由變量分離法求出的所給初值問題的解完全一樣. 由（5.9）我們得逼近函數(shù) $\varphi_n(t)$ 的誤差估計：

$|\varphi_n(t)-\varphi(t)|\leqslant\dfrac{1}{2^n(n+1)!}.$

三个男躁一个女,国精产品一区一手机的秘密,麦子交换系列最经典十句话,欧美国产综合欧美视频

微分方程-Picard 存在唯一性定理

微分方程-Picard 存在唯一性定理

Picard 存在唯一性定理

Lipschitz條件

定理 5.1-Picard 存在唯一性定理