微分方程組
彈性理論使用微分方程，研究天體運動（兩個或多個物體相互作用）則使用微分方程組。在天文學中，列出微分方程的基礎是牛頓第二定律F=ma，1750年歐拉給出牛二在固定直角坐標系的分析形式：他還指出對于質點，m是總質量；對于分布均勻的物體，m是dM。
一個物體在另一個固定物體的引力下運動，兩個微分方程可以合成一個只含x,y（直角坐標）或r和θ（極坐標）的微分方程，運動軌跡是一條以固定物體為焦點的圓錐曲線。如果兩個物體在相互吸引下一起運動，就需要列六個微分方程的方程組，它的解表明：每個物體都是按（以兩個物體質心為焦點的）圓錐曲線運動。牛頓在《原理》中用幾何法解決了這一問題，但沒有做分析工作。早期法國人在力學上使用笛卡爾的理論，一直到伏爾泰1727年訪問倫敦后才把牛頓力學帶回法國（然后伏爾泰寫了牛頓看到蘋果落地從而發現萬有引力的故事，好家伙太能編了）。17世紀幾大數學家惠更斯、萊布尼茨、約翰伯努利反對萬有引力的觀點（不就是跟牛頓吵架的陣營嗎），丹尼爾伯努利用分析方法研究行星運動，得到了法國科學院的獎金（怪不得他爹很生氣，屬于政見不合啊），歐拉完全使用分析方法研究行星與彗星運動。
假設有n個球形物體，質量分布是球對稱的（密度為半徑的函數），得到第i個物體的運動方程：
每個物體3個方程，n個物體就是3n個方程，n體問題包括三體問題，是不能精確解出的。因此人們選擇了兩個方向：一、探索可以推導什么形式的、可以闡明運動的定理。二、找近似解，這就是攝動法。
對第一類，牛頓在《原理》中給出了n體運動幾個定理。如n體質量中心在一直線上做勻速運動。拉格朗日（1736-1813）則給出了三體問題的一些特殊情形和某些精確的結果。
拉格朗日小時候不愛學數學，17歲看了哈雷寫牛頓發明微積分的文章迷上數學分析（百度說這篇文章叫《論分析方法的優點》）19歲時他成為都靈皇家炮兵學校的數學教授（18歲時寫論文給歐拉，歐拉說你搞的這個東西萊布尼茨50年前搞過了，但是他沒有放棄，發展了歐拉提出的變分法，一下子有了名氣，當上了教授，真的是好勵tian志cai呢）。雖然拉格朗日的工作涉及許多領域，如數論、代數方程、微積分、微分方程、變分法，但他的主要興趣是把引力定律應用于行星運動。阿基米德是拉格朗日的偶像。
拉格朗日的代表作《分析力學》完善了牛頓的工作，但當時很難找到人出版，因此他曾經發牢騷說牛頓運氣太好了，就這么一個宇宙，而牛頓已經發現了它的數學規律（出生早了，沒趕上量子力學的好時代）。
1772年拉格朗日在三體問題中找到了一些特殊精確解，其中一個說：這些物體能作運動使運動軌跡同時描出三個相似橢圓，而且以三個物體的質心為共同焦點。一個是假定三個物體從一個等邊三角形的頂點開始運動，它們在三角形上運動，三角形本身圍繞著三物體質心運動，1906年被發現適用于太陽、木星和一個叫阿喀琉斯的小游星（搜百度只能搜到阿克琉斯，找不到這個星的信息，阿克琉斯：我還是去追龜吧）上。最后一個是：三物體在直線初始位置投入運動，在適當初始條件下會繼續固定在直線上，而直線在一平面上繞物體質心運動。
第二類n體問題，即找近似解或攝動理論：兩個球體在引力相互作用下沿圓錐曲線運動，稱這種運動是非攝動的。對這種運動的任何偏離（不管是位置還是速度），都稱為攝動運動（偏離原因：介質對運動有阻力，物體不是球體而是扁球等）。18世紀，拉普拉斯（1749-1827）在這一領域做了最大貢獻。
拉普拉斯16歲上大學學數學，完成學業后帶著推薦信找達朗貝爾被拒，后來拉普拉斯寫信闡述了力學的一般原理，引起了達朗貝爾重視，幫他安排了巴黎軍事學校數學教授的職位（達朗貝爾還是個HR呢？）他年輕時就搞了很多成果，1783年他接替了Bezout當軍事考試委員，給拿破侖考試（好神奇的履歷），法國大革命期間他當了度量衡委員會的委員，但是后來和拉瓦錫等人一起被開除了（怎么還有搞化學的！），他就隱居在巴黎附近的城市，寫了著名的《宇宙系統論》。革命后，他當上了內政大臣、議會委員、議會大臣。雖然拿破侖封他當了伯爵，但1814年他給拿破侖投了反對票，傍上了路易十八，后者封他為法蘭西侯爵和貴族（是呂布拉斯沒錯吧……）
拉普拉斯一邊搞政治一邊搞科研，1799-1785年他出版了五卷《天體力學》，把牛頓、克萊羅、達朗貝爾、歐拉、拉格朗日和自己的成果統一成一個整體，唯一的缺點是他不交代來源，整得好像都是他干的一樣。
1812年他出版了《概率的分析理論》，1814年再版序言是一篇通俗短文，里面有一段話關于決定論：世界的未來完全由過去決定，智者只要掌握這個世界在任一給定時刻的狀態的數學信息，就能預報未來（智者即拉普拉斯妖）。
拉普拉斯在數學物理上有很多發現，他對很多領域都感興趣，比如流體動力學、聲波傳播、潮汐；化學上搞了物質液態、表面張力等；他和拉瓦錫設計了測熱量的工具，測了很多物質的比熱。1827年拉普拉斯去世，據說遺言是：“我們知道的是很微小的；我們不知道的是無限的。”（德摩根說遺言是：“人們了解的只是幻像。”總之大師死前講的話也很有逼格就是了。）
拉普拉斯跟拉格朗日經常聯系，但個性大相徑庭，他老是偷拿拉格朗日的概念又不聲明來源。此外拉格朗日寫的東西清楚優美，而拉普拉斯雖然創造了很多新方法，但是他對純數學不感興趣，如果搞物理時碰到數學問題，他就說“容易看出……”鮑迪奇（1773-1838）翻譯了他的《天體力學》，吐槽說：一看到“容易看出”，我就知道要花幾個小時填補空白。
拉普拉斯的工作是處理行星運動的近似解，之所以有解是因為太陽占太陽系總質量的99.87%，行星之間的攝動力小，軌道近似橢圓。造成攝動的原因主要是木星占行星總質量70%以及地球衛星相當靠近地球，相互影響。
日地月問題是18世紀考慮最多的三體問題，因為航海需要了解月球運動。牛頓給出了幾何法的理論，歐拉和克萊羅試圖求精確解，1747年克萊羅用微分方程的級數解得到了進展，他應用到哈雷彗星運動上，預測了比較精確的回歸時間。
為了計算攝動產生了參數變值法：牛頓考慮了月球軌道的變值算出太陽對它的影響，約翰伯努利用變值法解個別情況下的非齊次方程，歐拉用變值法研究二階方程和木星、土星的相互攝動。拉格朗日充分發展了該方法，將單個常微分方程的參數變值法應用到n階方程，然后以更一般的方式應用到方程組上。
在發展變值法期間，拉格朗日和拉普拉斯解答了關于太陽系的基本問題。十八世紀人們改進了解微分方程的方法，也發現了新的物理事實，在之后兩個世紀，人們為進一步解答n體和太陽系問題做出努力。
總結
18世紀常微分方程成為獨立學科，對解的理解和尋求發生了變化。最初數學家用初等函數表示解，然后是沒有積出的積分，再接著是無窮級數。
數學家不僅想把解表示成積出形式，也在尋找可以用有限個初等函數表示其解的微分方程。達朗貝爾研究了橢圓積分，歐拉等人從微分方程導出其他方程；另一種研究是尋找級數解可以只含有限多個項的條件。
孔多塞企圖把求常微分方程的孤立方法統一起來，但是失敗了；歐拉證明凡可用變量分離法的地方都可用積分因子，反之則不然。他還證明高階微分方程不能用變量分離，但可以降階。
1775年起探索常微分方程的一般積分方法一直沒有新的進展，直到19世紀才引入算子方法和拉普拉斯變換。事實上人們對一般求解方法的興趣消退了，總的來說這門學科還是各種孤立技巧的匯編。
放個拉普拉斯的生平：拉普拉斯的傳奇人生
