積分因子法

$\displaystyle P(x,y)\text6euqwmsx+Q(x,y)\textndfcqw5y=0\quad(2.55)$

若方程是恰當(dāng)方程，即 $\displaystyle\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ ，則它的通積分為
$\displaystyle\int_{x_0}^xP(x,y)\texttt1vjqzx+\int_{y_0}^{y}Q(x_0,y)\text1yma9ehy=C$

對一般的方程（2.55），設(shè)法尋找一個(gè)可微的非零函數(shù) $\mu=\mu(x,y)$ ，使得用它乘方程（2.55）后，所得方程

$\displaystyle\mu(x,y)P(x,y)\textz5ba5wpx+\mu(x,y)Q(x,y)\textjbbc52by=0\quad(2.56)$

成為恰當(dāng)方程，即

$\displaystyle\dfrac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\dfrac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$

這時(shí)，函數(shù) $\mu=\mu(x,y)$ 叫做方程（2.55）的一個(gè)積分因子

定理 2.4

微分方程（2.55）有一個(gè)只依賴于 $x$ 得積分因子得充要條件是：表達(dá)式

$\displaystyle\dfrac{1}{Q(x,y)}\left(\dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\right)\;(2.60)$

只依賴于 $x$ ，而與 $y$ 無關(guān)；而且若把表達(dá)式（2.60）記為 $G(x)$ ，則 $\mu(x)=e^{\int G(x)\textwfvyscvx}$ 是方程（2.55）的一個(gè)積分因子.

類似的有下面平行的結(jié)果：

定理 2.5

微分方程（2.55）有一個(gè)只依賴于 $y$ 得積分因子得充要條件是：表達(dá)式

$\displaystyle\dfrac{1}{P(x,y)}\left(\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right)=H(y)\;(2.60)$

只依賴于 $y$ ，則 $\mu(y)=e^{\int H(y)\textk05ntdfy}$ 是方程（2.55）的一個(gè)積分因子.

求解微分方程
$\displaystyle (3x^3+y)\textyzxphj0x+(2x^2y-x)\textywq5gzey=0\quad(2.62)$
可以用積分因子求解通積分

我們現(xiàn)在從另一種觀點(diǎn)——分組求積分因子
將（2.62）左端分成兩組
$(3x^3\texts0y0se5x+2x^2y\textu7pjlvgy)+(y\textwfyislwx-x\textyavxqbly)=0$

其中第二組 $y\text1vwyalex-x\texttum5ikuy$ 顯然有積分因子： $x^{-2},y^{-2},(x^2+y^2)^{-1}$ ，如果同時(shí)照顧到第一組的全微分形式，則 $\mu=x^{-2}$ 乃是兩組公共的積分因子，從而是方程（2.62）的積分因子. 為了使這種分組求積分因子的方法一般化，我們需要下述定理.

定理 2.6

若 $\mu=\mu(x,y)$ 是方程（2.55）的一個(gè)積分因子，使得
$\mu P(x,y)\text1q5xi5kx+\mu Q(x,y)\textstvp00oy=\text8cepy2i\varPhi(x,y)$

則 $\mu(z,y)g(\varPhi(x,y))$ 也是（2.55）的一個(gè)積分因子，其中 $g(\cdot)$ 是任意可微的非零函數(shù)

假設(shè)方程（2.55）的左端可以分成兩組，即

$(P_1\texte4y5kuex+Q_1\text55kvfyfy)+(P_2\textij205jcx+Q_2\text64uiiwty)=0$
其中第一組和第二組各有積分因子 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ ，使得

$\mu_1(P_1\textbn5c0npx+Q_1\textbbm0mwgy)=\textwgrlnhr\varPhi_1,\,\mu_2(P_2\text60pateox+Q_2\text9q0un5sy)=\textefyjlyj\varPhi_2$

由定理 2.6 可見，對任意可微函數(shù) $g_1$ 和 $g_2$ ，函數(shù) $\mu_1g_1(\varPhi_1)$ 是第一組的積分因子，而函數(shù) $\mu_2g_2(\varPhi_2)$ 是第二組的積分因子. 因此，如果能適當(dāng)選取 $g_1$ 與 $g_2$ ，使得 $\mu_1g_2(\varPhi_1)=\mu_2g_2(\varPhi_2)$ ，則 $\mu=\mu_1g_1(\varPhi_1)$ 就是方程（2.55）的一個(gè)積分因子.