非線性微分方程：定性理論
龐加萊受Hill工作啟發(fā)，為研究支配行星運動及行星、衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性的微分方程的周期解開辟了新的途徑。因為有關方程是非線性的，龐加萊于是研究非線性方程，之前已出現(xiàn)了一些非線性常微分方程，如黎卡提方程、擺動方程、變分法的歐拉方程。解非線性方程還沒有找到普遍方法。
運動方程不能用已知函數(shù)明顯解出，因此穩(wěn)定性問題不能通過考察解的性態(tài)解決。于是龐加萊尋找考察微分方程本身能回答問題的方法，他稱之為微分方程的定性理論。他把理論表述在1881-1886年的四篇論文中，用他的話來說，他要尋求答案的問題是：動點是否描出一密閉曲線？是否永遠留在平面某一部分內(nèi)部？用天文學的話說，軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的？
龐加萊從形為dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)的非線性方程出發(fā)，其中P、Q對x、y解析，選擇這個形式的原因是：1、由于行星運動的某些問題，2、龐加萊認為這是他要研究的類型中最簡單的數(shù)學模型。該方程的解有f(x,y)=0的形式，定義一個軌道系統(tǒng)時可以考慮參數(shù)形式x=x(t),y=y(t)代替f(x,y)=0。
龐加萊在分析方程所有可能解的類型時發(fā)現(xiàn)，微分方程的奇點（使P,Q同時為0的點）起關鍵作用。這些奇點在富克斯意義下是不確定的或不規(guī)則的，這里龐加萊繼續(xù)布里奧和布凱的早期工作，但他不只是研究在奇點鄰域內(nèi)解的性質，而是限制在實值并寧可研究整個解的性質。他把奇點分為四類，并闡述在奇點附近的性態(tài)。
第一類奇點是焦點。如下圖中原點，當t從-∞變到∞時，解環(huán)繞原點盤旋并趨向于原點。這種類型的解被認為是穩(wěn)定的。第二類奇點是鞍點，如下圖中原點，軌道趨近于該點又遠離，兩條分角線是軌道的漸近線，這種運動是不穩(wěn)定的。第三類奇點叫結點，是無窮多個解互相交叉的點。第四類奇點叫中心，被若干閉軌道圍繞，一個閉軌道包含另一個軌道，這些軌道都包含著中心。
龐加萊發(fā)現(xiàn)可能有一些閉曲線不與任何滿足微分方程的曲線相接觸，他把這些閉曲線稱為無接觸環(huán)。一條滿足微分方程的曲線與無接觸環(huán)的交點不能多于一個，即如果它跨過該環(huán)，就不能再次跨過該環(huán)，如果這種曲線是行星軌跡，也表示不穩(wěn)定的運動。
龐加萊還發(fā)現(xiàn)了另一種閉曲線，他稱為極限環(huán)。它們是滿足微分方程的閉曲線。其它解漸近地趨向它們（即永遠達不到極限環(huán)），這種趨向可以發(fā)生在極限環(huán)C內(nèi)或極限環(huán)C外。龐加萊對dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)型微分方程確定了其極限環(huán)和存在區(qū)域。如果軌道曲線趨向極限環(huán)，運動是穩(wěn)定的，如果運動方向離開極限環(huán)，那么極限環(huán)外的運動是不穩(wěn)定的，而在環(huán)內(nèi)的運動是一條收縮螺線。
龐加萊在第三篇論文中研究了高次和形如F(x,y,y')=0（F是x,y,y'的多項式）的一階方程。他把x,y,y'看作三直角坐標，并考慮由微分方程定義的曲面。如果這曲面有虧格0（球狀），那么積分曲線性質與一次微分方程的情況相同，其它虧格的曲面，得到的積分曲線結果大不相同，比如對一個環(huán)管有多種情況。龐加萊未完成該研究，在第四篇論文中他研究了二階方程，得到了某些類似一階方程的結果。
龐加萊在研究微分方程解類型的同時，還考慮針對三體問題更普遍的結論。他考慮微分方程組
用小參數(shù)μ的冪展開Xi，并假定方程組對μ=0有一個已知的周期為T的周期解xi=Φi(t)，i=1,2,...,n。他企圖找出這個周期解。對三體問題，Hill已發(fā)現(xiàn)周期解的存在性，而龐加萊利用了這一事實。
對于三體問題的周期解，龐加萊搞了很多工作，他首先推廣了柯西關于常微分方程組的解的早期工作，然后證明了他要找的周期解的存在性。他假設兩個小質量物體（質量小于太陽）圍繞太陽在同一平面的兩個同心圓上運動，得到了這樣的解。假定μ=0時軌道都是橢圓，且物體周期是可公度的，就可以得到其它解，利用這些解和龐加萊對方程組建立的理論，他得到了其它周期解。他的結論是證明了有無窮多個初始位置和初始速度使得三星體相互間的距離是時間的周期函數(shù)（這樣的解也叫周期解）。
龐加萊在1890年的論文中引用了方程組dxi/dt=Xi(x1,...,xn,μ)周期解和殆周期解等結論，其中包含一類新發(fā)現(xiàn)的解，他把這種解稱為漸近解，漸近解又分成兩類，第一類解當t趨向于-∞或＋∞時，解漸近地趨于周期解；第二類解由二重漸近解組成，即t趨于-∞和+∞時解趨于周期解。這種二重漸近解有無窮多個。
龐加萊對太陽系穩(wěn)定性的工作僅取得了部分成果，穩(wěn)定性仍然未得到解決，事實上月球軌道是否穩(wěn)定也是如此，今天大多數(shù)科學家認為它是不穩(wěn)定的。
dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)解的穩(wěn)定性可用特征方程法分析，所謂特征方程是
其中(x0,y0)是方程奇點，按俄國數(shù)學家李雅普諾夫（Alexander Liapounoff，1857-1918）的定理，在(x0,y0)鄰域內(nèi)穩(wěn)定性依賴于特征方程的根，他對可能出現(xiàn)的情況做了細致的分析，包括了比龐加萊結果更多的類型。李雅普諾夫關于穩(wěn)定性問題的工作一直延續(xù)到20世紀早期，他認為基本結果是當且僅當特征方程關于n的根都有負實部時，方程所有解才是穩(wěn)定的。
龐加萊引入拓撲論證法推進了非線性方程的定性研究。為了描述奇點性質，他引入了指數(shù)的概念。考慮一奇點P0和圍繞它的一條簡單閉曲線C，在C與方程dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)的解的每個交點上，有軌道的一個方向角Φ（取值為0-2π），如果一個點逆時針沿C移動，Φ值變大，當點在C上走完一圈后Φ值為2πI，I是一個整數(shù)或0（因為軌道的方向角已經(jīng)轉回到原值），量I是曲線的指數(shù)。可證明：包含幾個奇點的閉曲線的指數(shù)是它們指數(shù)的代數(shù)和，閉軌道的指數(shù)是+1
軌道性質由特征方程確定。僅知道微分方程即可確定曲線指數(shù)I，可證明
龐加萊后，本迪克松(Ivar Bendixson,1861-1935)關于dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)方程解進行了一項有意義的工作。他提供了一個準則證明某區(qū)域內(nèi)沒有閉軌道存在，若δQ/δx+δP/δy在區(qū)域D內(nèi)同號，那么方程在D中沒有周期解。
1901年本迪克松提出龐加萊-本迪克松定理，提供了判定dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)存在一個周期解的準則，如果P與Q在-∞<x，y<∞內(nèi)有定義且是正則的，又如果當t趨于∞時，解x(t),y(t)永遠保持在(x,y)平面的有界區(qū)域內(nèi)且不趨于奇點，那么微分方程至少存在一條閉曲線解。
龐加萊開啟的非線性方程研究在各個方面拓展了。與19世紀開始的另一個課題有關：富克斯研究的線性微分方程奇點固定，且被微分方程系數(shù)確定，到非線性方程下，奇點可能隨初始條件變動，稱為可去奇點。例如方程y'+y^2=0有一般解y=1/(x-c)，c是任意的，在解中奇點位置依賴于c值。富克斯發(fā)現(xiàn)了可去奇點的現(xiàn)象，之后許多人做了可去奇點的研究和具有或不具有可去奇點的二階非線性方程的研究，其中比較出名的是潘勒韋(Paul Painlevé,1863-1933)。【搜了下他還當過法國總理，這也太強了吧，真實干一行愛一行……還和萊特兄弟一起坐飛機，他的兒子Jean Painleve是紀錄片導演，拍了些科普紀錄片】對許多形如y''=f(x,y,y')的二階方程類，它們的解需要新的超越函數(shù)類，現(xiàn)在叫做Painleve函數(shù)。
20世紀人們對非線性方程的興趣更強烈了，它的應用從天文學擴展到通訊、服務機構、自動控制系統(tǒng)和電子學，研究也從定性階段發(fā)展到定量階段了。
