說到這個定理，我似乎應該比講雙縫干涉實驗要自信點，畢竟我還算是半個科班。是的，我是數學系的，而且我差點就讀了數理邏輯這個方向。只不過當年在做出選擇之前我臨陣脫逃了。說到哥德爾這個定理，包含著不少筆者的往事。。
筆者讀本科的時候，圖書館有一本汪芳庭的《數理邏輯》，當時那本書雖然出版年份很老，卻明顯沒什么人翻過，一年以后那本書就不見了，在圖書館電子系統搜索一下，查到了“修繕中”的狀態，才知道那本書被我翻爛了o>_<o當時前前后后看了好幾遍。也正因此，后來去北師大，在北師開了數理邏輯這門課，理解的都比一同選這門課的同學要好。
后來還跟著一個老師學習數理邏輯，去了新加坡一趟。不過當時帶我的老師自己是搞集合論的，對哥德爾定理不算特別感興趣，感覺他覺得這個定理是trivial的，而且他對這個定理的哲學含義也不感興趣。某種意義上，他對哲學也沒有表現出興趣，倒是很符合數學系鄙視哲學系的這個鄙視鏈。每次說到他當年在美國，因為學數理邏輯，還修過哲學課，表情總是那么地調侃。
后來見了一個新加坡的老師，他講了當前遞歸論最熱門的問題，我聽了感覺和我想象的數理邏輯也有些差距，再加上他自己也明言他不知道這些問題有什么深刻的意義（話說這么誠實的老師還是蠻少見的），后來我也就不敢讀這個方向。
應該說，筆者對哥德爾定理感興趣是因為2008年時看了Penrose一本書《皇帝新腦》，這本書認為，哥德爾定理的存在說明人腦比一般圖靈機要聰明。作者是一個在圈子里有名望但觀點有點特立獨行的學者。他在天文學上和霍金合作過，又自己搞出了一個彭羅斯鑲嵌的東西。
我們今天經常聽到有些人這么評論某學者“這個人學術水平確實頗高，但是卻經常發表不負責任的言論”，如果Penrose在中國，大概就是這么個評價。他的觀點真的特別清奇。我當年看菲爾茲獎得主Lions寫的一本好像是泛函的書，序言還批斗過Penrose關于圖靈機的那些胡言亂語。
后來Penrose又寫了一本《Shadows of Mind》，他寫這本書的目的是想嚴格證明人類比圖靈機聰明。我本來有這本書，但是從來都沒靜得下心讀過，所以我也沒辦法親自評價這本書。也許以后有機會？反正這本書引起了爭論，最后似乎誰都不服誰，所以也就不了了之。在學術圈，特別是討論最時新的問題，這些是常態。
Penrose認為在量子力學的框架下，有一些運作機制本身是不可計算性的，這里可計算性和圖靈可計算性是等價的，這是一個無法證明但是普遍承認的命題，叫做圖靈--丘奇命題。而人腦正是采用這種本質上不可計算的方式來運作。
好的，說說正題。在數理邏輯里邊，有另一個版本的二元論，不過這種“二元論”被普遍地接受，那就是語法和語義的分離，這里的語法和語義和語言學里所說的似乎也是有差別的?？偟膩碚f，語法研究的是一些邏輯符號；而語義研究的是這些邏輯符號背后的含義。
一開始，那些數理邏輯的先驅在考慮的問題是，能否提出有限個公理，有限個推理規則，然后世間一切正確的命題都可以通過這有限個公理得到。這些公理，在邏輯規則的作用下，會變換出各種形式，而這些形式的變換是機械的，不需要理解的介入的。這就是不介入語義學的語法學?，F在想問的就是，這種機械的，不帶理解的變換，能否產生世間一切正確的命題。
一階命題系統和一階謂詞系統都被證明是完備的。這意味著一個機器就可以同等效力地產生所有正確的命題。然而，假如這個邏輯系統包含了算術，事情就變得困難起來。而實際上，這個困難是本質的。
哥德爾定理證明的思路是這樣的。首先要有一個包含算術的邏輯系統，接著，他對這個邏輯系統所有可能的命題都進行了編碼。記住，編碼是語義學而不是語法學的。編碼不是這個邏輯系統能理解的，而是外邊的人賦予的這個邏輯系統的含義。比方“3+5！=3*5”就是第10004256348號命題之類的。
接著，哥德爾找到了這么一系列的命題，這些命題，從系統里邊來看，就是一些很復雜的邏輯符號，但是從外面來看，人們知道它表達的是“第x個命題無法在本系統之中被證明”。接著，在這一系列命題里，人們又找到了一個這樣的命題，這個命題是第n號，但從外面來看，它表達的是“第n個命題無法在本系統之中被證明”。
假如這個命題被證明了，那說明這個系統證明了一個錯的命題，那這個系統是不靠譜的。所以這個系統證明不了這個命題，也說明這個命題（從外面來看）是真的，如果這個系統是靠譜的，它也不可能證明這個命題的反命題，因為它的反命題是假的。這就是一個系統無法證明的真命題了。
總的來說，一開始數理邏輯界的人想做的是，能不能找到有限個公理，再加上邏輯上的規則，使得所有的數學命題都可以在這個系統當中推出。只不過哥德爾證明了這是不可能的，對于特定的系統，人們總是可以基于理解得到一個在系統里證明不了的真命題。因為這對任何一個包含算術的邏輯系統都是成立的，也可以看出人類的理解力超越了有限個公理和固定推理規則所得到的命題。
不過人類是否超越圖靈機是另一回事。圖靈機是稍微晚點的概念，雖然它的證明方式和哥德爾定理類似，但得到的結果卻差別很大。
關于哥德爾定理的含義，爭論是非常激烈的。哥德爾本人認為哥德爾定理至少說明以下兩者至少一者為真“1. 數學真理遠多于人類的認知；2. 人類的思考能力無法還原為有限公理在有限規則下的作用”。
很多沒什么想象力的人都認為哥德爾定理只在數學當中有意義，沒有一般的哲學含義；另一些人則認為它意義非凡，說明人類在做數學推理時，肯定要運用到理解力，不可能只用一些機械的方法就得到所有可能的真命題。我比較傾向于后面一種觀點。但是，既然這個問題在爭議中，也說明它還沒有一個確定的答案。
這就是關于這個不完備性定理的一個飛速介紹，后邊我要談一談一些異常體驗的事情。
