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晴天霹靂
1930年寒冬，德意志第二帝國，數理大宮殿內。
閃爍著的小瓦數燈泡在桌角處飄忽，數理大帝一世：大衛·希爾伯特 身披著純白色的天鵝絨披風，正坐在大殿正中。如果你用米尺去丈量椅子的四邊中點到大殿四邊的距離的話，你就會發現對邊距離是完全相等的。作為數學帝國的始皇帝，也作為一名超一流的數學家和邏輯學家，他對一個立體空間的正中央有著旁人難以理解的偏執。
不偏執的人，就沒有參與設計和搭建完美數學大廈的資格。希爾伯特一世總是這樣和人說道，他從未將懷疑的眼光投向過他的數學信仰。
在那寬大到可以并排躺下四個人的桌上，寥寥無幾地放著一把折疊尺，兩只鋼筆，一小打草稿紙，一盞電燈，幾根捆在一起的蠟燭，還有整整二十三顆大小不一的黑色正方體木塊，小如指頭一般，大到頭顱大小，從1到23從左到右標號整齊碼放在他的面前，高低變幻像是一首具象化了的史詩音階。
這二十三顆木塊代表了他在1900年為新世紀提出的23個最重要最困難的數學問題，每一個問題都需要最天才的人在最為靈光閃現的時間用至少數年光景才能解開纏繞，而每一個問題的未解決狀態都讓他如鯁在喉。他的智力為他帶來了想要解決這些問題的強烈愿望，也為他帶來了擁有足夠的耐心。他除了喜好巴赫的音樂，年輕的艾舍爾的畫作以外，就唯獨喜歡獨自一人在這二十三個問題面前思考。已然年近六十的他認為自己在這個世界上的使命還遠遠沒有完成。
他扶正了唯一一顆被擺歪了的木塊，然后從右向左一個一個掃視過去，每個木塊無論大小目光都停留一樣的時間，絕不有任何偏向，然而到了最大的那個木塊的時候，他的目光卻停了下來。那是從左數第二個。在一個大大的白色的「2」的背面，寫著那個問題的簡要內容：
證明算術公理系統的無矛盾性。
他摩挲著這塊和他頭顱近乎同等大小的正方體，目光漸漸變得溫柔，連眼角的皺紋都化了開。作為一名數學家，他深知這個證明的重要意義，只要證明了算術公理系統的無矛盾性，邁出這關鍵的第一步，那么就可以慢慢擴展開所能包容的領域，最后證明我們的世界本身規律的無矛盾性，并可能預言這個世界囊括一切的大一統理論的存在。
畢竟，世界的本質就是數學。
真是完美無缺。
他拒絕將任何未被邏輯嚴謹證明的任何臆想出來的觀點當做真理，哪怕是他自己所深信不疑的也一樣，所以他期待著有人來給出那關鍵的證明，這將是為數學大廈鋪地基的一塊極其有力的方磚。如果沒有它？噢，希爾伯特想，我們還是不要做出如此可怕而又沒有根據的假設了吧。最近在物理學中就出現了些稀奇古怪讓人難以理解的玩意兒，讓那些頭疼的事情只去折磨可憐的理論物理學家們吧。
就在他提起筆想要在木塊空白處加注釋的時候，大門打開了，他的學徒走了進來，平日里溫文爾雅的小伙子，這次目光卻躲躲閃閃的。希爾伯特很不滿地丟下了筆。
「?！柌乇菹?，很抱歉在您冥想的時刻打擾您，但是確實有一件事情需要您立刻知曉。我們剛剛收到了一封來自于哥德爾的一封信件……」
「哥什么？」希爾伯特不耐煩地打岔。
「是哥德爾，大人。庫爾特·哥德爾。」
「完全沒聽說過。這次又是什么人？又是哪個妄想成名前來投機取巧的小商人？還是上次那種自以為可以用東方的模糊觀點駁倒嚴謹的科學理論的癡人？」哥德爾的手指敲打著木塊，像是在鋼琴上演奏一首單調乏味的單音樂曲。
「都不是，我的陛下。這次……這次這個人，是因為您的23個數學問題而來信的。」
希爾伯特立刻坐直了身子。
「嗯？有趣，是帶來了解決問題了新思路新觀點了嗎？我已經等了很久這類來信了。那些別人想到而我卻疏漏掉的觀點總是像飯后甜蜜的點心一樣讓我激動，快來快來，把那封信拿來，我已經能感覺到思維的火花像跳躍的小鹿一樣互相碰撞了。噢，該死，這根筆又沒水了，不過還好，我還有一根……」希爾伯特拿起了另外一支筆，鋪開了草稿紙，擺開了架勢。只有在這個時候，才能看到不茍言笑的他的眼中閃現出躍躍欲試的年輕光芒。
「呃……很抱歉，陛下，不過這次的來信有些……有些……有些不一樣。」
「嗯？不一樣？」希爾伯特大帝詫異地抬起了頭?！改恰y道在那23個問題中有哪個問題被這個好運的哥德爾單獨解決掉了？」
「也不是的……陛下。我已經讀過了那封信，哥德爾……他……他證明了您在第二問題中的設想……是……是……是錯的?！?/p>
「咔」的一聲，鋼筆斷裂的清脆聲音在空曠的大殿中回響。這回響和它在各個領域的變奏穿透了整整一百年的歲月，使哥德爾當之無愧地成為20世紀最偉大的數理邏輯學家，得以與數學界無冕之王希爾伯特相提并論。
集異璧
——不想當畫家的音樂家不是好數理邏輯學家。
「哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成」這本書的寫作目的是介紹人智能的來源，還有人工智能的發展和限制，而這其中最核心的概念就是著名的哥德爾第一不完備性定理。三塊大放異彩的寶璧之中，哥德爾處在最重要的主干位置。在進行循序漸進的講解之前，我們先把這個定理丟出來，讓大家知道我們在朝什么方向去走：
哥德爾第一不完備性定理：任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明也不能被否定。
嗯，這句話里好像所有字都在小學就認識過了，但是放在一起就是不明白是啥意思。沒關系，我會一個一個搭砌出需要初步理解哥德爾定理的知識，各位看官且豎起耳朵待我慢慢講來。
一、同構和層次
同構
理解本書需要的最基礎的一個單元，就是同構。同構的含義是保留信息的變換，也就是說，兩個結構可以相互映射，并且每個結構的每個部分都在另一個結構中有且只有一個相應的部分。說得再明白一些，就是廣義的「翻譯」。
一段中文的話翻譯成其他語言，翻譯前后的內容是同構的，因為可以再翻譯回中文，代表著前后內涵和功能的一致。比如「不要」和「雅蠛蝶」，（╯‵□′）╯︵┴─┴和生氣中的老婆。
我們的聲帶和聲波的震動之間是同構的，因為信息并沒有在這個過程中流失，而只是變成了另外一種一一對應可以恢復的形式。同樣，聲波的震蕩和聽眾的鼓膜震動也同樣是同構的，而鼓膜震動和大腦處理解析聲音以后得到的觀感感受，也就是聽眾聽到的「聲音」，也是同構的。
我們可以理解為，信息在通過聲音傳遞的過程中，被「聲帶震動」這一過程加密成為了另外一種格式，得以在空氣中傳播出去，在接收端這一格式被「鼓膜震動」還原成了能被大腦處理理解的原信息。在大腦和大腦之間，通過一系列的同構，信息得到了傳遞。
再廣而言之，一個現實世界中的蘋果，和我們語言中的「蘋果」二字，在我們而言也是同構的，我們可以使用「蘋果」二字來代替蘋果而不引發任何的歧義，并且任何人也都可以明白「蘋果」的所指。當然這僅限于擁有同等理解力和相同語言能力的人腦之間。
我們再來看看什么不是同構的，除了很明顯的那些之外（桌子和貓顯然不同構，程序員和男朋友顯然不同構，建筑師和度假顯然不同構），當原來的信息沒有被完整保留的時候，很明顯就不再是同構的了。從一個角度來看，一個被帶刺鋼鞭抽過一百下的屁股，很明顯不再保留原來屁股的任何信息（當然屁股的主人可能也不再是同構的了，畢竟尸體和人絕對不同構……）。
計算機科學中，加密解密是保留了原有信息的，我們經常做的文件壓縮和解壓縮過程，前后的數據也是同構的。但是Hash Functions（一種單向的信息處理方式，不可逆），卻是完全不保留原有信息的（事實上是需要故意讓人不可能看不出原來信息），所以不是同構的。
解釋
「不不，親愛的，你一定要聽我解釋?！挂晃灰鹿诓徽哪凶诱驹陂T前攔住了正要奪門而出的一位女士，女士冷眼抱胸。
「很好，我給你機會解釋。解釋不清楚的話，我們之間就完了?！古恳惶粝掳停曇衾涞孟袷侨f古寒冰。
「是這樣的。你先坐下來聽我說?！鼓凶邮置δ_亂地把女士重新領回門里坐下。「你以為的其實不是真實發生的，你不要以為你以為的就是你以為的……」
女子站了起來。
「好，好，親愛的，先坐下。我就簡單地說吧，你在我們的床上發現了兩條女士內褲，而其中的一條不是你的……」
女子毫無先兆地揮出一巴掌，被男子一手抓住。
「不要生氣，讓我說完，其實床上其實沒有兩條內褲?！?/p>
「什么？」
「你認為床上有兩條內褲，是基于床上有一條內褲，又有一條內褲的事實，但是這并不代表者床上有兩條內褲?！?/p>
「你到底想說些什么？有話快說，再有一句廢話從你嘴里出來，我立刻就走。」
「你認為1+1=2。這不一定是對的。因為在我們的房間里，1+1等于1?！?/p>
「什么？呵，那你倒是說說，1+1什么情況下等于1？」
「當然是在我們相愛的時候?！鼓凶佑米约簭娪辛Φ谋郯虮ё×伺?，不給她說話的機會。「我們兩個人，組成了一個家庭，我的1和你的1完美地融合成了1個1。在我們的房間里，數學大廈也要為我們的愛情傾覆，又何況是一條我給你新買的內褲？」男子說完最后一個字，輕輕咬了女子的左耳。
女子掙扎片刻，大罵幾句，然后痛哭出聲。
我們剛才說，兩個結構之間轉換的信息保留，所以說它們同構，其實是不很確切的，或者說是不很清晰的，一個真實的西瓜和紙上的「西瓜」兩個字之間并不存在直接的同構。一個是以水分為主的近似球形，一個是以纖維素為主的紙張上的扁平圖案，二者本來沒有什么關系。存在直接對應關系的，是真實的西瓜和「西瓜」這兩個字的解釋，即在現實存在的真理和經過解釋的符號（書中稱為系統定理）之間。
1+1到底等于幾，或者等于什么，是要看如何去解釋1+1的含義。如果按照是純粹數學的解釋的話，那么1代表單個個體，+代表將連個以上的數合成一個數，1+1=2則映射著現實世界中的一件東西加上另一件東西是兩個東西，這可以通過最簡單最直觀的實驗直接驗證。
那位男士通過對1+1提供另外一種解釋（實驗危險切勿模仿，老婆毆打后果自負），從而將其從純粹數學的角度看待問題，換到了另外一個人們不經常想到的角度，仍然能夠自圓其說地映射到某一部分現實之中。1+1也可以解釋成把兩個1「粘」在一起，也就變成了11。1+1=5有可能也是正確的，只要我們把=理解成為我們平時使用的小于等于號。1+6可能也不等于7，而等于下面這位驢臉人的手勢：
通過同構和對同構固定的解釋，我們就可以創造出一個能夠與現實世界的很具體的一部分產生映射的同構，并且通過使用這些發明出來的符號之間的推導，來推斷現實世界未知的一些因素?；A算術就是一個很好的相對簡單的例子，而在書中使用的更復雜的真正實現，是一種叫做TNT的數論系統。這個系統可以根據它本身的規則去有效地從已知公理和推導規則，去推理出系統內新的定理來。
TNT不是炸藥，也不是麻花藤手下的一個無聊的網頁游戲，而是Typographical Number Theory（印符數論）的縮寫。TNT是作者根據皮諾亞的五條自然數公設和命題邏輯和演算，專門為了講解哥德爾定理而制定出來的。書中給出的哥德爾定理的推理過程是在TNT數論之中的，也就是根據TNT的符號規則來推導出來的。我們這里對這個相對嚴謹復雜的系統不加著墨，而只集中于背后潛伏著的道理。但是為了給大家有個概念TNT長什么樣子，下面給出一個很簡單的TNT定理，表達的含義是「對于所有的a，不存在一個b使得a+(b+1) = a-(b+1)，即一個數加減一個非0自然數后結果不相等」。
?a:~?b:(a + Sb) = (a - Sb)
有TNT這樣一個強有力的數論系統當做工具，我們已經可以做到將會用到的有關數的陳述表達出來，并且表達出數字間的推理變化。再因為TNT的本質之一就是可以通過有限的步驟判定出其公理和定理的真實性，所以，哥德爾第一不完備性定理的條件，上面提到的：「包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統」已經構造出來了。但是想要觀察到不完備性，我們還需要從另外一個層次來看待問題。
層次與「涌現」現象
噢，你穿梭在忽閃忽現的不斷顫抖著的小顆粒之間，在某一時刻，你伸展著自己的感知范圍，感覺自己可以延伸到無窮無盡，在另外一個時刻，你卻又能收緊肢觸，享受著光子在自己身上的反彈跳躍，感覺到自己的真實性狀。你和無可計數的一模一樣的同伴們漫無目的地晃蕩在世間，存在唯一的意義就是「存在」本身。
你漸漸地發現，你和你的所有同伴們的活動范圍都是有限的，像是被關在了一個無形的監牢之內，像是矩陣一樣，每個存在都有各自的固定的區域，盡管互相傾慕或厭惡，卻也仍舊不能接近或離開。你們好像生來就是守望者，如同漫天晨星一般有著某種必然的使命和目的，無論開心或悲傷，都不能掙脫開這個命運。
鏡頭再次拉遠，你和你所在的群體已經漸漸消失不見，浮現出來的，是一整塊無邊無際的墻體，而你只不過是這面墻的一個微不足道的組成磚上的顆粒而已——多你不多，少你不少。真是難以想象，究竟是什么樣的存在，亦或是經過了什么樣的變化，才能夠雕刻出線條如此完美的巨大墻壁來。自己像是一只螞蟻站在巴別塔之前，看久了，整顆心都會顫抖起來。
再往遠處，就能發現原來墻體也并不是沒有邊界的，墻體的四邊終于慢慢浮現了出來，就好像是大地的盡頭一樣突然折下，在東方的方向不斷地有著強光在閃爍，那是世界的不眠之光，象征著正在進行著的偉大任務。整個大地好像在散發著一種充滿能量的朦朧光線，那光是如此地讓人感到溫暖，安逸和祥和。
再往后退，你發現大地也不僅僅是一塊，而是很多塊很整齊地并排碼放在了一起，除了原本那塊大地的朦朧能量之光外，還有另外兩種不同的光芒，一種是清澈自由之光，一種是活力希望之光。這三種光芒的大陸不斷地交替，像是代表著形成世界的三條最根本規則一樣交相輝映，創造出各種各樣的新的光線來。偶爾也有一兩個大陸并不在發光，你認為那些大陸可能是被上帝所遺棄了吧。
再往后，承載著這上百萬個大地的盛器也出現了它的四方邊界，那變化像是從二維世界而來到了三維，和原來的變化形式截然不同。你開始懷疑，這樣的俄羅斯套娃似的發現究竟有沒有盡頭，可能總能向外「跳出系統」，唯一不變的不過是一直「超越和包容」的這個勢。
讀者們，到這里，就是你們面前所見的了。
我們經?？赡茉诮值郎弦姷揭粋€小型的龍卷，卷著柳絮或者葉子肆意橫行。我們如何能夠知道這是不是更大 的一個天氣現象的一部分呢？比如地區雷雨。我們如何能夠知道這雷雨是不是更大的一個天氣現象的一部分呢？比如一個影響十數個國家數千公里沿海線的熱帶風暴。我們如何能夠知道這熱帶風暴是不是更大的一個天氣現象的一個部分呢？比如全球氣候變暖。我們如何能夠知道全球氣候變暖是不是更大的一個天氣現象的一個部分呢？比如可能是下一個百萬年年冰期爆發前的蓄力。
從一個不同的層次來看待同樣的問題，很有可能從不同的角度得出全新的結果，這就是層次的威力。
天下熙熙，皆為利來；天下攘攘，皆為利往。一個人在這個世界上有很強的自私性的行為，而無數個人的無數行為組成了和個人趨向完全和個體無關的歷史興替走向。單獨的螞蟻或者蜜蜂不過是一只小蟲，而一旦它們集中群居起來，就能表現出讓人瞠目結舌的某種類似智能的行為來。一個個單獨的神經元并沒有體現出任何智能的跡象，它們簡單地依照規則做著加法，輸入超過閾值就激活；但是上百億個神經元之間的互聯，卻在高層次上（書中的「符號」層次上）體現出了超出現在科學分析能力的偉大創造力、理解力和想象力。
這就是高層次相對于低層次的「涌現現象」。
三體有一個著名的同人短片叫做Waterdrop，完美地通過超長鏡頭體現了層次的近乎無窮的含義，還沒有去看過的三體迷們可以去看看。
有了TNT，并且了解了層次的概念，我們就來在TNT系統中制造哥德爾第一不完備性定理的后半段：存在一個命題，它在TNT（或任何足夠強力的）系統中既不能被證明也不能被否定。
二、遞歸和自指
為了制造出這種「不能證明不能否定」的哥德爾式的悖論來，我們還需要幾個簡單但有趣的新概念。
遞歸從狹義上來講，指的是計算機科學中（也就是像各位程序猿都熟悉的那樣），指的是一個模塊的程序在其內部調用自身的技巧。如果我們把這個效果視覺化，即圖片的一部分包涵了圖片本身，就成為了德羅斯特效應。比如下圖這個正在來大姨媽的男人：
再比如我們很多人都看到過的那個「先有書還是先有封面」的詭譎邏輯纏繞：
上面兩張圖都必然要借用到電腦軟件來生成修改，但是如果我們手頭有兩面鏡子的話，經過我自己證實，就可以自己玩出一個很簡單的德羅斯特效應，不過稍微和上面兩幅圖中有些不同，感興趣的可以試一試，看看到底有什么不同之處。
作者同樣在書中寫出了一個文字版的遞歸，為懶人和拖延癥患者找出了一個完美的理論借口：
侯世達定律：做事所花費的時間總是比你預期的要長，即使你的預期中考慮了侯世達定律。
我們可以看到，這一小段文字中「侯世達定律」出現在了其本身之中。換句話說，我可以為我做事情花費的任意超長的時間找借口，因為我可以說我考慮到了侯世達定律，也考慮了「我考慮過侯世達定律」的事實，也考慮了「我考慮過「我考慮過侯世達定律」的事實」的事實，以此類推子孫無盡。
迭代的產生，來源于自指，即自己的部分指向自己本身。自指給了迭代以超出其范疇的表達能力，我們馬上也會看到，自指也同樣成為哥德爾的一把尖端武器，給了以希爾伯特為首的一幫子想要證明基礎算術系統無矛盾的科學家們致命一擊。
一個很有價值的觀點在于，迭代代表著一種用有窮來產生可能的無窮的方式，用有限的詞語和正確的使用理解方式，來推廣而體現出無窮。我們沒有能力去把無窮真正地表現出來，上面德羅斯特效應的圖片也由于像素的限制遠遠沒有做到絕對無窮無盡。我們能做到的，是寫出規律來在我們的腦海中表達出無窮的概念（即書中提到的皮亞諾五條公理中的歸納公理）。
三、哥德爾的G與艾舍爾和巴赫
萬事俱備，辣椒、大蒜、牛肉、香菜全部切好擺齊，剩下了，就是大火把它們一勺燴，出鍋的就是著名的香菜牛肉了。
悖論和怪圈
哥德爾的初衷是想要證明希爾伯特的第二個問題（證明算術公理系統的無矛盾性），但是最后卻在算術系統本身當中發現了無法解決的悖論。可能很多人都聽說過說謊者悖論，一個比較明晰的版本是：
下面這個句子是假的。
上面那個句子是真的。
這個左手打右臉右臉說好爽的詭異邏輯循環，在書中被稱為「怪圈」。近現代畫家艾舍爾對這種怪圈給出了很具象的表現：
我們將兩句話中的和悖論無關的東西全部去除掉，就得到下面的最簡形式。
我在說謊。
那么問題就來了，我到底在不在說謊？如果我在說謊，那這句話就是真的，也就是說我沒有說謊，悖。如果我沒有說謊，那這句話就是假的，也就是說我在說謊，還是悖。換句話說，這句話在人的邏輯之中，既不能被證明也不能被證偽。
說謊者悖論·改·方言版（僅供娛樂）：
萵四藏仨仁，藏仨仁都四搓扒子。
俺是俺們那噶塊的，但是俺們那小旮旯全活雷鋒。咋整？
哎呦喂，我而老北京，但而吧我覺得老北京全他媽是小騙子兒。
窩嗨廣東銀，廣東銀全撕咦總官。
嗯，如果這個還沒有把你繞暈的話，那么也許艾舍爾的下面這幅圖能做得更好，注意上面的那一圈樓梯：
噢，我聽到了我聽到了，有的人在說「這有什么，小學的時候就看過那一圈樓梯的視覺悖論，不就是永遠在上升或者永遠在下降嘛，簡單無聊得很。」很好，那么下面再上一道給人感覺很類似iOS游戲「紀念碑谷」的主菜：
嗯，無論你怎么努力地去看去分析，也不可能有什么結果的，這是一大堆怪圈的纏繞，逃脫不掉。
為了表明這個怪圈的普遍性，而不僅僅是某個學科的某個邊角的某個奇怪的東西，我們已經舉了語言和畫作的例子，接下來，當然就是巴赫的音樂了。
在巴赫的音樂中，最為典型的一個，就是在樂集「音樂的奉獻」中「無窮升高的卡農」。在這部卡農中，音調一直在轉高，但是到了最后，這個怪圈又繞回了C調，也就是從C->D->E->F#->G#->A#->C，很類似上面艾舍爾的「上升與下降」，越來越高最后又走回了低點。能做到走回原點的原因，是因為他試用了一種叫做「謝潑德音調」的音階處理方式，示意圖如下：
也就是說，音階增高的同時高音強度在縮小，低音強度在增大，雖然音高在每一周期之間根本沒有變化，但卻會造成了一種一直在上升的錯覺。這不得不讓我想到我們喜聞樂見的滿大街理發店門口都有的轉燈：
大家可以回想一下，這個轉燈給你帶來的無窮上升的錯覺。想不起來的，可以出門右轉去看看。
哥德爾的G
上面提到了的所有的悖論/怪圈形式，其本身并沒有直接蘊含著自相違背的信息。事實上，相互違背的兩樣東西是絕對不可能在同一個空間中存在的，它們會各自散開老死不相往來，或者相互泯滅掉同歸于盡。說謊者悖論不過是一句依靠我們的語言能力說出來的一句話，這句話可以寫出來而沒有崩潰掉本身就代表著其合理性。艾舍爾的所有畫作，也都老老實實地和諧地待在同一個畫紙上，完好地存在著。
存在即合理?！狦·W·F·黑格爾
導致我們發現上面這些悖論的原因，在于我們是在「另外一個層次」的同構信息角度來考慮原信息本身。
我在說謊。這句話本身就被其部分所否定了，也就是說，這句話的一個部分是在討論一個范圍內的事物，而這句話本身正好在這個范圍內?！刚f謊」談論的是這個人所說出的話，而這句話本身就是這個人所說出的，部分指向本體，即我們前面所提到的「自指」，所以在這之中可能孕育出危險的悖論。
但是僅僅如此仍然不夠。我們不妨把這句說謊者悖論寫成一種讓我們更容易分析的形式：
說謊者悖論分析形式：這句話是假的。
如果我們從這個句子本身的層次來看，我們是看不出問題的，我們作為句子本身不知道句子中的「這句話」指的到底是什么。它有可能指的是前一句，也有可能指的是下一句，自指在這種情況下不存在。只有當我們跳出系統，從更高的層次這個句子本身去理解這個句子的時候，我們才能知道，「這句話」指代的居然是這三個字的母體，即代表「這句話是假的」本身。
我們可以為「這句話是假的?！惯@句話賦予一個常量G，也就是說它和這六個字和一個句號完全同構，可以完美替代而不出問題。
G = 這句話是假的。
那么，「這句話是假的?！惯@句話中的變量，即「這句話」這三個字，就可以被常量G所代替，因為這句話指的就是G所代表的這句話。
G = G是假的，即G=G的相反，或G=~G（非G）
悖論出現。
G的存在在該語言形式系統之中，無法被證明也無法被證偽，也就是說，無論是G還是G的相反（即~G），都不符合成為形式系統內的定理的資格，無法證明也無法反證，無法確認G的真實性，但G是真實存在的，所以系統不是完全的。
當人們假定它是真實的時候，它一巴掌扇過來說你個瞎子我明明是假的。當人們假定它是假的時候，它一巴掌扇過來說你個變態我明明是真的。它像是一個擠不破的大皮球（也像是生氣狀態中的女人），總要有一邊鼓起來，讓人們只能亡羊補牢，顧著這邊就沒辦法顧那邊，永遠無法真正地用一種系統涵蓋全部的定理。
當我們在一個足夠強力的形式系統之中，借助一種同構的翻譯（G=這句話是假的），來并從多個不同層次上理解同一個事物，并且該事物在其內部有部分對其本身的自指的時候，就有可能產生悖論。我說是有可能而不是一定會，是因為我們可以簡單地把G中的「假」換成「真」，就不再存在悖論了。而這個悖論，存在于所有足夠強力的形式系統之中，也就是說，如果形式系統足夠強（也就是能夠反映相當部分的現實），那么就成為了哥德爾定理的犧牲品；如果本身就不夠強，那么哥德爾定理無效，但也根本用不上哥德爾定理，一個不夠強的形式系統根本就沒有足夠的有效性。
哥德爾這狠狠一錘砸死了不知多少天才橫溢之輩完美無缺的數理邏輯夢。
哥德爾不完備性定理相當于讓人們在二者之中選一：要么選擇去接觸不完備的范圍廣大的知識，要么去選擇完備但只包括一小部分事實的理論。我們必然是掰棒子的狗熊，撿一個就必須丟一個，不存在能夠獲得完備知識總集的可能。
上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。
——數學家外爾（Hermann Klaus Hugo Weyl）
在書中給出的哥德爾推導是在TNT中，還使用了「證明對」和「算術?摁化」這兩個應該是作者自己發明的概念。哥德爾本人的推導應該會遠更加復雜。不過當你讀到這里的時候，就應該已經明白矛盾出現的原因到底在哪了。
集異璧
四、人工智能
哥德爾定理之所以在書中被大書特書，是因為作者相信它對人工智能有著非常核心的影響力。
人腦中有約100億個神經元，每個神經元最多可以有20萬個不同的輸入端口，輸入的綜合超過閾值后發射電化學流，每秒的發射頻率可達上千次。對于這些繁復到讓人目瞪口呆的變化，我們卻本身對其沒有任何的認知，這是因為層次與層次之間的「隔離」（即大腦符號軟件層和神經元硬件層）。隔離程度越高，高層對底層就越知之甚少，對于一個復雜系統來說也就越成熟。要是連簡單的一個「我想吃蘋果」這種想法，都要用意志去調動數以億計的神經元并控制他們的激活與否，那窮盡我們一生可能都不會形成哪怕是最簡單的概念。底層封裝地越好，我們就越可以不去管它們是如何實現的，只需要發送一個簡單的指令，并且知道底層會很穩定可靠地去做就好了。
所有的靈活的軟件下面都必然有著最底層的不靈活的硬件，而軟件的靈活性恰恰來自與硬件的穩固性。（p391， p907）
在最底層的神經元層次，我們可以類比為電腦的硬件層次，沒有思想，沒有性格，有的只是最為單調但精準無誤地操作和重復——輸入數量足夠就激活發射，不夠就閑置。但正是這種超級大范圍的無意識行為，其復雜度達到了某個閾值之后產生質變，就能夠孕育出智能來。
從底層的純粹硬件到我們腦海中的概念的層次是一個謎一樣的本質的飛躍，我們開始能夠意識到我們自己的存在，并能開始理解形成概念和記憶。本書中稱我們的概念層為符號層，每一個符號代表著一個概念，可以代表饑渴，可以代表書本的概念，可以代表某種動力或欲望，也可以代表著父親母親。當某一事件發生的時候，相關的符號之間互相交映互相激活，最后在大腦整體上得到一種情緒上或概念上的反饋。
讓人驚訝的是，人腦的硬件層次并不一一對應于某個軟件功能，并不是像我們可能想象的那樣，大腦的某一片負責視覺，某一片負責想象，某一片負責平衡現實和理想之類的。這種一一對應的關系并不存在，所有激發出來的結果，都是以一種整體論的形式來整體地體現反饋回來。也就是說，大部分功能都由整個大腦來負責，不能完全分隔開功能區域。
智能怪圈：神經元層次決定了智慧層次該如何執行，智慧層次的思維過程又反過去影響了神經元層次該如何執行。
近現代認知科學的出現和發展一直是建立在一個叫做「認知可計算主義」的概念之上的，這個概念認為通過計算可以模擬出人的認知模型來，或者說，認知的本質就是計算。因此，發展人工智能的重擔也就落在了計算機上。隨著計算機的計算能力的發展，現代最頂尖的計算機擁有著和人腦相媲美的復雜度和遠超人腦不知多少個數量級的計算能力，但是，基于「認知可計算主義」的智能卻仍然沒有任何出現的苗頭。很明顯，僅僅是程序的運行速度和復雜度，并不是生成智能的原因，至少不僅僅是它們。
如果我們仔細去剖析自己的想法的話，我們就會發現，無論我們在想什么，我們的腦海里都存在著一個小人，那個小人符號代表著「自己」。無論是類似于「我想去喝水」，或者「面前出現了一片廣闊無垠的金黃麥場」，還是「我明天早上起來要去跑半馬」，這所有的觀念之中，都有一個符號的「我」存在。這個「我」的存在，其實是個體創造力、理解力、想象力、感情、欲望、意識和自由意志的最關鍵的一塊拼圖——它允許我去想關于「我自己」的事情。它允許了在某種程度上跳到「我」之外去考慮事物，即「跳出系統」的能力。
我們對此早已習以為常到渾然不覺的地步了。但是，我們的大腦和其中的思維是我們自身的一部分，而在我們的思維中，又重新出現了「我」這個概念。無論我們是如何思考的，我們想到「我」的時候，想到的并不是我這個現實存在的個體，而是我們腦袋中對于自我個體的一個同構的翻譯。
發現了嗎？
我們現在是在從多個不同層次上理解同一個事物（自己），并且該事物在其內部有部分對其本身的自指（符號的「我」指向現實的我）。這離出現哥德爾悖論就只有一步之遙。
所有的計算機系統都是數論系統。如果我們按照「認知即計算」的章程來看的話，基于計算機的人工智能如果想要達到近似人類的思維能力，也就是需要擁有「自我」的概念符號的話（即出現自指），那將必然遭受到哥德爾不完備性定理的直接攻擊，也就是說，如果計算機有能力在自己的運算過程之中制造出一個代表自身的符號來，那么哥德爾制造悖論的方式就可以在計算機中造出不可證明也不可證偽的奇異的虛幻來。
計算機的運行基于最基礎的運算單元加減法，它的任何一步的結構都必然是完備的，可推導的可證明的，所以，從反向推導，計算機絕對不可能擁有代表自我的符號，也就絕對不可能通過這種方式擁有智能——它并不具有跳出系統的能力。從這里再追根溯源去找人工智能發展瓶頸問題出在哪，我想懷疑最大的就是「認知即計算」的這個概念。這個概念已經帶領著我們的計算機科學以超乎想象的速度發展了數十近百年，但是在人工智能的領域，也顯示出了它被哥德爾所嚴格束縛住的能力范圍。
有的人可能會提出：計算機是人造的一種機器，只要是機器，就肯定會嚴格按照它得到的指示去做，它不會也不可能去做也想不到要去做任何它不知道的事情。本書的作者反駁：機器和人兩者都是由硬件構成的，一個是零件，一個是神經元，而硬件可以按照物理學定律完全獨立地運行，并不需要任何人去規定。既然人能從海量的互相糾纏的完全機械的神經元中得到智能，那么為什么計算機就不能呢？
哥德爾不完備性定理不是在說機器的能力極限，也不是在說人的能力極限，在人工智能領域，它僅僅是在說從完全硬件角度，將一個人的想法完全復制到機器之中會受到的強烈限制。相比而言，構成一定的智能會比復制硬件構成簡單得多。同時因為我們可以跳過硬件層次而只了解符號層級的一般工作原理，就好像了解發動機的一般工作原理一樣，我們繞開了哥德爾定理在底層對于強力數論的要求。
如果我們暫時滿足于在符號層面上研究大腦，并在符號層面上讓計算機實現類似的智能，那么還是大有可為的。這就相當于假裝底層的實現可能不是一個會落入怪圈的足夠強力的形式系統，而是并不符合哥德爾定理的某種新體制。
無論如何，這樣人工智能的發展就避開了哥德爾的魔爪。在上世紀中旬就有可靠的科學家預測，在接下來的二十年中，強人工智能（即能夠主動思考創造的類人機器，相對于類似于Siri的弱人工智能）必然會出現，但是半個多世紀過去了，所有人的預見全部落了空。人腦的復雜性遠遠超出了原來科學家們的想象。
如果想了解更多的關于人工智能話題的話，知乎的謝熊貓君翻譯了一篇英文的關于人工智能的科普讀物，在上一年里反響很大：為什么最近有很多名人，比如比爾蓋茨，馬斯克、霍金等，讓人們警惕人工智能？如果不喜一家（而且好像不是很權威的一家）之言，更喜歡全面地看問題的話，可以看看這個知乎問題下的答案，里面有數人反對謝熊貓翻譯的文章的觀點：為什么有很多名人讓人們警惕人工智能？
五、結尾
正因為哥德爾、艾舍爾和巴赫（其實感覺沒巴赫什么事，艾舍爾也只是打打下手做做參謀）三人共同表現出的對于怪圈和纏結的層次結構的表現和理解，本書作者才將哥德爾、艾舍爾、巴赫這三塊他精心收集的異彩奪目的瑰璧嵌為一體，并使之發揚光大、輝映成章。而這三塊有異曲同工之妙的奇珍，也因此凝集成了一個珠聯璧合的整體。（p951）
1978年寒冬，美國普林斯頓，「無」宮殿內。
閃爍著火焰的蠟燭在門廊中飄忽，數理大帝二世：庫爾特·哥德爾 穿著純白色干凈亞麻制作的長袍，正走在大殿中的畫廊里。他已經到了油盡燈枯的年齡，臉上的皺紋像是刻畫在空間之上的歷史，絕無可能再次抹去。
如果你用米尺去在不同的位置丈量畫廊本身的寬度的話的話，你就會發現畫廊的寬度是在變化的，事實上，整個「無」宮殿本身都以一種很奇異的姿態「扭」在一塊凹凸不平的山坡上。建筑者并沒有費心去把土地填平篤實，而是放任在那里，導致整個宮殿的地都變成了一個三維的波函數。
作為數學帝國的第二任皇帝，他經歷了數理帝國的涅槃，重生的帝國和重生的他已經不再寄希望于完美無缺的對稱的穩固，而更喜歡飄忽不定的自由和彈性。
真實的世界不是完美的，而不敢面對這個事實的人，根本沒有資格稱自己為數學家。哥德爾總是這樣和人說道，他對此毫不懷疑。
他慢慢走到了畫廊的另外一邊，不時停步，緩緩欣賞著畫廊中擺放著的艾舍爾的各種畫作。他還記得他年輕的時候，初次見到艾舍爾畫作時候的驚艷——與其說他喜歡艾舍爾的畫，還不如說他在艾舍爾的畫中嗅到了與自己的觀念相通的某種芬芳，某種對于真正完美的扭曲，還有扭曲中的反抗。
畫作都看完的時候，已經過去了很久。他走回了自己的辦公區域，坐在自己的辦公椅上。在那寬大到可以并排躺下四個人的桌上，寥寥無幾地放著兩個煙斗，一條莫比烏斯紙帶，一個水晶球，還有一顆頭顱大小的黑色正方體木塊，木塊的正中央寫著一個大大的「無」字。木塊的材質顯得很突兀，像是從另外一個時空傳送過來的紀念品，仔細聞聞似乎還攜帶著些許上一個主人的氣味。
他摩挲著這塊和他頭顱近乎同等大小的正方體，目光漸漸變得溫柔，連眼角的皺紋都化了開。他的右臂向上抬了抬，似乎想要把木塊翻滾90度，但是那木塊卻好像沉重得讓年邁的他完全沒有任何辦法。他的臉上開始漸漸冒出了細微的汗，那汗冰冷如雨。幾經嘗試之后，他長嘆一聲，仿佛把數十年的人生苦樂從這一口氣中散逸掉了。
他的眼睛閉上而又睜開，右手輕輕一推，木塊的底面就翻滾了出來，同時躍入眼簾的是一行很簡短的字。
他從左到右一個字一個字地讀著那上面的話，重復讀了幾遍，終于放開了手，如同斗敗了的公雞一樣癱倒在扶手椅里。那木塊上寫著：
證明「我」是錯的。
三天后，庫爾特·哥德爾溘然長逝。
書評和后記
本書的內容超乎預期的駁雜繁復，上千頁的扎實的內容和五花八門多個領域的互相糾纏，又有結構極其精巧讓人贊嘆的小故事穿插于其中，讓這本書的閱讀成為了一場讓人頭痛不已卻又不舍讀完的盛宴。寫出的書籍重點和筆記足有接近三萬字，分為兩篇貼在這里，供想要讀、正在讀和想要溫習的人做個參考：
我并不推薦本文給大多數人去讀，因為「臣妾做不到哇」。對數理邏輯感興趣的人們，可以準備一段時間出來看看，不過，我希望我寫出的這篇文章能夠讓所有人有所補益。
這篇文章的形式借鑒了本書的形式，雖然只能得到其皮毛。原書中在每一章節前穿插著故事來承前啟后，我也盡量插進幾個小段故事來增添文章緊湊型和趣味性。原書使用了大量艾舍爾的畫作，我也撿其精華用在文章里。去掉我認為過于復雜的和與主線無關的部分，文章中介紹到的概念和書中介紹的主要概念順序和篇幅大致相等。模仿原書，本文的末尾的故事和開篇的故事相呼應，暗示出了相對于人工智能的用「無」「廢問」的概念，其中也蘊含著一些自指和怪圈，明眼讀者們想必能夠將他們辨認出來。
本篇文章是繼「我幫你讀」系列我幫你讀：「如何閱讀一本書」、我幫你讀：「中國哲學簡史」和我幫你讀：「厚黑學」、我幫你讀：「論人類不平等的起源」、我幫你讀：「槍炮、病菌與鋼鐵——人類社會的命運」之后的第六篇。如果是第一次來讀「我幫你讀」系列文章，那么可以去看看「我幫你讀」系列目錄、序言及規則。預告：下一篇將會是一篇承接本書的另一部跨學科奇作，同樣是從多個角度去分析世界的某個本質，敬請期待：我幫你讀：「真實世界的脈絡」，書籍作者戴維·多伊奇。
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