1978年1月14日，一顆偉大的心臟停止了跳動，世界著名的哲學家，邏輯學家和數學家哥德爾病逝。
死亡證明說：** 病人死于人格紊亂造成的營養不良和食物不足 **，病逝時體重只有65磅。
讀者可能會感到疑惑作為普林斯頓高等研究院的終身教授，世界聞名的學者，而且又不是生活在60年代初的中國大陸或者是常年饑荒的非洲國家，一個人怎么會死于營養不良呢？
是的，哥德爾的一生飽受精神疾病的折磨，數次有過自殺的傾向。
晚年更是經常懷疑有人要謀殺他，會在他的飯菜里下毒。所以他不相信別人做的飯菜，只相信他夫人阿黛爾做的飯菜。
但是太太阿黛爾也病倒了，沒有辦法照顧他，因此他只能吃一些很簡單的食物或者就是經常不吃飯，身體狀況迅速惡化，最終死于營養不良。
偉大哲學家的凄涼晚景真是令人唏噓不止！
庫爾特.哥德爾1906年4月28日生于捷克的布爾諾。早年在維也納大學攻讀物理和數學，并參加維也納學派哲學小組的活動，于1930年獲得數學博士學位。1938年哥德爾來到美國普林斯頓高等研究院工作。
他對邏輯學和數學基礎等領域的研究做出了突出的貢獻，哥德爾做出的工作到底有多么重要學術界自有公論，我們僅從愛因斯坦的一句話就可以大致判斷出哥德爾是屬于重量級的人物，愛因斯坦說：
他晚年之所以堅持每天都去辦公室，是因為在路上可以和哥德爾聊天。
哥德爾的妻子阿黛爾比哥德爾大六歲，哥德爾21歲認識她的時候阿黛爾已婚并且在夜總會工作。他們的婚姻遭到哥德爾家人的集體反對但最后有情人還是終成眷屬，婚后他們沒有孩子。
哥德爾的朋友們對于阿黛爾的評價是“說話尖酸，脾氣暴躁”，但是朋友們的評價并沒有妨礙他們之間的感情，哥德爾夫婦的感情一直很好。
哥德爾一生最重要的工作是證明了哥德爾不完備性定理，要想了解不完備性定理的大致含義，我們先從希爾伯特雄心勃勃的計劃說起。
德國著名數學家希爾伯特出生于東普魯士的哥尼斯堡，與偉大的哲學家康德是同鄉。
希爾伯特是一位名副其實的數學大師，有人將他稱為“數學界最后的一位全才”。
希爾伯特希望為整個數學尋求一個堅實的基礎，他的目標是將整個數學體系嚴格公理化（就像歐幾里得的平面幾何學一樣），然后運用元數學（證明數學的數學）來證明整個數學體系是建立在牢不可破的堅實的基礎之上的。
首先，他計劃要將所有數學形式化，讓每一個數學陳述都能用符號表達出來，讓每一個數學家都能用定義好的規則來處理這些已經變成符號的陳述。
這樣就可以使數學家們在思考任何數學問題的時候能夠徹底擺脫自然語言的模糊性，取而代之的是毫無含糊之處的符號語言。
然后，證明數學是完整的，也就是說所有為真的陳述都能夠被證明，這被稱之為數學的完備性；再來證明數學是一致的，也就是說不會推出自相矛盾的陳述，這被稱為數學的一致性。
完備性保證了我們能夠證明所有的真理，只要是真的命題就可以被證明；一致性確保我們在不違背邏輯的前提下獲得的結果是有意義的，不會出現某一個陳述，它既是真的又是假的。
最后，期望可以找到一個算法，用此算法可以機械化地判定數學陳述的對錯，這被稱為數學的可判定性。一致性保證了自相矛盾的情況不會出現。
** 「在保證數學一致性這個前提之下，如果又有了數學的完備性，也就是說任何一個數學命題都可以被證明或者被證偽」 **。
這其實就是說，對于任意一個數學猜想，不管它有多難，只要假以時日，通過一代又一代人的努力，總是可以知道這個猜想對不對，并且證明或證偽它。
換句話說，在數學中，通過邏輯，我們必定能夠知道我們想要知道的東西，這只不過是個時間問題。
希爾伯特提出，先計劃在基礎的數學系統中進行這樣的形式化，然后再將其推廣到更廣闊的數學系統中，最后實現整個計劃。
于是，整個計劃便歸結為在算術系統中進行這樣的形式化，并且在算術系統的內部證明它的完備性、一致性和可判定性。算術系統可以說是非常基礎的系統，我們做算術，對自然數做加法、乘法和數學歸納法，就都用到了這個系統。
但我們平時只是憑直覺來理解這個系統，而數學家追求的是用邏輯的方法來定義它，因為只有這樣做才會使他們覺得安心。這似乎不是一個十分困難的任務，因為算術系統并不是一個很復雜的系統。
在希爾伯特提出這個雄心勃勃的計劃以后，許多數學家都投入了對于這個問題的研究，其中就包括哥德爾。在完成自己的博士論文以后，哥德爾就著手研究更為一般的數學系統。
1931年，他對算術系統的探索宣告勝利，然而他的這個勝利也就意味著希爾伯特計劃的失敗。哥德爾的結論后來被稱為哥德爾不完備性定理。哥德爾不完備性定理包含兩個：
- 第一，他證明了，對于任意的數學系統，如果其中包含了算術系統的話，那么這個系統不可能同時滿足完備性和一致性。
也就是說，要是我們能在一個數學系統中做算術的話，那么要么這個系統是自相矛盾的，要么有那么一些結論，它們是真的，但是我們卻無法證明。
- 第二，他證明了，對于任意的數學系統，如果其中包含了算術系統的話，那么我們不能在這個系統的內部來證明它的一致性。
哥德爾不完備性定理的證明過程十分復雜，但是其核心思想是運用了邏輯學里的“自指”的概念，說的通俗一點就是：「這個陳述它陳述了它自己」。
自指是邏輯學里面很多悖論的根源，比如理發師悖論——在一個小鎮內，只有一名理發師，他在理發店門外公布了這樣一個原則：「只為不給自己理發的人理發」。
那么，他自己的頭發誰來理呢？要是他自己理的話，他就會自己理發了，那么根據他的原則，他不應該為自己理發；要是他不給自己理發的話，根據他的原則，他倒是應該給他自己理發了，邏輯似乎在這里失效了。
這種邏輯上的混亂局面，背后就是羅素悖論：定義一個集合，它包含所有不包含自身的集合，那它是否包含自身？
從上面的分析我們可以看到，一切問題在于“包含自身”這種自指的描述。然而這種“自指”的性質，在哥德爾的手中，卻變成了完成證明的重要工具。
哥德爾構造了一個命題，這個命題說的正是它自身的不可證明性。如果用類似說謊者悖論的語言來描述的話，就可以表達為：** “不存在對這個命題的形式證明。” **
如果它是真的，那么它是不可證明的，說明系統是不完備的，因為存在一個真的而又不可證明的命題；
如果它是假的，那么就存在一個對它的證明，這樣它應該是真的，這又說明了系統是自相矛盾的、不一致的。
這就是哥德爾第一不完備性定理：如果系統包含有自然數的話，「完備性和一致性不可得兼，這個系統要么自相矛盾，要么存在著既不能證明也不能證偽的命題」。然后，我們再來僅考慮一致性的問題：
假定系統是一致的，也就是說不會自相矛盾的，那么我們剛才提到的命題就是不可證明的。如果我們能在系統內部證明系統的一致性的話，我們就相當于在系統內部證明了那個命題，這與不可證明性是矛盾的。
???也就是說，我們做了錯誤的假設：能在系統內部證明系統本身的一致性。
由此，哥德爾證明了他的第二不完備性定理。如果我們假定數學是不會自相矛盾的話，我們就必須承認數學是不完備的，也就是說有那么一些數學命題是不可判定的：
我們既不能證明它們為真，也不能證明它們為假。
自從哥德爾不完備性定理被證明以來，越來越多的數學問題被證明是不可判定的，這些不可判定的問題也越來越初等。乍看起來并非不可捉摸，但到頭來卻是不可判定的。
這就給數學家們的心頭上壓了重重的一塊大石頭，誰也不能肯定自己辛辛苦苦做了十幾年甚至幾十年的題目，會不會突然有一天被證明是在現有的數學系統中是不可判定的。
盡管這樣，哥德爾不完備性定理仍然帶給我們很多收益，** 至少我們知道了，有些東西我們是不可能知道的。 **
哥德爾的不完備性定理，首先是針對“形式系統”的。只有在存在“形式系統”的條件下，才會產生“形式與內容”之間的不相容性的問題。
理論物理系統作為一個標準的“形式系統”，其終極形式最終會導致“完備性”與“一致性”之間的不相容。
所以，理論物理的理論的發展只能是漸進的、分層次的，這就是為什么愛因斯坦的相對論可以超越牛頓力學卻無法取代牛頓力學的原因。
同樣超越愛因斯坦的相對論也不意味著取代愛因斯坦相對論，因為包含相對論理論的形式系統（黎曼幾何）在相應的物理內容范圍內是無矛盾的，相容的。
真理與命題之間的矛盾，似乎是悖論的必然表現。這個表現的本質在于，它證明了“真理”本身的相對性，而“絕對真理”只能建立在體系完備的基礎上，哥德爾定理證明了這是不可能的。
因此，當人們追求“絕對真理”的時候，實際上就已經偏離了追求“真理”的正確道路，其結果必然就是：發現“絕對真理”就是絕對的悖論。
因此，20世紀的哲學終于擺脫了“絕對真理”的龐雜體系，開始了自身的變革。
雖然，哲學不再充當“科學的教父”，“意識形態的總司令”，但它自身卻變的更加接近真理而遠離了謬誤。
這也許就是20世紀的數學，對于哲學的最大貢獻，而且對于整個人類文明的影響也是非常深遠的！
