在開始討論哥德爾的本體論證明，即利用三階模態邏輯（HOML）來證明“類上帝的屬性必然有實體”，之前，我們先來了解一下模態邏輯。
命題邏輯、謂詞邏輯和模態邏輯
模態邏輯中，有三個概念是最基本的：
- 可能世界
- 對象
- 命題與屬性
我們可以構造一個最大的集合，稱之為Omniverse（隨便取的名……），它是所有可能世界的集合。而所謂的“可能世界”，就是Omniverse中的一個元素，其本身是一個由對象、屬性與命題構成的。
可能世界中的一個，被稱為真實世界，就是“當前世界”——當然它是什么并不重要，甚至于有沒有都不是很重要。當然，我們必須要知道一點，模態邏輯中的世界和我們日常概念中的世界以及物理學上的世界，沒有半毛錢關系……雖然前者可以等于后兩者，但前者還可以是更多。
所有對象、屬性/命題的討論，都必須指定是在哪個可能世界進行的。比如我說“天鵝是黑的”，這句話本身沒有意義，我必須指明一個可能世界，比如說，“在沒有天鵝的世界里天鵝是黑的”，這句話就更沒意義了。。。但如果我說“在只有白天鵝的世界里天鵝是黑的”，這句話就是錯的。
所以，討論一個命題之前，必須要指明一個世界，世界可以被認為是一切命題能被討論的舞臺。
兩個世界之間存在一個二元關系，被稱為“可達”。比如世界w和u，二元關系$w \gtrdot u$的意思，就是“從世界w可達世界u”。
到底什么樣算是可達？這個問題不是很重要。。。
可達性可以有一些額外的公理性要求，選擇不同（或者不選）的公理可以得到不同的模態邏輯（不寫世界的范圍，默認是在Omniverse中）：
其中，歐幾里得性等于對稱性加上傳遞性。
世界中的一個最重要的客體，就是對象。
比如，一個世界中可以有三角，有天鵝，有X戰警，有超人，有幽靈，等等等等。對象可以是具體的，也可以是抽象的，但對象必須在一個世界中。
以a來表示對象，那么$a \in w$就說明a在世界W中。
客體可以不是一個實體，而是一類實體的抽象，比如“我手上的這枚蘋果”和“蘋果”都可以是客體，只不過前者是一個具體的實體，后者是一類實體的抽象。
對象可以有很多屬性，或者說可以有很多命題來描述一個對象。
我們將明確指定了所處世界、所描述的課題、并能進行真值判定的句子，稱為命題，或者屬性。
比如，“所有蘋果都是紅色的”，這句話在指定了一個世界后，就是一條命題，也是一個屬性，寫出來就是：$w \vDash \forall apple \in Apple \ (red(apple))$。
下面就來說一下邏輯。
傳統的命題邏輯，就是命題和對象，命題之間有如下二元關系：
- 且：$\land$
- 或：$\lor$
- 蘊含：$\rightarrow$
- 真值相等：$=$
為了方便，可以引入一個二元關系“等價$\leftrightarrow$”，即$p \leftrightarrow q$就表示$p \rightarrow q \land q \rightarrow p$。但這其實不過就是一枚“語法糖”。
還有一個一元關系：否$\neg$，它表示的就是命題的否命題。
一階謂詞邏輯引入了兩個謂詞：$\forall$和$\exists$，分別表示當指定了一個集合后，對集合中所有的元素命題都成立，和集合中存在元素使命題成立。
這兩個謂詞是不獨立的，因為：
我們可以推論出如下三個結論：
第三條有點類似廢話。。。
這里可以岔開說一下哥德爾的不完備性定理。
如果一個邏輯系統強大到與算術公理相容，那么我們可以給每個命題、對象都指定一個哥德爾數（使用一個字符集來表征命題與對象的表達，然后使用素數與字符在字符集中的位置對應，字符在命題中的序數作為素數的冪次，從而最后任意一個命題都可以唯一對應到一個自然數，這個數字就是哥德爾數），從而一階謂詞邏輯就可以對這些數字進行操作，進而構造出類似“這句話是錯的”這樣的自我矛盾的命題，從而表明了這樣一個足夠強大的一階謂詞系統要么是完備的要么是自恰的但不能同時滿足。這里的要點其實就是這樣的自我矛盾的命題原則上對應的哥德爾數是無窮大，從而不能完備；而如果要不是無窮大從而完備，則不可能自恰，因為這個命題自我否定了。
有了命題邏輯和謂詞邏輯，我們下面就可以來搞搞模態邏輯了。
模態邏輯引入了可能世界，以及針對可能世界的兩個算符：必然$\Box$和可能$\diamondsuit$。
在模態邏輯中，對于任意命題，我們都必須指定一個世界w，也即我們只能說：世界w中，命題P為真。寫為：$w \vDash P$。
因此，我們就建立了一個世界與命題的二元關系$\vDash$，表示命題在世界中為真。
而必然和可能這兩個算符的意義就是（我們用O表示Omniverse）：
也就是說，世界w中命題P是必然的，當且僅當在所有w可達的世界中，P都為真；而世界w中命題P是可能的，當且僅當在所有w可達的世界中，存在一個世界其中P為真。
必然與可能也不是彼此獨立的算符，就和謂詞邏輯中的“所有”和“存在”一樣：
我們前面介紹了可能世界之間的二元關系“可達”，它可以要求五種不同的公理，從而可以得到不同的模態邏輯。
- 不選擇任何一條公理的模態邏輯被稱為K模態邏輯系統，簡稱K。
- 選擇存在性的模態邏輯被稱為D。
- 選擇自反性的模態邏輯被稱為T。
- 選擇自反性加對稱性的模態邏輯被稱為B。
- 選擇自反性加傳遞性的模態邏輯被稱為S4。
- 選擇自反性加上歐幾里得性的模態邏輯被稱為S5（從而等價于要求了自反性、對稱性和傳遞性）。
在T以及基于T（比如B、S4、S5）邏輯規則下，我們可以證明：
為什么要自反性？因為如果沒有自反性的話，我們無法證明從世界w可達世界w自身，從而證明就無法完成。
我們也可以在D中證明：
但顯然只有D的話無法證明T中的第二條命題。
當然，為了方便，我們可以不寫世界w，比如上面的可以寫為$\Box P \rightarrow \diamondsuit P$，但我們必須記住每一條命題都是指定了一個世界的。
上面，我們準備工作都做好了，下面就開始討論哥德爾的本體論證明。
本體論證明
哥德爾的本體路能證明，在S5模態邏輯的基礎上，引入了幾條新的公理和定義。
定義1：存在關于屬性的屬性P。
P是關于屬性的屬性，也即P并不直接作用在對象x上，而是作用在描述對象x的屬性f上。
舉例來說，“‘花是香的’這句話是P的”。這句話就是關于“香”這個屬性的命題，即，P是屬性的屬性。但我們不能說“花是P的”，因為P不是對象的屬性，是屬性的屬性。
對于P具體是什么，我們不知道，但我們知道關于屬性P的幾個公理：
公理1：
即，屬性$\phi$與其否只能有一個是真的。
公理2：
即，如果$\phi$是P的，且對于任意x都必然（對每一個w可達的世界u）有（u中）$\phi(x)$蘊含$\psi(x)$，那么$\psi$也是P的。
通過這兩個公理，我們可以得到一條定理：
定理1：
即，對于任意屬性$\phi$，如果$\phi$是P的，那么可能（有一個w可達的世界u，u中）存在一個對象x，是的x是$\phi$的。
舉例來說，就是如果“是紅色”是P的，那么至少有一個世界中，有一個對象x是紅色的。
這個證明可以這么來看：
因此，只要我們認同公理1與公理2，那么P的屬性就必然能在至少一個世界中存在一個對象使得該屬性為真。
這里，公理1應該是沒問題的，它其實就是排中律運用到了P上，而二值邏輯中基本不會有人懷疑其正確性。
公理2則認為，一個P的屬性所必然蘊含的屬性也是P的。這方面其實有點討巧，因為我們從來都不知道P到底是什么，我們可以給P任何一種名稱，不管是“偉光正”還是“矮矬窮”都可以，所以P的名字是沒意義的。我們自然可以認為公理2不成立，一個P的屬性所必然蘊含的屬性可以不是P的，我看不出有什么理由認為公理2必須成立——當然，公理的作用本就是強行給出推理的基石，其正確性并不能由推理給出，只要保證該公理系統是自恰的就行了。
公理的正確性或者說可靠性很大程度上是一個信仰問題。
因此，我們上面通過兩條定理，得到的一個結論就是，假定有一個屬性是P的，那么就能在一個世界中找到一個對象是具有該屬性的。
關于屬性的屬性P，還有第三條公理：
公理3：如果一個屬性是P的，那么它必然是P的。
更具體地說，就是如果在某個世界w中一個屬性是P的，那么在所有w可達的世界中該屬性都是P的。
這個要求其實沒啥道理，反正就是這么被定為公理了……
而且，結合公理1，我們可以發現，現在一個屬性要么必然是P的，要么必然不是P的（因為如果屬性不是P的，那么根據公理1其否就是P的，那么根據公理3其否就是必然P的，所以它就是必然不是P的），這樣這兩條公理事實上就要求了所有的屬性在每個世界都具有相同的P或者非P的取值。
這已經非常過分了，因為從是否是P的這點來看，所有宇宙已經合并成了一個宇宙（這已經有點模態坍縮的意思了）。
而它最過分的點，在于它事實上表達了這么一件事：
這是為什么呢？因為如果某屬性是可能為P的，就表示在w可達的某個世界中該屬性的確是P的，那么利用公理3（以及模態邏輯S5），就表示該屬性必然是P的，即該屬性在所有w可達的世界中都是P的……
所以，對于P的屬性，如果它可能是真的，那么它就必然是真的——是不是讓人想到了墨菲定理？
結合定理2，我們可以看到，雖然我們還是不知道屬性的屬性P到底是什么，但是我們已經給了它兩個很牛逼的性質，就是傳遞性（公理2）和必然性（公理3）。
下面，我們在來一個新的定義：
定義2：存在屬性Q，它要求所有具有屬性Q的對象，擁有所有P的屬性，即：
這個定義就是說，如果一個對象是Q的，那么這個對象就擁有所以P的屬性；而如果一個對象擁有所有P的屬性，那么這個對象是Q的。
事實上，由此我們可以得到一條定理：
定理2：如果x是Q的，那么x必然擁有所有P的屬性，且不能擁有任何非P的屬性。
證明其實很容易：
即如果x是Q的且有一個非P的屬性t，那么否t就是P的，那么根據Q的定義x就必須是否t的，而x又是t的，于是矛盾，所以x不能有非P的屬性，只能有P的屬性，且必須有所有P的屬性。
所以，x是Q的是一個很強大的要求與性質。
一個很自然的問題，就是這樣的對象到底是否存在呢？
于是哥德爾以公理的形式對這個問題給出了回答：
公理4：Q是P的，$P(Q)$。
使用公理4與定理1，我們立刻就可以得到一條定理：
定理3：
用人話來說就是：至少有一個世界存在一個對象是Q的。
因此，公理4等價于直接要求了，至少有一個世界存在一個對象是Q的。
但這個要求是否合理？我們不知道。我們知道的只是，假定我們引入了這條公理，那么就一定存在一個世界有一個對象是Q的。作為公理，我們不能質疑它的合理性，我們只能使用它，但這也就是說，我們完全可以去掉這條公理，一如我們在幾何理論中去掉著名的“第五公設（平行公理）”，從而得到了歐幾里得幾何之外的更廣闊的李曼幾何。
再來，我們定義一個屬性與對象的二元關系E：
定義3：
用人話來說，就是如果在某個世界w中屬性$\phi$和對象x滿足二元關系E，那么如果x具有屬性$\psi$，則在所有w可達的世界中只要一個對象擁有屬性$\phi$則它必然也具有屬性$\psi$。
說人話就是：如果一個屬性和一個對象是滿足關系E的，那么這個對象的所有屬性都必然被該屬性蘊含，且這種蘊含不依賴于該對象（即屬性蘊含屬性，而不是對象的屬性蘊含對象的屬性，所以有一個謂詞$\forall y$）。
定義了這個二元關系E有什么用呢？讓我們來看一下定理2：
如果一個對象x是Q的，那么x必須擁有所有P的屬性，且不能擁有任何非P的屬性。
換言之，如果x是Q的，那么x的所有屬性都是P的，且所有P的屬性都是x的，這就符合E的定義：x的所有屬性只能是P的，所以可以由Q蘊含。
又由于我們已經利用公理4證明了定理3：一定在某個世界有一個對象是Q的，所以我們將這個對象記為q，q必然存在于某個世界（甚至是多個世界）。
然后，公理3又說了，既然Q是P的，那么Q就必然是P的，從而補上了定義3中要求的必然性。
因此，定義二元關系E，別的不說，它首先就給出了一個很直接的結論：屬性Q和具有屬性Q的對象q，必然滿足二元關系E：$E(Q,q)$，即：。
定理4：
到這里，我們通過公理2、公理3、公理4、定義2、定義3已經構造除了這么一個局面：
肯定有一個世界里有一個對象是擁有屬性Q的，從而它擁有所有P的屬性而不擁有任何非P的屬性，以及這個對象和屬性Q滿足二元關系E。
接下來，我們再下一個定義：
定義4：如果在某個世界中x是N的，那么所有滿足$E(\phi,x)$的屬性$\phi$都必然在每個世界中都存在對象y滿足該屬性。
看到這里，我們已經想到了，如果上面說Q在某個世界的具有Q屬性的對象q是N的，我們又已經證明了Q和q是滿足二元關系E的，那么就必然在每個世界都存在一個對象是Q的。
嗯，于是下面哥德爾就引入了最后一條公理：
公理5：N是P的，$P(N)$。
看到這條公理，也沒啥好說的了…………
因為N是P的，于是如果一個對象是Q的，那么它就肯定也是N的，從而就必然在每個世界都存在至少一個對象q是Q的。
定理5：
是不是覺得上面的過程很耍流氓？
讓我們簡要地整理一下：
- 定義了一個不知道是什么的屬性的屬性P；
- 要求或者一個屬性是P的，或者它的否定是P的；
- 如果一個屬性是P的，那么它必然蘊含的屬性也是P的；
- 根據上面兩點證明了如果一個屬性是P的，那么肯定在至少一個世界中至少有一個對象是滿足這個屬性的；
- 要求如果一個屬性是P的，那么在所有世界里這個屬性都是P的；
- 定義一個屬性Q，如果一個對象x是Q的，那么所有P的屬性都是x的屬性，x的所有屬性都是P的，所有非P的屬性x都沒有；
- 我們要求Q是P的，所以至少有一個世界里有至少一個對象是Q的；
- 定義屬性與對象的二元關系E，如果一個對象x與屬性p滿足E，那么x所有的所有屬性都必然被p蘊含；
- 利用4、5、6可以證明Q和4中要求的對象q是滿足E的；
- 定義屬性N，如果一個對象是N的，那么它的所有滿足二元關系E的屬性，都必然在所有世界都存在對象是滿足它的；
- 要求N是P的，所以滿足Q的對象必然是N的，而它和Q是滿足E的，所以根據N，在每個世界都存在對象是Q的。
不知道大家有沒有覺得，這里定義3和定義4以及公理3、4、5，都是為了得到最后必然存在對象是Q的做鋪墊，單獨看它們每一條，都感覺很沒道理……
尤其定義3和定義4以及公理3和公理5，感覺就是沒好意思說必然有對象是Q的，所以拆分成了兩個定義與兩個公理來“論證”必然有對象是Q的……
最關鍵的是，我們至今不知道P、Q、E和N到底是什么。
下面，就是哥德爾在引入五條公理與四條定義之外，所引入的語義解釋——
屬性的屬性P，被稱為“善的”、“好的”、“正面的”；
屬性Q，被稱為“類上帝”的；
二元關系E，被稱為“對象的本質屬性”；
屬性N，被稱為“必然存在”的。
于是，上面的證明邏輯就可以語義化地描述為：
- 一個屬性不是善的就是惡的；
- 善的屬性必然蘊含的屬性必然也是善的；
- 每一個善的屬性都會在至少一個世界有至少一個實例；
- 善的屬性必然是善的；
- 類上帝的對象有且只有所有善的屬性；
- 類上帝是一個善的屬性，所以至少有一個世界里至少有一個對象是類上帝的，被稱為上帝（證明了上帝的存在性）；
- 一個對象的本質屬性意味著，在每一個世界，這個屬性都可以蘊含該對象的所有屬性；
- 通過上面我們知道，類上帝是上帝的本質屬性；
- 如果一個對象是必然存在的，那么它的所有本質屬性都必然有實例；
- 必然存在是一個善的屬性；
- 所以類上帝的對象是必然存在的，所以類上帝必然有實例，所以必然有上帝（證明了上帝的必然性）。
這就是哥德爾的本體論證明，及在他的這個基于S5模態邏輯的系統中加上五條公理與四個定義，就必然有上帝。
呃…………
真的是這樣么？
大家沒發現上面的這個“證明”存在什么問題么？
首先，在引入所有符號的語義之前，這些符號可以是任意東西。
而，給符號賦予語義，真的是無歧義的么？
我們可以這么來定義那些符號：
屬性的屬性P被稱為“邪惡的”；
屬性Q被稱為“類撒旦的”；
二元關系E被稱為“對象的本質屬性”；
屬性N被稱為“必然存在”。
所以，通過完全一樣的模態邏輯，我們證明了必然存在撒旦…………
我們還可以稱屬性的屬性P為“無意義的”，而屬性Q為“類克蘇魯的”，于是我們也就證明了必然存在克蘇魯………………
屬性的屬性P為“有超能力”，屬性Q為“類正義聯盟的”，于是我們證明了必然有正義聯盟………………
這樣的證明，其實沒有任何意義，引入了上述公理與定義的S5可以證明任何語義中所申明的對象，因為語義的賦予并沒有任何合理性和可靠性，完全就是隨意賦予的。
說到底，對于什么是P，我們并沒有一個明確的定義，我們只是用三條公理給出了關于P的部分描述，但對于什么可以是P的，什么不是P的，我們并不知道，這就導致了為P的語義賦值變得很隨意與廉價。
而，雖然類上帝屬性的定義看似沒什么問題，但本質屬性與必然存在的定義則顯得相當可疑，有一種為了證明上帝存在而人為要求了必然存在這一屬性，而又為了不直接寫上帝必然存在要弄出了一個顯然為類上帝屬性量身定做的本質屬性的定義。
使用定義與公理來“要求”上帝必然存在的所謂“證明”，這大概可以看做是哥德爾本體論證明的實質。
而，這里定義與公理的可靠性與合理性，除了源于信仰的模型中賦予的語義，我們并無法看到任何別的依據。
那么，上述公理本身就真的沒問題么？
也未必。
比如說，公理2要求如果一個屬性是P的，那么它必然蘊含的屬性也是P的。
但我們都知道有一個很常見的現象，叫做“善花結惡果”，所以你說這條公理真的沒啥問題么？
如果上面還只是模糊的不滿的話，那么公理3就更過分了。
公理3要求，如果在一個世界w中屬性p是P的，那么在所有w可達的所有世界中屬性p都是P的。
這樣可以利用逆否命題得到一些很有趣的結論（基于模態邏輯S5）：
也就是說，如果一個屬性可能是P的，那么它必然是P的；如果一個屬性可能不是P的，那么它必然不是P的。
而我們前面已經說了，結合公理1，所有的屬性要么是P的要么不是P的，黑白二分。
接著，我們構造這么一個命題：$\psi(x) = (x = q) \land \phi$，其中q是具有屬性Q的對象，從而這個命題的意思就是說，如果x是q，且命題$\phi$為真，那么該命題為真。
顯然，如果某個世界中命題$\phi$為真，那么上述命題就表示它是q的屬性，因為q在所有世界存在。而我們又知道，所有q的屬性必然是P的，于是根據上面的結論，這就表示，該命題在所有世界為真：$\Box \psi(q)$。
而，這個命題$\psi$作用在每個世界的q上必然為真，所以根據命題邏輯的分離規則，這就表示在每個世界命題$\phi$都為真。
于是，總結下來就是：
定理6：
在S5中事實上這就表示：
定理6'：
這就是“模態坍縮”，它表示任一在某個世界可能為真的命題都必然在所有世界都為真。
于是模態邏輯中的或然與必然這兩個模態算符就沒有了存在的必要。
非但如此，所有的可能性都被抹去，只留下了必然性。
而且，模態邏輯的一種表述是“時態邏輯”，它將“世界”定義為世界在不同時間上的“切片”，于是“必然”是“每時每刻”，而“可能”是“有時”，這么一來模態坍縮就變成了：如果某個時刻一個屬性為真或者為假，那么這個屬性就在全時間范圍不會改變。
但這顯然是錯誤的，比如“這朵花是紅色的”這句話在時態邏輯中顯然是“有時”成立而非“始終”成立，因為花會枯萎，枯萎以后就不是紅色的了，所以一旦模態坍縮發生，那么就是說如果你現在看到這朵花是紅色的，那么在過去和未來的任何時刻這朵花都是紅色的，這顯然不正確。
進一步，既然“可能為真”的“必然為真”，那么就表示一切隨機性就都消失了，人也沒有“自由意志”，因為一切都是必然的，那自由意志就沒有存在的必要了。
而且，更有趣的是，這還表示如果上帝存在，那么量子力學就不能使用多宇宙詮釋。
因為多宇宙詮釋中，每次量子坍縮的時候宇宙都分裂為多個，這多個宇宙之間當然是彼此可達的。而既然或然的就是必然的，那就是說每個宇宙中的同一個量子過程必然得到相同的結果，但這樣的話就與多宇宙的本質矛盾：多宇宙中一個量子過程的多個不同的本征態對應了對個不同的量子坍縮結果，從而分裂出的每個宇宙都至少在一個量子過程中是不同的。
因此，如果量子力學是多宇宙詮釋的，那么上帝必然存在就是錯的（從而S5或者哥德爾的公理與定義系統是錯的）；而如果上帝是必然存在的，那么量子力學就不是多宇宙詮釋的。
更進一步的話，我們可以發現非但多宇宙詮釋與上帝必然存在不相容，整個量子體系都與上帝必然存在不相容——同一個量子過程的結果應該是必然相同的才對（模態邏輯的時態表述下），但這個顯然不符合物理事實。
于是如果上帝存在，世界就不是量子的；如果世界是量子的，那么上帝就不應該存在。
這里插一句。為什么這里直說上帝存在與量子過程不相容，而不說和經典物理中的隨機過程不相容？
因為理論上來說，量子過程是真隨機，而經典物理過程，可以被強詞奪理地認為不是真隨機，只是我們不可能知道每一個粒子的所有狀態的每一個細節，所以把必然當做了隨機。
也即，經典世界我們可以認為是萊布尼茨與拉普拉斯所要求的機械世界，只不過因為細節的不可全知而變得不確定，但本質上還是確定的。
但對于量子世界，其本質就是不確定，無論如何都不可能被用確定論改寫——當然，你可以尋找保留決定論的非定域隱變量理論，那也許上帝和量子是可以共存的。
這么一來，一個純粹的形而上的神學問題（從關于邏輯與語義的不關聯那段可以看出，這本質上都不是一個邏輯問題，而是一個對命題與公理賦予語義的模型論及其之上的神學問題）就和可以實證的物理問題聯系在了一起，而且，被證明神學與物理學不兼容…………
好吧，就算我們放過所有的公理，那哥德爾的那幾個定義，就沒問題了么？
哥德爾個公理-定義系統有五條公理與四條定義（或者說是三條定義加上一條不定義……）。
四條定義中，對于到底什么是屬性的屬性P，其實是沒有定義，但我們要用P就還是要有定義，所以對P的定義就是：要有P。（神說，要有光。）
第二條定義是關于屬性Q的：擁有一切P的屬性的對象，被稱為是Q的。
第三條定義是關于本質屬性的：對象的本質屬性蘊含對象的所有屬性。
第四條定義是關于必然存在的：本質屬性必然存在。
然后一條公理加定義說Q是本質屬性，一條公理則說必然存在是P的從而所有Q的q都必然存在，這就是哥德爾耍賴的地方，讓人想到了著名的“定義我在圈外”笑話[1]。
其中，第三條定義是值得商榷的。
因為，假定我們構造一條自我矛盾的命題，那么根據命題邏輯，我們知道，這樣的命題可以證明一切命題（不自恰邏輯系統的特點）。
而，根據定義3，我們居然可以說，這表明自我矛盾是任何一個對象的本質屬性。
然后，根據定義4，既然自我矛盾是本質屬性，那么自我矛盾就是必然存在的——任何一個世界都存在至少一個對象是自我矛盾的。
而既然必然存在至少一個對象是自我矛盾的，于是必然每個世界的每個命題及其否都可以被證明（自我矛盾的命題可以證明一切命題，不自恰邏輯系統的特點），于是必然每個世界都是邏輯不自恰的…………
這就是哥德爾公理-定義系統的不自恰性。
比哥德爾的必然存在上帝更簡潔，我們只用兩條定義就證明了必然存在自我矛盾，而且這種證明還不需要擔心語義賦予的隨意性與不合理性，因為它完全從邏輯本身生成。
所以，世界上有惡魔的成本遠比有上帝的成本低啊…………
因此，如果說哥德爾的公理-定義系統所導出的結論“必然存在上帝”告訴我們他的神學世界與真實物理世界不相容，那么這套公理-定義系統本身的定義則告訴他的邏輯世界與邏輯本身不相容…………
當然，有哲學家和邏輯學家后來提出了對必然存在的定義的修改：
定義3'：
多了一條對象x必須擁有屬性$\phi$，即這個屬性必須先要有實例，才有可能討論是不是本質屬性。這么一來，自相矛盾的命題因為被普遍相信是沒有實例的，于是它就不可能被定為本質屬性。
這就是說，我們在通過定義的方式“證明”了上帝存在后，又通過修改定義的方式“證明”了惡魔不存在…………
所以，沒事不要和邏輯學家（以及數學家）討論問題，他們的絕招就是用定義來解決問題……………………
那么，怎么才能更好地“證明”上帝存在呢？
證明上帝存在
哥德爾的本體論“證明”可以分解為兩部分。
前面的部分，利用關于P的兩條公理（公理3在這里用不到）與Q的一條定義和一條公理，證明了Q實例的存在性。
人話就是：我們用兩條關于什么是善的公理，以及關于類上帝的定義和一條關于類上帝的公理，證明了上帝的存在性。
這里的一個問題，就是我們其實從頭到尾不知道什么是善——而這點居然被神學家、哲學家、邏輯學家和數學家都默認可行了——當然，數學家和邏輯學家默認可行是沒問題的，因為邏輯規則和公理系統是獨立于模型存在的；神學家當然也樂得如此，因為語義的賦予顯然對神學家有利；哲學家在這事上是吵得最兇的（糾結于到底什么是善……），因為，他們似乎沒別的事可以干（倫理學范疇的問題也是哲學的一部分嘛）。。。
因此，如果你善于發現的話，其實肯定是想到了：既然可以利用三條公理和一條定義來證明上帝的存在性，那么干嘛這么麻煩地使用模態邏輯并使用更多的定義和公理來證明上帝的必然性呢？使用謂詞邏輯的話這里就直接“證明”了上帝存在了嘛，如下所示：
這里，公理1、3和定義1都不變（而且事實上Q的定義其實根本用不到，和P一樣說一句存在Q就可以了），就是把公理2的模態算符都去掉，從而整個邏輯從模態邏輯S5降格為了普通的謂詞邏輯。
而后，和原來的哥德爾本體論證明一樣，使用公理1和公理2，我們可以證明P的屬性必然存在實例，然后利用公理3和定義1，我們就證明了屬性Q必然存在實例。
然后還是和哥德爾一樣，我們賦予屬性的屬性P語義為“善的”，賦予屬性Q語義為“類上帝的”，于是我們就使用謂詞邏輯和上述簡化的公理系統證明了存在上帝。
是不是看上去更加簡單明了？
所以，如果只是為了使用邏輯學這一強有力的工具，加上一組“精心構造”的定義組與公理系統，來“證明”上帝的存在的話，壓根不用這么麻煩，還使用模態邏輯S5和本質屬性與必然存在這兩個定義，直接三條公理一條定義就解決戰斗了。
而此后的后半部分，那一堆定義和公理的主要目的，其實就是為了在模態邏輯下讓整個證明能跑通，同時，也為了在語義上賦予整個證明過程一些更加 make sense 的東西。
哥德爾本人為什么使用模態邏輯我不得而知，但猜測一下的話，大概更主要的是源自其本人的宗教訴求吧。
讓我們重新為所有符號賦予哥德爾所給的語義后，我們發現哥德爾所做的其實是將一些他所追求的神學概念給了一個形式化的邏輯表述，然后論證了在這組邏輯表述下，必然存在上帝。
因此，哥德爾本體論證明的實質，不是邏輯上證明了上帝存在，而是給神學訴求一組形式化表達，并證明神學訴求下存在上帝是自恰的。
整個過程實際上和邏輯一點關系沒有……
若非出于神學訴求，那要“證明”上帝存在其實很容易：
解決戰斗[2]。
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