在巴拿赫空間中，收縮算子在閉集上具有唯一的不動點。

這個定理也叫壓縮映像原理，確保了迭代法的收斂性。

首先來看收縮算子的定義，，意思就是算子A作用后，空間中的兩個點會靠得更近。從直觀上，我們就能感覺到不斷使用這個算子，就能把一個集合中的點都聚在一起。這個其實就是定理的內容，不過，定理描述的更加精確，這種互相靠近的速度，初始點和不動點的誤差，有限次迭代點和不動點的誤差，都可以被精確的描述出來。

這個定理的證明就使用了巴拿赫空間的完備性，可以證明迭代序列是一個柯西序列，所以必然收斂。這個最終收斂的點就是不動點,滿足條件。

迭代法和序列結構的構造，迭代是一種特殊的順序性結構，反映了相同模式的重復出現，比如二叉樹，就是在每一個葉節(jié)點上分出兩個枝條，這一構造模式的反復應用。這種結構和自相似結構有很大的關聯，科赫雪花，在每一條邊上添加一個角，康托集，在每一個區(qū)間上三等分，去除中間的部分。所以，雖然對于這種收縮算子而言，迭代法顯得有些過于簡單了，將其抽象為一種代數結構時，就可以構造出非常復雜而精美的結構。分析更多體現了一種實用性，而代數則往往可以反映數學的形式美。

對于抽象一些的內容，就是可計算性理論中的遞歸函數，或者實用化為程序里面的遞歸，這種遞歸操作也是一種迭代法的實現。還有就是數值分析和數值計算中的應用了，在給定精度下，盡可能快的收斂到所需的值。