從微分拓?fù)浣嵌茸C明Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理

半年前我發(fā)了一篇文，是從拓?fù)洌?zhǔn)確來說是同倫）的角度證明Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理. 這學(xué)期的幾何討論班選擇了John W. Milnor的<Topology From The Differentiable Viewpoint>，很薄的一本書，但大師就有辦法用三言兩語把復(fù)雜的事情解釋清楚. 書中帶邊流形的部分再一次出現(xiàn)了Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，對(duì)我來說是一個(gè)全新的證明思路，雖然最重要的步驟和上一篇文是一樣的：作射線.

\begin{align}Lem.&X是緊帶邊流形，則沒有光滑映射f:X\rightarrow \partial X能夠保持 \partial X不動(dòng).\\pf.& 反證，假設(shè)這樣的f存在.\\&由Sard定理，正則點(diǎn)稠密，所以可取 y\in \partial X是f的正則值. 另外\\&因?yàn)閒_{| \partial X}=id_{| \partial X}當(dāng)然以 y為正則值，故 f^{-1}(y)是一個(gè)1-維的光\\&滑帶邊緊流形，以f^{-1}(y)\cap \partial X=\{y\}為邊. 但是1-維緊流形是\\&有限個(gè)圓周、閉線段的（不交）并，故f^{-1}(y)應(yīng)該是偶數(shù)個(gè)點(diǎn)，\\&矛盾！\quad \Box \end{align}

有了這個(gè)引理，我們能證明光滑映射下的Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理.

\begin{align} Thm.&光滑映射g:D^n\rightarrow D^n總有不動(dòng)點(diǎn).\\ pf.&假設(shè)不然，則如上一篇文章作f(x)=\overline {g(x)x}\cap S^{n-1}.\\ &f不難驗(yàn)證是光滑的（只要寫出顯式立即就能看出，這里不贅述）,\\ &而且 f_{| S^{n-1}}=id_{|S^{n-1}},這與引理矛盾. \quad \Box \end{align}

實(shí)際上我們已經(jīng)證明了連續(xù)映射下的Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理了：注意到多項(xiàng)式是光滑的以及Weiertrass逼近同樣適用于多元函數(shù)，因此我們可以把連續(xù)映射的情形歸結(jié)為光滑映射的情形. 這里不再贅述逼近的估計(jì)過程.

思考：實(shí)際上，為了證明連續(xù)映射的命題，可以先對(duì)光滑映射建立結(jié)果，再逼近（最后的逼近只消做一些估計(jì)，往往都是對(duì)的）.

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