線性方程組，用的方式迭代求解，稱作線性方程組的迭代法。令映射為，迭代法解線性方程組本質上是想找映射的不動點。

首先，可以用Banach不動點定理對映射的不動點的存在性進行分析。是一個壓縮映像（contraction），當且僅當：

當然在這里還并沒有指定空間中的范數是什么。但因為有限維Banach空間中范數的等價性，只要對任意一種范數是壓縮映像，那么就存在不動點！

不動點的存在性轉化為對矩陣的范數的分析，只要：

上式表示任意一種向量范數。到現在，容易知道，我們只要知道的某一種與向量范數相容的矩陣范數，有，就能判斷存在不動點。

記是矩陣最大的奇異值，這個也叫做的譜半徑（）

譜半徑的意思就是，在單位球上的最大值就是。

假如說，對某種矩陣范數和向量范數成立，那么，根據矩陣范數與向量范數的相容性，知道，即，矩陣的譜半徑是所有矩陣范數的下界！

以上所說的矩陣范數指的都是與向量范數相容的。

因此，判斷的不動點是否存在只需要看的譜半徑（最大奇異值）是否小于1即可。

最后，Banach不動點定理只是一個充分性定理，就算的譜半徑大于1，仍然可能存在不動點。