但是傅里葉做了一些值得注意的觀察。他注意到每個bv可以解釋為x取值0-π時，曲線y=(2/π)f(x)sinvx下方的面積，即使對隨意的函數(shù)都有意義，這種函數(shù)不必連續(xù)，或者只要從圖形中知道即可。所以傅里葉下結(jié)論說，每個函數(shù)都可以表示為三角級數(shù)。但是除了丹尼爾伯努利，其他18世紀大牛都反對這個結(jié)論。我們不知道傅里葉是否了解之前別人搞了啥，1825年他說拉克魯瓦告訴他歐拉做過相關(guān)工作，但沒說是啥時候說的，不管怎樣他沒被別人嚇倒。他選取了大量函數(shù)，對每個函數(shù)計算頭幾個bv，并作出正弦級數(shù)前幾項和的圖形。從圖形上他得出結(jié)論：不管在0-π區(qū)間之外咋樣，反正級數(shù)在0-π上總是表示f(x)。他說兩個函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)一致，但不一定在區(qū)間外一致，這就是為啥早期數(shù)學家不接受任意函數(shù)可展開為三角函數(shù)的原因，因為級數(shù)給的是0-π區(qū)間的值，在區(qū)間外則周期重復。
傅里葉得出bv后，就和歐拉一樣了解到每個bv可以由級數(shù)乘以sinx，再從0到π積分獲得。他又指出這個程序可以應用于余弦級數(shù)
。接著他考慮函數(shù)在(-π,π)的表達式，正弦級數(shù)表示一個奇函數(shù)f(x)=-f(-x)，余弦級數(shù)表示一個偶函數(shù)f(x)=f(-x)，但任何函數(shù)都可表示為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和：
于是任何f(x)在(-π,π)上可表示為,系數(shù)由f(x)乘以cos vx或sin vx再從-π積到π，得到上述克萊羅和歐拉的結(jié)果。
傅里葉并未完全證明任意函數(shù)可展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)之和，他給了一些嚴密的論證，但沒說明一個函數(shù)可以展開為三角級數(shù)的必要條件，不過他相信任何函數(shù)都可以這樣搞，他還說不管f(x)是否為解析表達式，是否服從任何正規(guī)法則，其級數(shù)總是收斂的，他的信念來自于幾何證據(jù)。
傅里葉的工作除了推進偏微分方程理論，還迫使函數(shù)概念進行了修改。假設(shè)函數(shù)y=x在區(qū)間(-π,π)由傅里葉級數(shù)表示，則級數(shù)的性質(zhì)在每個長度為2π的區(qū)間上重復，這樣的函數(shù)不能用單個（有限的）解析式表示，然而傅里葉之前很多人都堅持一個函數(shù)是可用單個式子表示的，因為對y=x，x∈R的整個函數(shù)不能用級數(shù)表示，他們不能接受任意非周期函數(shù)怎么可以用三角級數(shù)表示，盡管歐拉和拉格朗日曾經(jīng)把特殊非周期函數(shù)表示成三角級數(shù)。傅里葉級數(shù)也可以表示在區(qū)間(-π,π)或(0,π)的不同部分有不同解析式的函數(shù)，不管函數(shù)是否連續(xù)。最后他說在丹尼爾伯努利的贊助下（伯努利：喂？幫我打臉歐拉和達朗貝爾）解決了關(guān)于弦振動問題的爭論。傅里葉級數(shù)標志著人們不受解析函數(shù)或可展成泰勒級數(shù)的函數(shù)的限制，此外還有一個重要事實：一個傅里葉級數(shù)在一整段區(qū)間上表示一個函數(shù)，而一個泰勒級數(shù)僅在函數(shù)是解析的點附近表示該函數(shù)（特殊情形下其收斂半徑可以是無窮大）。
前面說到傅里葉1807年的論文沒有完全說服巴黎科學院，因為傅里葉堅信任意函數(shù)可展開為三角函數(shù)，而拉格朗日堅決不信，他認為函數(shù)是由其在任意小區(qū)間上的值所決定的（適用于可解析的函數(shù)）。后來泊松說拉格朗日指出過任意函數(shù)可表示為傅里葉級數(shù)，但泊松說這話是因為嫉妒傅里葉，想把功勞給拉格朗日。
傅里葉的工作還解決了另一個歐拉和拉格朗日沒搞清楚的問題，他們?yōu)榱私庖恍┨厥鈫栴}，把函數(shù)按貝塞爾函數(shù)或勒讓德多項式展開為級數(shù)，而傅里葉揭示了任意函數(shù)可以展開為三角函數(shù)、貝塞爾函數(shù)、勒讓德多項式等一些函數(shù)的級數(shù)，他進一步說明怎樣滿足施加于偏微分方程的解的初始條件，推進了解偏微分方程的技術(shù)。傅里葉1811年的論文到1824-1826年發(fā)表時，得到了認可，后來贏得了贊許。
傅里葉的方法立刻被泊松(1781-1840)吸收，他是19世紀頂尖的分析學家和一流的數(shù)學物理學家，雖然他的父親希望他學醫(yī)，但他后來在多科工藝學校讀書授課。他從事熱理論方面的工作，是彈性的數(shù)學理論的奠基人之一，也是最先提出把引力位勢理論移植到靜電磁學的人之一。泊松對傅里葉級數(shù)的證據(jù)印象深刻，以至于相信所有偏微分方程都可用級數(shù)展開求解。傅里葉級數(shù)的每一項本身是一些函數(shù)的乘積，每個函數(shù)是一個獨立變量的函數(shù)。他認為這些展開式包括了最一般的解，他還相信如果一個展開式發(fā)散，就應該再找一個以其它函數(shù)表出的展開式，他是樂觀過頭了。
1815年起泊松解決了許多熱傳導問題，并使用了按三角函數(shù)、勒讓德多項式、拉普拉斯曲面調(diào)和函數(shù)展開的級數(shù)，這些成果發(fā)表在他的《熱的數(shù)學理論》一書。
