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高階方程

1734年丹尼爾伯努利給歐拉寫信稱自己解決了一端固定在墻上，另一端自由的彈性橫梁（一維的鋼絲或木頭）的橫向位移問題，他得到了四階微分方程 $K^4\frac{d^4y}{dx^4}=y$ (其中K為常數(shù)，x是橫梁距自由端的距離，y是在x點(diǎn)的垂直位移)，歐拉當(dāng)時(shí)回信稱自己也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式，但無法積分，只能得到四個(gè)獨(dú)立的級(jí)數(shù)解。四年后歐拉給約翰伯努利寫信稱他的解可以表示為三角函數(shù)和雙曲函數(shù)。同年他在另一封給約翰伯努利的信中說自己自研究彈性問題后思考如何求解常系數(shù)線性一般方程，已經(jīng)取得了成果。他考慮了齊次線性方程（與y和y的微商無關(guān)的項(xiàng)等于0），替換后得到特征方程，他討論了當(dāng)特征方程只有一個(gè)實(shí)根、有重根、有共軛復(fù)根和復(fù)重根時(shí)的方程解，完整地解決了常系數(shù)線性齊次方程。之后他討論了非齊次的n階線性常微分方程，使用指數(shù)函數(shù)降階求解。

拉格朗日在研究常系數(shù)常微分方程后，還研究了變系數(shù)常微分方程，他得到了比原方程低一階的常微分方程（1873年富克斯將其命名為伴隨方程），拉格朗日再對(duì)伴隨方程降階，發(fā)現(xiàn)非齊次常微分方程的伴隨方程的伴隨方程是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程（即與y和y的微商無關(guān)的項(xiàng)變成0）。歐拉看到過拉格朗日的工作，但后來忘了，1778年又搞了一遍類似工作。

拉格朗日把歐拉對(duì)常系數(shù)線性微分方程的結(jié)果推廣到變系數(shù)常微分方程，他發(fā)現(xiàn)齊次方程的通解是由一些特解乘以任意常數(shù)后相加的，知道n階齊次方程的m個(gè)特解后可以把方程降低m階。

級(jí)數(shù)法

牛頓不僅用級(jí)數(shù)做積分，也用級(jí)數(shù)求解一階微分方程，得到的解含不定常數(shù)項(xiàng)和基于不定常數(shù)項(xiàng)的一系列系數(shù)（即有無窮多解）。萊布尼茨用無窮級(jí)數(shù)解某些初等微分方程也用了未定系數(shù)法。

1750年后歐拉用級(jí)數(shù)求那些不能以緊湊形式積分的微分方程，雖然他當(dāng)時(shí)求的是特殊微分方程，但方法是我們沿用至今的方法。他假定解的形式為 $y=x^λ(A+Bx+Cx^2+…）$ 把y和y的微商代入微分方程，利用所得級(jí)數(shù)中x的各次冪系數(shù)必須為0的條件求出λ和A、B、C等。他在研究振動(dòng)薄膜時(shí)求解Bessel方程，證明對(duì)于半奇整數(shù)的β（半奇整數(shù)應(yīng)該就是半奇數(shù)1/2,3/2,5/2……），相應(yīng)級(jí)數(shù)化為初始函數(shù)；且注意到對(duì)實(shí)的β，u(r)有無窮多個(gè)零點(diǎn)，并給出了u(r)的積分表示；對(duì)于β=0和β=1他給出了微分方程第二個(gè)線性獨(dú)立的級(jí)數(shù)解。