引言

偏微分方程跟常微分方程一樣，是數學家在研究物理問題時發明的，例如把位移看作以時間和距離為變量的函數，就得到了偏微分方程。科學家考察了弦樂在空氣中的傳播，又處理了號角、管風琴、鈴、鼓等聲音。用物理術語來說，空氣是一種可壓縮的流體（液體是不可壓縮的流體），流體動力學研究流體的運動規律以及波在流體中的傳播，也使用了偏微分方程。

18世紀數學家繼續研究不同形狀的物體產生萬有引力的問題，雖然基本與三重積分有關，但拉普拉斯把它變為偏微分方程的問題。

波動方程

歐拉1734年提出過特殊的偏微分方程，但偏微分方程的價值首次體現在弦振動問題。1746年達朗貝爾（1717-1783）提議證明無窮種曲線的振動。上一章弦振動的弦被看作連接n個等間隔載荷的柔軟彈性繩，為了處理連續弦，將載荷視作無窮個，大小和質量都減小，使總質量趨近弦質量，當時取極限存在數學上的問題，不過被大家忽略了。上章中約翰伯努利按離散載荷處理弦振動，得到了第i個載荷的位移。達朗貝爾引入時間t和距離x變量，用Δx代替了l/n，得到了一維波動方程。因為弦兩端固定，弦上各點初始速度為0，有邊界條件：y(t,0)=0,y(t,l)=0和初始條件：y(0,x)=f(x),t=0時δy(t,x)/δt=0。他首先證明y(t,x)=1/2Φ(at+x)+1/2ψ(at-x)即偏微分方程的解是(at+x)函數與(at-x)函數之和，代入邊界、初始、周期性條件，最后得到y(t,x)=1/2Φ(at+x)-1/2Φ(at-x)。

看了達朗貝爾的論文后，歐拉沿用了他的方法研究弦振動，但他認為還可以有其他函數作為初始曲線/偏微分方程的解（比如隨手亂畫的曲線下方面積，現在認為是有間斷導數的連續函數），曲線的定義就是Φ(x+2l)=Φ(x)，在每個2l區間內重復曲線到無窮遠。1755年他給函數下了一個新定義：如果某些量依賴于其他量，當后者改變時它發生變化，則稱前者為后者的函數。”取代了18世紀的標準看法：函數由單一的解析表達式給出。歐拉認為振動弦不管咋動都是關于時間的周期運動。

歐拉和達朗貝爾的分歧是：他允許一切種類的初始曲線，包括非分析解，而達朗貝爾只接受解析的初始曲線。歐拉引入不連續函數時意識到前面大有可為，寫信給達朗貝爾稱：考慮不服從連續性（解析性）法則的函數，開辟了一個新的領域。

丹尼爾伯努利（1700-1782）以另一種形式解答弦振動問題，引發了另一場關于可允許解的討論。丹尼爾伯努利是約翰伯努利的兒子，在圣彼得堡當過數學教授，在巴塞爾教過醫學、形而上學和自然哲學。他主攻流體動力學和彈性力學，1760年他還通過實驗發現了靜電荷的引力規律（即庫侖定律）。上章提到丹尼爾研究聲音振動模式，從物理上說明基因和高次諧音能同時存在（小諧振共存），他看了達朗貝爾和歐拉的論文后再次斷言振動弦的各種模式能同時共存，說這就是歐拉和達朗貝爾抽象理論的實際內容，此外他認為任何初始曲線可表示為，即弦上質點的運動是正弦周期的和，但他未從數學上證明。

歐拉反駁說咋會呢，除非正弦級數能表示所有函數，咱這初始曲線不需要連續性，也不需要什么解析式。歐拉還說麥克勞林級數不能表示為任意函數，所以無窮正弦級數也不能表示為任意函數，伯努利說的三角級數是特解，這個他老早求過了。達朗貝爾不同意伯努利也不同意歐拉，他認為函數必須二次可微。仨人吵了十年沒統一意見，因為問題實質是能用傅里葉級數表示的函數范圍（傅里葉：再等下我馬上出生了）。

1759年拉格朗日加入爭論，他批評歐拉的方法，但贊同初始曲線是任意的，經過了一系列奇怪的步驟后他成功地錯過了發現傅里葉級數，然后得到了跟歐拉、達朗貝爾一致的結論（就是說沒啥意義）。歐拉和達朗貝爾批評拉格朗日的數學細節（那不然呢，你們結論不是一致的嗎），不過歐拉還是鼓勵了拉格朗日的技巧。1779年拉普拉斯加入爭論，支持了達朗貝爾。因為大家的論據都不完全正確，所以沒啥說服力。

在這個問題上最奇怪的一點是：當時這些人都知道非周期函數在一定周期內能表示成三角級數，克萊羅、歐拉、丹尼爾都發表過求三角級數系數的公式，歐拉、達朗貝爾、拉格朗日離傅里葉級數就差臨門一腳了，不知為啥很自然地繞開了正確答案。

當時還有個問題：對常微分來說如果系數解析，解也是解析的，但對偏微分方程，系數解析能有非解析解。雖然歐拉正確指出具有角點的解是允許的，但很久以后才確定偏微分方程的解可允許的奇性。