1 引言

偏微分方程誕生于18世紀，發展于19世紀，隨著物理研究在深度和廣度上的進展，微分方程在數量和類型上增加了，過去已知的方程如波動方程和位勢方程也應用到新的物理領域了。偏微分方程變成數學的中心，一是因為在物理中應用廣泛，二是因為偏微分方程的求解促進了函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等方面的發展，本章只能討論其中的一小部分。

今天人們習慣按類型對偏微分方程分類，但19世紀初對偏微分方程的了解還不足以進行分類，由物理指導應討論哪種方程，數學家則隨意從一種類型的問題轉向另一種，忽略了其中的差別（對今天來說是最基本的差別），畢竟物理從過去到現在都不關心數學家的分類。

2 熱方程與傅里葉級數

傅里葉（Joseph Fourier,1768-1830）邁出了19世紀第一也是最重要的一步（還記得18世紀偏微分方程提到的歐拉、伯努利、達朗貝爾之爭么）。傅里葉年輕時數學很好，但他想當士官，因為出身裁縫家庭，不讓當，后來軍校讓他留校任教，他接受了，然后搞了一輩子數學。

當時流行搞熱流動研究，這個研究有很多用途，比如冶煉金屬等工業應用，以及確定地球內部溫度、研究溫度隨時間變化等科研課題，1807年，傅里葉向巴黎科學院提交了一篇關于熱傳導的基本論文，被拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審拒絕了（感覺這仨人喜歡搞天體），不過科學院想鼓勵他接著研究，宣布1812年給搞得好這個課題的發高額獎金，于是1811年傅里葉提交了修改過的論文，獲得了獎金，但受到了缺乏嚴密性的批評，未能發表在當時科學院的《報告》里。傅里葉很生氣，繼續搞熱學，在1822年發表了數學的經典文獻《熱的解析理論》（傅里葉思想的主要出處），把1811年論文的第一部分直接放進去了，兩年后他成為科學院秘書，又把1811年論文原封不動地發表在《報告》中（傅里葉：莫欺中年窮ok?話說看了半天數學史難得有個人到中年出成果的，可能因此學界比較歧視中年人的智慧……）。

在吸放熱的物體內部，溫度分布一般是不均勻的，在任何點上都隨時間變化，所以溫度T是時間和空間的函數。函數的準確形式依賴于物體形狀、密度、材料的比熱、T的初始分布（t=0時的溫度分布）以及物體表面的邊界條件。傅里葉在書中考慮的第一個主要問題是在均勻和各向同性的物體內確定作為x,y,z,t函數的溫度T， 根據物理原理T必須滿足偏微分方程：，稱為三維空間的熱方程，其中k^2是一個常數，其值依賴于物體的質料。傅里葉解決了特殊的熱傳導問題，對兩端T保持在0度，側面絕熱因而無熱流通過的柱軸，求解熱方程，這根軸只涉及一維空間，即，邊界條件T(0,t)=0,T(l,t)=0,t>0，初始條件T(x,0)=f(x),0<x<1，傅里葉使用分離變量法，令T(x,t)=Φ(x)ψ(t),代入微分方程得到Φ''(x)/(k^2*Φ(x))=ψ''(t)/ψ(t)，因為x變化時ψ''(t)/ψ(t)不變（是常數），同理t變化時Φ''(x)/Φ(x)也是常數，設Φ''(x)/(k^2*Φ(x))=ψ''(t)/ψ(t)=-λ，有Φ''(x)+λk^2Φ(x)=0和ψ''(t)+λψ(t)=0，把變量分離代入邊界條件，有Φ(0)=0和Φ(l)=0，Φ(x)的通解是，得到λ的取值(稱為本征值or特征值)，ψ的通解是指數函數，現在為了滿足初始條件，對t=0必須有：。于是傅里葉面臨的問題是f(x)能否表示成三角級數，特別地，bv能否確定。

傅里葉進而回答這些問題（雖然略有嚴密性問題）。為簡單起見，設l=π，他把每個正弦函數按麥克勞林定理展開為冪級數，最終把f(x)表示成x的冪級數。

這隱含了一個假設，即這個冪級數必須是f(x)的麥克勞林級數，因此，令兩個f(x)中x的同次冪的系數相等，傅里葉發現對偶數k，，此外bv是無窮線性代數方程組里的未知數的一個無窮集合。

對f(x)能否表示成三角級數，他面臨同類的方程組，取前k項和前k個方程的右端常數，解前k個方程得bv,k表示bv的近似值，得到bv,k的一般表達式后，他大膽地下結論稱：，但這次確定bv有很多困難，他用很復雜的程序說明幾個不同的f(x)如何確定bv，再用這些特殊情形作為指導，得到了bv的含有無窮乘積和無窮和的一個表達式，他覺得沒啥用，經過了一些大膽和創造性的步驟得到了公式，在某種程度上這不算新結論，之前克萊羅和歐拉已經知道怎么把某些函數展開為傅里葉級數并得到公式：

此外，傅里葉得到的結果是很局限的，因為他假定f(x)有麥克勞林展開，即有無窮階導數，最后，他的方法不夠嚴密，且比歐拉的方法復雜。傅里葉不得不用無窮線性方程組，而歐拉使用三角函數的性質，更為簡單。