三十度角的余切值是 3的算術平方根， 大于 265/153 ; 余割值是 2;
上一步計算了十五度角的余切值，就是上面兩個數字相加，大于 517/153; 余割大于517/153平方后，加一，再開方，大于591又1/8比153。
古人的分數運算，實在看起來不方便。今人習慣小數，就用小數顯示一下阿基米德的運算過程。
阿基米德的運算過程
外切的計算中，重點是關注余切值，阿基米德計算到外切正96邊形（中心角的一半為1.875度），
不斷取半角運算
最后一個角度的余切值大于 4673.5/ 153，也就是上圖中的OA/AF。
那么，AF/OA 小于 153/4673.5
而96邊形的邊長是AF的2倍，周長是AF的192倍;
圓的直徑是OA的2倍。
從而，（圓的周長/圓的直徑） 小于 （外切96邊形周長/圓圈的直徑），即小于
(153 * 2 *96 )/ (4673.5 *2 ) = 29376/9347? 約 3.1428266
值得注意的是，阿基米德再次為 29376/9347這樣的分數找了一個更合理的上限
22/7 約3.142857，把上面那個分數再放大一點點，反而得到更加簡潔的表示。兩個分數的前4位一樣。最初的時候，給出根號3的上限，也是 4 位的精度，所以，這里依然保持4位一致，是合理的。因為不能指望用4位精度的根號3計算更多精度的圓周率。
至此，阿基米德完成了他工作的一半，證明了圓周率小于 22/7
22/7這個數值，以其精簡，兩位10進制小數的精度，贏得了很多人的喜歡，中國祖沖之的給出的約率也是這個數字。祖沖之給出的密率更是讓人感到不可思議。古人處理分數方面有及其高超的技巧。上面計算過程中，7.5度的余割值，精簡為大于 1172又1/8比153。
劉徽的運算，同樣有高超的數值處理技巧。
