數學家在計算任何東西的近似值時，都會給出一個區間，像左手和右手一樣，把心愛的人擁抱在懷中。如果只給一側的值，那么就會像楊過一樣，也是頂尖的高手。
阿基米德不是楊過。所以，他計算出圓周率小于 22/7 以后，他還要計算，圓周率大于多少。劉徽也不是楊過，他計算出圓周率大于3.141024以后，還要計算圓周率小于多少。盈朒二數都給出，才算完美。
阿基米德計算朒數的時候，也采用計算內接多邊形邊長的方法。因為，內接多邊形，周長一定小于圓的周長。
只是要計算邊長。如圖，AC是圓的一條直徑，O是圓心。AD是內接N邊形的一條邊，AE是內接2N邊形的一條邊。這一次，計算邊長，阿基米德使用的是直徑所在的三角形，而非半徑。直徑對的圓周角是直角，這一點可以帶來便捷。邊AD對的圓周角為ACD，圓周角是圓心角的一半。EC平分角ACD。
知道這些關系，按照前面的方法。在三角形ADC中，使用角平分線的性質，可以算出三角形MDC三邊的比例。而三角形AEC同三角形MDC是相似的，這一點很重要。也就是說，對應邊的比例是一樣的。
在得到AEC三邊的比例以后，繼續平分角ACE，繼續計算比例。注意，阿基米德計算的是比例，不是長度。所以有這樣便捷的方法。
這次計算的起點是角ACD為30度，AD還是六邊形的一條邊。始于3的算術平方根小于 1351/780 。也就是DC/DA小于1351/780。同樣，使用計算半角余切和余割的方法，一直計算最終得到直徑與內接正96邊形一邊的比例。該值小于（2017又1/4）比66,化成小數是 30.5643939。
在計算內接多邊形的時候，更關注余割值。
圓周率大于(96 × 66） ：2017.25 = 6366 比 2017.25，最后這個比例，阿基米德把它縮小一點點，寫作 223/71 ,也就是 3又 10/71。
到此，阿基米德的工作完成了，他證明了圓周率大于 223/71，小于22/7 。在此基礎上，再接再厲，他給出了圓同其外切正方形面積之比近似值 11/14。 但在他的著作中，先給出了圓與其 外切正方形的面積比為 11/14 這個結論，明顯，他用的是西方人慣用的手法，先說重要的事情。11/14為何重要呢？因為，從11/14也可以逆推出圓周率，設圓的半徑為R,其面積為 PI*R*R ；外切正方形面積為 (2R)*(2R)= 4*R*R，兩者的比例是 PI:4，也就是說 PI/4 = 11/14，從而，PI =44/14，約分以后，正好就是 22/7 。可見，應用中，阿基米德更喜歡這個分數。
理論上講，阿基米德可以使用精度更高的3的平方根開始計算，平分到更小的角度，從而得到更加精密的數值。但那個年代，22/7 的精度用在生活中足夠了，而且很方便使用。每當覺得自己做的不夠好的時候，想想“美國人，在1897年準備立法，用3.2做圓周率”這件事。笑一笑，就過去了。
劉徽在得到 3.141024以后，也不滿足于僅僅使用3.14，他指出，這個數字還是偏小，“圓率猶為微小”。那么，要找到一個比圓率大一點點的數字，才行。怎樣尋找呢？依然從面積入手。
如圖，設BC是正N邊形的一條邊，BE是正2N邊形的一條邊。圖中，綠色的是圓弧CEB。正2N邊形面積比正N邊形大，大多少呢？在這個局部看，大出的部分是紫色三角形BCE。那么，整體上看，大了N個這樣的三角形。
假如把紫色三角形復制一份，切成兩半，貼在2N邊形的外面，那么，2N邊形的面積加上這份復制，就可以比圓大一點點。
不得不嘆服，這個處理太有技巧了！那么，好，192邊形的面積計算過了，是3.141024。
96邊形的面積呢？用48邊形邊長計算，
正48邊形邊長是 0.130806，那么正96邊形面積是 48*0.130806/2 = 3.139344
192邊形比96變形大的數值是 3.141024 - 3.139344 =0.00168
把這個數值加到192邊形面積上，就可以比圓大了。
3.141024+0.00168 = 3.142704
到此，劉徽得到圓周率的范圍是 3.141024 至 3.142704。劉徽的工作已經圓滿完成了。盈朒二數都有了。
從這個范圍可以發現，3.14已經確定了，無論計算多少邊形，都不會再變了，再變，也是3.14后面的部分。3.14比“周三徑一”已經是很偉大的突破了。因此劉徽對 3.14作為圓周率近似值，已經比較滿意了。
但還不是很滿意。他做了更深遠的計算。一方面，驗證割圓術的正確性;一方面，驗證3.14不會再改變;一方面，為了獲得更高的精度。這就是，為什么他的文章中前前后后的引用，很多人不知道他在做什么。
這部分計算，分成兩個部分。一是，直接使用前面的數據，在正192邊形的面積上直接做“消息”，就是根據192邊形的面積，以及前面各多邊形的面積，對圓面積做更精確的估計;另一方面，繼續增加邊的數量，一直計算到正1536邊形的邊長，得到正3072邊形的面積。通過消息，獲得估計值 3.1416，通過增加邊數，他驗證了自己的估值，并且說“若此者，蓋盡其纖微矣”，他猜測，3.1416可以把圓最細小的部分包括進來，然后，通過計算到3072邊形，發現面積仍然沒有超出3.1416，于是，他對新的估值 3.1416 更滿意。
計算多邊形的方法是一樣的。那么，如何估值呢？從最初的幾個數字，可以發現，隨著邊數量的增加，面積增加的幅度越來越小，每次增量大約是前一次的1/4。192邊形面積是3.141024,比96邊形大0.00168。那么可以估計，384邊形會比192邊形大 0.00168/4，再往下一級，大0.00168/16...
于是，極限的狀態應該是 3.141024 + 0.00168(1/4+ 1/16 +1/64 + 1/256...) = 3.141024 + 0.00168/3
=? 3.1415842，畢竟，后面的增長比0.25稍大，因此，對3.14之后兩位進行“入”的操作是合理的，估值就可以是 3.1416。這是我對劉徽估值方法的猜測。因為古人喜歡用比例，如果看到每次增長都變為上一次的增長 1/4這樣的事實，不可能不顧及。
計算，估值，驗證。再計算，再估值，再驗證。在中國，在劉徽之前，沒有人計算過圓周率。所以，劉徽會如此謹慎的前行。
后來的祖沖之有福了，依然用這個方法，向下計算，直接獲得7位小數。可惜的是，那本叫做《綴術》的書在哪里？期待著有一天，考古工作者從古墓里挖出一本來。
