面對開方運算，劉徽的做法是，大膽無畏的開下去，一路用十進制的小數表示。剛開始的時候，每一個數字都有單位，恰好，這些單位之間就是十進制;后來，單位用完了，劉徽稱之為“微數”，終于挑一個十進制分數近似一下。所以，這種方法一開始就是十進制運算。用到的單位有“尺寸分厘毫秒忽”，忽以下就是無名微數。結果中沒提及的單位，自動補零。
阿基米德的做法是用分數“夾”住結果，先給出 265/153 作為下界，后文給出 1351/780 作為上界，然后，暫時就不需要開方了，反正 3 的算術平方根在這兩個數之間，跑不遠。他的這個方法，假如古代中國人用的話，一定會稱之為“不算之算",或者”不開之開”。他其實是沒辦法，因為那個時候，十進制不發達，也不流行。十進制的地位可能不如六十進制呢。
現代，六十進制依然會出現在角度、時間等地方。人們選擇60進制的原因是，60能夠被很多的數字整除。每一個剛接觸除法的人，都會討厭除不盡的情況，后來，分數出現了，就擺放在那里，做“不除之除”。開方也是，剛開始，劉徽開開，阿基米德不怎么開，現代的人都不開了，擺個根號蓋住就是了，需要用結果的時候，再開出若干位。
論起進制，中國古代最發達，有十進制，十六進制，十二進制，六十進制，六進制等。“半斤八兩”的成語就是誕生在十六進制的情況下，只有在十六進制的時候，半斤才會等于八兩。劉徽的年代，還有一種六進制，一步為六尺。單位的換算，本質上就是幾進制的切換，因此劉徽的運算恰好剛剛到沒有單位的地方。后來祖沖之能夠算的更遠，是因為他從“億”這樣大級別的單位開始算。對于古人來說，沒有單位，就沒有進制。
不依賴單位的運算，印度人最發達。他們發明了 0 這樣的占位符，有 0 就可以占一個位。而且，印度人發明的阿拉伯數字，書寫十分便利。
論起能算，古羅馬人比中國人更勝一籌，據說羅馬數字可以進行開方運算，我不敢想象。羅馬數字放在鐘表上是好看，運算起來難道真的比算籌便利嗎？
先上阿基米德的圖
如圖，阿基米德先在圓O上任意選一條半徑，OA,。然后過A做OA的垂線，再做角AOB為30度的角。30度是現在的說法，當時說是直角的三分之一。這樣一來，OA/AB = SQRT(3) > 265:153
數學公式的輸入，歷來是個大難題。只能用圖片了。
（斜體中文是可怕的，待以后糾正）
然后繼續對角AOC進行平分，然后計算比例。這個比例用現代的觀點看，在直角三角形中，一個是銳角的相鄰直角邊比對邊，叫做余切;一個是斜邊比對邊，叫做余割。
以后的步驟，本質上是不斷計算半角的余切和余割函數值，是用幾何的方法計算，不是代數的方法。
從三角函數可以看的更加直觀，計算半角的余切，把原角的余切和余割加起來就行了;計算半角的余割，就用它自身的余切平方，加一，再開方。之前的步驟是在用30度角的余切和余割計算15度角的函數值。以后的步驟是，計算7.5度的，再計算 3.75 度的，1.875度的。
我還是不習慣把對函數值的平方寫在函數的右上角，那樣看起來感覺是復合函數
