眾所周知，阿基米德計算圓周率的方法是采用外切正多邊形和內接正多邊形兩個方面逼近的。也就是說圓的周長比內接正多邊形大一些，比外切多邊形小一些。這一點直觀上是這樣的。事實上也是這樣的。他先用無限分割的方法，證明了圓的面積等于一個直角三角形，它一直角邊是圓的半徑，一直角邊是圓的周長。劉徽的方法也是這樣，先證明“半周半徑相乘得積步”，就是說周長的一半與半徑相乘，得到圓的面積。

其中的邏輯，涉及到面積和長度，如果采用計算面積的方法來看，會更加直觀。明顯，圓比其外切多邊形小，比內接多邊形大。使用長度，與使用面積計算是等效的。阿基米德計算的是長度，更準確的說是長度的比，也就是比例。劉徽計算的是面積。這種等效的原理，從劉徽計算面積的方法可以看出來：劉徽在計算 2N 邊形的面積時，直接采用 N 邊形的邊長。

兩者相同的地方：先證明圓的面積公式

不同的地方：阿基米德計算邊長，劉徽計算面積。

阿基米德一開始，就給出一個驚人的結論，

3的平方根 大于 265/153

為什么說這個結論驚人呢？因為沒有任何推導，直接就給出來了。而作為他的學生，證明這一點又很容易。希臘人喜歡比例，喜歡分數，那個年代也許還不流行小數。那么，這個分數的精度如何呢？小數點后面4位都是一樣的，到第5位才大一點點。

3的平方根是 1.732050807... ，而 265/153的值是 1.73202614379084967320261...

沒有推導，直接給出結果是驚人的。我也不推導，給出一個近似值，

2011930833870518011412817828051050497 ?? /?? 1161588808526051807570761628582646656

但我不告訴你，這個數是比3的平方根大還是小，你能驗證嗎？我猜你用計算器也不能判斷。

所以我說，阿基米德是驚人的。阿基米德不告訴你，這樣的分數是怎樣推導來的。因為，只有自己去努力學習，得來的才會珍惜。“若將容易得，便作等閑看”。阿基米德應該是這樣教育學生的，所以，不說怎樣得到。

上面的太長，還是給一個短些的吧

708158977 ? / ? 408855776

只告訴你是近似值，不告訴你是大還是小。