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匹諾曹有一天說了這樣一句話：“我的鼻子會馬上變長。”然后會怎樣呢？如果鼻子變長，那么匹諾曹就說的是真話，所以鼻子不應該變長。如果鼻子沒有變長，那么匹諾曹說的就是假話，所以鼻子必須變長。
結(jié)果呢？鼻子炸了。
說謊者悖論
矛盾并不是起于匹諾曹。
公元6世紀，一個克里特的哲學家說了一句名言：“所有克里特人都是滿嘴謊話”。這個百年老坑挖的好，自己也掉里面了。
如果這句話是真的，那么所有克里特人都是說謊的，哲學家自己也是克里特人，那么他也是說謊的，這句話也應該是謊話，這就又產(chǎn)生矛盾了，這句話到底是真的還是假的？
說謊者悖論的精簡版本是：“我在說謊”。
如果你沒在說謊，那么你就說謊了；如果你在說謊，那么你是在說真話。
這是個雙人版本，左邊的說右邊的沒撒謊，右邊的說左邊的撒謊了。如果左邊的沒撒謊，那么右邊的也沒撒謊，但右邊的又說左邊的肯定撒謊了，那么到底左邊的有沒有撒謊？
問題在哪里？
這種問題像是一個無限循環(huán)的自我指涉邏輯嵌套，就像我們無法回答下圖鏡子中有多少個拉奧納多一樣，我們也無法回答說謊者悖論。
其次這個矛盾是巧妙地混用了“真值為真”和“語義為真”，創(chuàng)造了一個“含義為真卻真值不能同時為真”的命題。“我在說謊”，我真的在說謊和我這句話是謊話本身就是矛盾的，但又并不違背邏輯。
所以后來有人提出把語言的形式判斷和語義判斷分在不同層級，然后強制不能逆層級進行判斷，只能從形式判斷語義，而不能從語義來反推形式。——這實際上實在“立法禁止”產(chǎn)生矛盾，但并沒有解決矛盾。
也許這個悖論恰好告訴我們一個真理，即我們所處的世界并非是完美的邏輯自洽（無矛盾）的。
另外還有一個有趣的悖論，“理發(fā)師悖論”（等價于“羅素悖論”），即某城的一個理發(fā)師發(fā)誓，只給而且必須給城里所有不自己理發(fā)的人理發(fā)。問題在于他是否要給自己理發(fā)？——這個問題的矛盾似乎更容易破解，只要把理發(fā)師當做城外人就可以了。
關(guān)于皮亞諾算術(shù)公理Peano axioms
皮亞諾公理是意大利數(shù)學家朱塞佩·皮亞諾 Giuseppe Peano在19世紀末期所構(gòu)造的算術(shù)公理系統(tǒng)中的公理，它包括：
- 是自然數(shù)；
- 每一個確定的自然數(shù)a，都有一個確定的后繼數(shù)a' ，a' 也是自然數(shù)（一個數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個數(shù)后面的數(shù)，例如，1的后繼數(shù)是2，2的后繼數(shù)是3等等）；
- 對于每個自然數(shù)b、c，b=c當且僅當b的后繼數(shù)=c的后繼數(shù)； 1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；
- 任意關(guān)于自然數(shù)的命題，如果證明了它對自然數(shù)1是對的，又假定它對自然數(shù)n為真時，可以證明它對n' 也真，那么，命題對所有自然數(shù)都真。（這條公理假設了數(shù)學歸納法的正確性）
后來這里的1被改為了0.
希爾伯特的23個問題
大衛(wèi)·希爾伯特David Hilbert，德國人，是19世紀初期最偉大的數(shù)學家之一。
1900年，他在巴黎的國際數(shù)學家大會上做了作了《數(shù)學問題》主題演講，提出的一系列問題，被稱為希爾伯特的23個問題，這些問題為20世紀的許多數(shù)學研究指出方向。
其中第二個問題是算術(shù)公理（皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)）是相容的（無矛盾的）。
20世紀20年代，希爾伯特更是啟動了一項宏偉的計劃，大意是建立一組公理體系，使一切數(shù)學命題原則上都可由此經(jīng)有限步推定真?zhèn)危@叫做公理體系的“完備性”；并且公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統(tǒng)盡可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統(tǒng)導出矛盾）。
哥德爾不完備定理
希爾伯特的計劃才啟動不久，1931年，庫爾特·哥德爾就給出證明：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術(shù)的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名于世的哥德爾不完全性定理。
哥德爾的證明思路即很巧妙的利用了類似“說謊者悖論”邏輯產(chǎn)生的悖論。
哥德爾1931年發(fā)表了兩條定理：
- 任何兼容的形式系統(tǒng)，只要蘊涵皮亞諾算術(shù)公理，就可以在其中構(gòu)造在體系中不能被證明的真命題，因此通過推演不能得到所有真命題（即體系是不完備的）。
- 任何邏輯自洽的形式系統(tǒng)，只要蘊涵皮亞諾算術(shù)公理，它就不能用于證明它本身的一致性。
哥德爾的不完備定理證明了基本算術(shù)的兼容性不能在自身內(nèi)部證明，因此當然就不能用來證明比它更強的系統(tǒng)的兼容性了，這直接否定了希爾伯特的偉大哲學計劃。同時也是對對希爾伯特23問題中第二個問題的證偽。
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