本篇筆記因為篇幅超長（共兩萬八千余字），超出簡書允許的字符數，所以拆成兩部分，各對應書的上半部和下半部。下半部筆記在這里。因為人氣的下滑，和這本書的專業性，我需要時間確定下如何寫這一篇文章，敬請期待。

上篇 集異璧 GEB

導言

• 巴赫
  • 巴赫以國王主題為題即興創作「音樂的奉獻」給普魯士國王腓德烈大帝
  • 卡農和賦格
    • 卡農：一個單一的主題與它自己相伴而奏
    • 賦格：單獨一個聲部唱出主題，唱完后第二個聲部或移高五度或降低四度進入
  • 無窮升高的卡農——Canon per Tonos
    • 引出怪圈的概念：向某一方向穿過某種層次系統中的一些層次時，正好回到了開始的地方
• 艾舍爾——怪圈的藝術
  • 「瀑布」，「上升與下降」、「畫手」、「畫廊」
• 哥德爾
  • 「艾皮曼尼蒂斯悖論」或「說謊者悖論」：這句子是假的。
  • 哥德爾不完備性定理
    • 數論的所有一致的公理化形式系統都包含有不可判定的命題
    • 無論涉及到什么公理系統，可證性總是比真理性弱
• 數理邏輯提要
  • 十九世紀晚期，整理出嚴格的演繹推理模式，成書「思維的法則」
  • 十九世紀八十年代，集合論
    • 集合論的悖論——怪圈仍然存在
      • 羅素悖論
      • 格瑞林悖論
  • 消除怪圈
    • 羅素和懷特海的「數學原理」：將所有集合分級，只有高一級的才可以包含該層，也就沒有了怪圈
      • 分層法：將語言分層來禁止循環，從最底層的對象語言、元語言、元元語言等等
      • 這種方法完全不能用在日常語言中
  • 一致性、完全性和希爾伯特方案
    • 利用數學的一小部分來證明整個數學方法是正確的（相當于用手拽著鞋來確實地讓腳離地，相對于抓自己的頭發不能讓自己升高）
    • 哥德爾不完備性定理徹底否決了所有嘗試
  • 巴比奇、計算機、人工智能……和巴赫
    • 查爾斯·巴比奇（1792-1871）構想出計算機的存儲和加工裝置
    • 計算機和人工智能
      • 利用不同層次的規則（上層管理控制下層）來模擬智能
    • 巴赫代表音樂，有神學家認為人工智能永遠無法理解音樂，那是靈魂的領域
• 哥德爾、艾舍爾、巴赫為三塊異璧

三部創意曲

• 芝諾與其為說明「芝諾定理」而創作的人物阿基里斯和烏龜
• 沒啥內容，只作為起始介紹一下芝諾悖論和后面的出場兩位虛擬人物

第一章 WU謎題

• 形式系統
• WU謎題：只使用WUJ三個字母和4條已有規則，把WJ變換為WU
• 定理、公理和規則
  • 定理：在形式系統中按照一定的規則產生出來的
  • 公理：無償提供的定理
  • 規則：符號變換規則，生成規則，推導規則
  • 推導：按照形式系統中的規則逐行生成該定理的明顯論證
• 系統內外
  • 機器有可能在做某件事的時不去觀察，而人不可能不去觀察。機器可以不知抱怨地重復做一樣的事情而不意識到模式上根本就不會有結果。
• 跳出系統
  • 如果系統的定義是按照規律做一些事情，那么計算機有能力跳出系統
  • 如果系統的定義是計算機按照程序做所作的一切，那計算機很顯然無法跳出系統
  • 人在做一件事情重復失敗的時候，會跳出系統觀察總結反思
• W方式、J方式和U方式
  • W方式：像有思維的人一樣工作
  • J方式：像機器一樣工作
  • U方式：禪宗的處世態度
• 判定過程：WU真的可以出現嗎？
  • 如果有一個檢驗定理的測試，一個總是在有限長的時間內終結的測試，那么，這個測試就叫做給定形式系統的判定過程。
  • 公理有判定過程，定理則可以沒有

二部創意曲

• 無論是何種的推理，哪怕是最簡單的三段論推理，仍然可以引入無窮多的前提，也就是說，永遠無法完整無矛盾地證明

第二章 數學中的意義與形式

• 以pq形式系統來模仿現實中的加減法
  • 公理定義、定理和定理生成規則
  • 良構：構型良好的字符串，從形式上無法排除無法否認的符號串
  • 自頂而下和自底而上
    • 自頂而下：拿到一條符號串，檢測是不是公理，如果不是公理，將其分解成多個更短些的字符串，再次檢查公理，一直分解下去，直到遇到公理或者不能再分解縮短為止（注：類似反證法，先假設要證明的是正確的，以此為條件來反推）
    • 自底而上：拿到一個符號串，將所有的公理和它能產生的定理，以及定理產生的定理等等一一列出，直到出現符合該符號串規則的為止（注：常見的正順序證明方法）
  • 同構產生意義
    • 同構：保存信息的變換。兩個復雜結果可以互相映射，并且每一個結構的每一部分在另一個結構中都有一個相應的部分。
    • 同構具有模糊性
    • 「解釋」：符號和詞語之間的同構關系
    • 有意義和無意義的解釋——真理和定理相互對應的解釋為有意義的
    • 主動意義之于被動意義
      • 主動意義：所得到的新的意義，創造定理的規則也同時增加了，意義變成了規則
      • 被動意義：在形式系統中，意義一定是被動的。我們沒有權利根據新的意義來創造出新的定理。
    • 雙重意義：行駛系統中的符號不一定只有一個確定意義，也有可能在其他的解釋下，定理同樣會變成真理。（2+3=5和2=5-3）
  • 形式系統和現實
    • 現實能不能用行駛系統來完整模仿嗎？答案仍然不確定，因為答案關系到宇宙是否是以完全確定的方式運動。
  • 數學和符號處理
    • 我們無法在有限時間內通過窮舉法驗證形式系統的完整正確性
    • 數學的乘法是基于一些加減法的性質，而這些性質被默認假定為對所有數字都有效，人們可以試驗2x3的結果，但是無法驗證123456789x987654321的結果
  • 算術的基本法則
  • 理想的數：形式系統能夠徹底把我數論的性質？
    • 歐幾里得定理及其證明（注：搜索到的歐幾里得定理和書中描寫素數的定理不一致？）
  • 繞過無窮
    • 用有限的詞語和正確的使用理解方式，來推廣體現出無窮
    • 歐幾里得定理的仔細剖析可以得到數量極為龐大的互相有關聯的微小證明

無伴奏阿基里斯奏鳴曲

• 模仿巴赫的「無伴奏小提琴奏鳴曲」
• 阿基里斯的電話獨白
• 艾舍爾的「鑲嵌畫II」
• 開始引入「圖形」與「襯底」的概念

第三章 圖形與襯底

• 素數之別于合數
• tq系統：pq系統的乘法版
• 把握合數：利用tq系統，如果xqy-tz-是定理，則Cx（是合數）是定理
• 對素數的非法刻畫
  • 不能說對于一個數x，Cx不是定理，Px就是定理
• 圖形和襯底
  • 流暢可畫出圖形：襯底只是繪畫過程中的替代品
  • 倍流暢圖形：圖形和襯底都是流暢可畫出的
  • 例：以鳥作瓦、FIGURE-FIGURE
• 音樂中的圖形與襯底
• 遞歸可枚舉集之別與遞歸集
  • 存在一個形式系統，其負空間（非定理集）不是任何一個形式系統的正空間（定理集）
  • 存在非遞歸的遞歸可枚舉集
    • 遞歸可枚舉是藝術上的「流暢可畫出」
    • 遞歸是藝術上的「倍流暢」
• 素數作為圖形而非襯底（證明素數）
  • 測試一個數能否被2整除，然后是3、4、5一直到x-1

對位藏頭詩

• 播放機在播放一些音樂的時候自我震碎了
• Bach的上下前后顛倒以后，演奏尾聲的時候，阿基里斯送給烏龜的巴赫的高腳杯炸碎

第四章 一致性、完全性和幾何學

• 隱含意義與顯明意義
  • 很容易犯的錯誤：把全部意義歸結于對象，而非對象與真實世界的聯結。
• 「對位藏頭詩」的顯明意義
  • 第一層意義是音樂意義
  • 第二層意義是唱機引起的震顫序列
    • 第二層意義依賴于兩個同構
      • 任意紋道模式與空氣震顫之間的同構（發出聲音）
      • 任意的空氣震顫與唱機震顫之間的同構
• 「對位藏頭詩」的隱含意義
  • 烏龜在前半部分是惡作劇的始作俑者，在后半部分卻成了同樣一出戲的受害者，這是一層和惡作劇本身一樣的倒戈
• 「對位藏頭詩」與哥德爾定理之間的映射
• 賦格的藝術
  • 巴赫在將自己的名字使用進樂譜的時候，健康狀況惡化，也是倒戈
• 哥德爾的結果造成的問題
  • 沒有一個足夠強有利的形式系統會在下述意義上是完備的：能夠把每一個真陳述都作為定理而重現在該系統中。
  • 不完全性：對于任何一個形式系統，真理超出該系統所規定的定理資格
• 修改了的pq系統與不一致性（x=x+1）
  • 外部不一致：與世界真理不一致
  • 內部不一致：x到底等于幾？
• 重新獲得一致性：通過修改解釋方法，q不再是等于，而是等于或小于
• 歐幾里得幾何的歷史
  • 歐式幾何的五條公設中，最后一條平行線公設最不美觀
  • 無數人試圖證明第五共設是前四條共設的一部分，全部失敗
    • 濟羅拉莫·薩徹利，蘭伯特，最后由雅諾·鮑勃和尼古拉伊·羅巴切夫斯基發現非歐氏幾何
• 未定義項：沒有確定的定義，而是借助在定理中扮演的角色而獲得被動意義的（必去q可以使等于也可以是小于等于）
• 多重解釋的可能性
  • 一致性不單是形式系統的性質，還依賴于為之提出的解釋
• 各種各樣的一致性
  • 一致性：指其中每個定理經解釋后都成為一個真陳述
  • 如果每個定理經解釋后成為真的，則系統加上解釋是與外部世界一致的
  • 如果所有的定理經解釋后成為彼此相容的，則系統加上解釋是內部一致的
• 假想的世界和一致性
  • 一致性可以有很多標準：邏輯一致性、數學一致性、物理一致性、生物學一致性etc
  • 有意思和沒意思的分界線是年華在數學一致性和物理一致性之間的，也就是說，只有邏輯和書寫的不一致性才算是
  • 再次確認，破壞一致性只需要改變某些解釋
• 形式系統中嵌入形式系統
  • 形式系統常常是以相繼的、或者說分層的方式構造出來的（形式系統1并入形式系統2并入3并入4）
• 視知覺中的穩定性層次
  • 艾舍爾的「相對性」
• 數論在每個可想象的世界里都是一樣的嗎？（注：拋磚引玉）
  • 皮亞諾算術
• 完全性
  • 如果一致性是獲得被動意義的最低條件，那么，完全性，是那些被動意義的最高確認
  • 完全性：所有真的（在某個想象的世界里）且可表示成 系統中的良構符號串的都是定理。
  • pq系統就是完全的，不過它就像是低保音唱機，無法包容改進除了簡單自然數加法外的數學理論
• 一個解釋怎樣就能達到或破壞完全性？
  • 沒有精確反映出定理在系統中的作為
    • 可以向系統中添加新的規則
    • 可以緊縮解釋
  • 修改后的pq系統：q不再是小于等于，而是等于或加1后等于
• 形式化數論的不完全性
  • 試圖增加規則以克服數論的不完全性，會陷入不斷添加新的規則以克服之前添加規則的漏洞的無限迭代（類似「二部創意曲」一章）

和聲小迷宮（圖p169）

• 阿基里斯和烏龜在游樂場玩，通過一條纜繩，在「大風車」的最頂端被拽入一架直升飛機內，郝暈說要把烏龜做成餡餅。阿基里斯和烏龜在郝暈的書房里發現一本叫做「阿基里斯和烏龜在全球瞎逛時引人入勝的歷險」，開始閱讀里面的一篇故事：「神怪和煮調飲」
  • 阿基里斯家
    • 故事中，阿基里斯和烏龜通過「推入露」進入到艾舍爾的「凹與凸」中，他們帶著煮調飲以從畫中回到現實。在畫中，他們歷險拿到神燈，神怪許給他們三個愿望，阿基里斯許愿他們能有一百克愿望可以被實現，但是神怪無法完成「元愿望」，只有通過自己的「元燈」找「元神怪」，「元神怪」通過自己的「元元燈」找「元元神怪」，一直到造物主，然后再次遞歸回來，告訴阿基里斯可以許一個無類型愿望，即任意愿望。神怪解釋說，造物主「永遠」到達不了，它不是某個神怪，而是在所有等級的神怪之外的概念。阿基里斯為了挑戰無類型愿望的極限，他說他希望自己的冤枉不被批準。
    • 系統因此崩塌，二者都被彈到了艾舍爾的「爬蟲」中。阿基里斯不小心把帶來的煮調飲碰掉，烏龜在讀「烏龜和阿基里斯在全球各地轉悠時的歷險」，阿基里斯說要下一層去撿煮調飲，烏龜答應。
      • 這次他們進入了巴赫的「和聲小迷宮」的唱片，他們在溝回之中奔走，烏龜說巴赫的這首曲子是以繁復的變調出名，在最后會留下隱忍遐想的突然不和諧終止。阿基里斯和烏龜都掉進大洞里，大洞是大雕（創造迷宮并且嘲笑一切迷路之人的大雕，暗指巴赫）的老窩，他們吃掉旁邊的「彈出鍋酥」，故事結束。
    • 二人向上爬了一層樓，從畫中退出。
  • 二人回到了烏龜的房子

第五章 遞歸結構和遞歸過程

• 遞歸即嵌套
  • 地規定以從來不以某一事物自身來定義這個事物，而總是用比其自身簡單一些的說法來定義這個事物。
• 推入、彈出和堆棧：計算機科學概念
  • 堆棧可以理解為一摞盤子，往最上方放一個盤子為推入，從上方拿走一個盤子為彈出
• 音樂中的堆棧
• 語言中的遞歸
  • 遞歸遷移網（RTN）：表示出為完成一項特殊任務可以遵循的各種通道
  • 「終了」和異層結構
    • 定義中總會有一部分避免了自指，即到達了終了
    • 異層結構：沒有最高層次或控制層的程序結構，互相調用全部平等
  • 擴展節點：將所調用的程式代入調用的節點上
• 圖案G和遞歸序列（斐波那契數列）
  • 一個紊亂的序列
    • Q(n) = Q(n-Q(n-1)) + Q(n-Q(n-2)), when n>2
• 兩個令人驚異的遞歸圖
  • 遞歸的定義需要1基底和2遞歸規則
  • INT圖：由本身的無限迭代的副本組成的
  • G圖，一個磁場中理想晶體里的電子的能量帶
• 物質最低層次上的遞歸
  • 裸粒子，即不和其他例子相互作用的粒子不存在。
  • 例：當光子和電子為實際的「重正化了的」，二者要從A點到B點，必定會經過無法統計的互相牽扯。
    • 費因曼圖案
    • 每個存在的粒子都涉及到無數其他粒子的存在，在身后拖著「虛云」，「虛云」中的虛粒子又拖著它們的「虛云」，無限迭代
• 副本和同一性
  • 艾舍爾「魚和鱗」「蝴蝶」
  • 一個東西的部分是這個東西自身的副本，DNA，巴赫的音樂和艾舍爾的畫都具有同一性，見微知著
• 程序設計與遞歸：模塊性、循環、過程
  • 循環：一遍一遍地執行某些相互有關聯的步驟，當遇到指定的條件時就終止。
  • 過程：（procedure？）把一組操作集合在一起，以方便隨時調用
  • 無處不在的「模塊化」
• 弈棋程序中的遞歸
  • 侯世達定律：做事所花費的時間總是比你預期的要長，及時你的預期中考慮了侯世達定律（注：這個定律其實也像是個遞歸）
• 遞歸和不可預測性
  • 復雜到一定程度的遞歸系統，其能力可能會強有力得足夠打破任何事先規定下來的模式。（使得智能能夠成為智能）

音程遞增的卡農

• 對于同一文字序列的不同解釋
  • 俳句
  • 每個人都各有自己的方法來解譯我們接受的信息
• 音程增值的三首卡農在同一唱機上播放
  • 「4分33秒」約翰·卡奇

第六章 意義位于何處

• 什么時候事物不總是同樣的？
  • 意義是一條消息固有的，還是心靈或機器與一條消息的相互作用中產生的？
• 信息攜帶者與信息揭示者：唱片與唱機
• 遺傳型和表現型：DNA和生物
• 異常同構和平凡同構
  • 平凡同構：一個結構的各部分可以很容易地對應于另一個結構的各部分（唱片和唱機）
  • 異常同構：遺傳型和表現型的各部分不能很輕易地一一對應（DNA和生物）
• 自動唱機和觸發器
  • 觸發器：觸發了從遺傳型到表現型的變化過程
  • 唱機和唱片可以完全分離，意義位于長篇中，而唱機不過是大環境。DNA是否也是如此？
• DNA和化學環境的必要性
  • 一種觀點認為：為了使DNA有意義，化學環境是必須的；另一種觀點認為：揭示一束DNA的固有意義，只有智能是必須的
• 一個假想的飛碟：如果一個
• 消息的理解層次
  • 就算外星人能夠造出以太昌吉來播放唱片，仍然不能算是理解了唱片的真正意義
  • 如果能直接在目標腦袋里制造同樣的反應、景象和聯想，那么不通過聲音或光當做媒介也是可以的
• 太空幻景
  • 任何消息是否在本質上都具有足夠的內在邏輯，一旦遇到具有充分高智能的生物，其環境總能自動地建立起來？
• 了不起的釋讀者
  • 「羅塞達碑」
  • 意義在多大程度上以可以預測的方式作用于只能，就在此程度上是對象的一部分
• 任何消息都分三層
  • 理解內在消息就是抽取出發送人所要傳遞的意義
  • 理解框架消息就是確認需要一種解碼機制
  • 理解外在消息就是建造——或知道如何健在——能正確解譯內在消息的解碼機制
• 薛定諤的非周期性晶體結構
  • 如果我們再某處發現一個非常規則的幾何結構中「包裹著」非周期性晶體結構，那里就可能隱藏著一些內在信息
• 三個層次行的語言
  • 如何從外部發現釋讀內在信息，如何在人們可能不知道內在信息解碼機制的情況下，在外部信息中包括可以理解的解碼機制？
• 意義的「自動唱機」理論
  • 這個觀點認為：消息不包含固有意義，因為在任何消息被理解之前，它都會被用作某個「自動唱機」的輸入，而這就意味著該「自動唱機」所包含的信息一定會在消息中的意義被獲取之前加在它上面。
  • 悖論：但是人確實在理解一切，為什么？
• 反駁自動唱機理論
  • 這個無限循環的迭代在人腦這一關卡停止，因為大腦是物理實體，并且運轉過程中無需被告知如何運轉，所以悖論被打破
• 若智能是自然的，則意義是固有的
  • 在同樣條件下，一個腦和另一和腦對一個給定的觸發信號幾乎產生完全一樣的反應
  • 如果我們相信人類只能只不過是一種普遍存在的自然現象的一個特例，那么所有智能生物都趨向于以和我們永陽的方式對這些觸發信號做出反應，即以同樣的方式解讀意義
• 地球沙文主義
  • 把意義歸因于消息是出于：分布在宇宙各處的智能生物對消息所進行的處理具有不變性。但是這樣考慮問題，會有地球沙文主義的嫌疑。
• 太空中的兩塊金屬板
  • 長遺傳型：所包含的信息足以使智能生物能夠僅從遺傳型中推出把表現型從遺傳型中抽取出來所需要的機制。
• 再談巴赫之別于卡奇
  • 智能喜愛模式化，厭惡隨機性
  • 要欣賞卡奇的藝術「4分33秒」，那么需要把整個藝術文化史和大環境全部表達出去，但要欣賞巴赫的音樂就不需要很多
• DNA中的消息有多大的普遍性
  • DNA中的消息有限制地包含了一些其所在化學環境的信息
  • 如果DNA序列使用堿基序列符號傳送出去的話，那么就完全無法回復其化學環境，也就不可能被破譯

半音階幻想曲，及互格

• 烏龜一直在自我矛盾，阿基里斯在為其指正，但阿基里斯最后居然被烏龜說服了

第七章 命題演算（注：百度百科詞條「命題邏輯」）

• 詞與符號
• 字母表和命題演算規則
  • 原子：演算過程中沒有完全定義的placeholder，經常是大學英文字母或者小寫希臘字母。一個原子沒有固定的單一解釋。
  • 聯結規則、分隔規則、雙彎號規則、幻想規則、搬入規則、分離規則、易位規則、德·摩根（deMorgan）規則和思維陀螺（斯維徹羅？）規則
• 良構串
  • 對于這個命題演算符號規則的一批例子
• 幻想規則和遞歸
  • 無中生有制造定理的規則，一切定理的開始規則，用「[」和「]」表示開始和結束
  • 幻想規則可以嵌套遞歸
• 符號的預期解釋
  • 對于原子的解釋可以隨著本身意義多種多樣，<PVQ>可以解釋為：要么你請客，要么我請客（要么兩人都付錢AA制）
  • 在命題演算中，所有的事情是純粹「符號地」做出來的，完全機械的，不經思考的，硬性規定的，甚至是傻乎乎的。
• 對規則的論證
• 擺弄這個系統（由這些規則進行一步一步的推理）
• 半解釋：直接讀出定理而不對原子進行解釋
• 巖頭之斧（一個由禪宗公案而來的復雜推理的例子）
• 存在一個對定理的判定過程嗎？
  • 命題演算的結果是簡單的，沒有內容的，甚至感覺是浪費時間的，也正因如此，才能確保它在任何可能世界中都是真的，確保它是切合宇宙核心真理的。
  • 判定過程：真值表方法（true table）
• 我們知道系統是一致的嗎？哪些預期的解釋是否有資格被稱為符號的被動意義？
  • 嚴謹觀點（只有證明命題演算和世界的一致性） vs 馬虎觀點（命題演算的額定義本身就說明了其一致性）
• 再談卡羅爾對話（上一章中烏龜和阿基里斯的對話）
• 捷徑與導出規則
  • 捷徑：當一個定理被推倒證明了以后，就可以被用作一條新定理來證明其他的
  • 但是因為導出的規則是非形式地導出的，它是在系統之外的，所以走這樣的捷徑丟丟掉了系統的形式性。
• 將更高的層次格式化
  • 不能把不同層次的的推理混同在一起，就好像形式系統的語言和日常語言不能混淆一樣
• 對系統的長處和短處的思考
  • 可以對它本身的一些性質進行研究
  • 命題演算能夠很容易地擴充，把推理的其他一些主要的方面包括進來
• 證明之別于推導
  • 一個證明是某種非形式的東西
  • 一個推導是證明的人造對應物
  • 證明是簡單的，是我因為每一步都看上去是對的；推導是簡單的，是指它的無數步驟中的每一步都被認為是微不足道的
  • 命題演算應被當做是綜合人工證明之類的結構的一般方法的一部分，它并沒有很大的靈活性或一般性
• 對付矛盾
  • 當我們遇到了一個矛盾，更可能會對導致了矛盾思維的信仰或推理方式產生疑問，而不是根據矛盾進行命題演算而得出結論
  • 我們的思考方式和命題演算之間就存在著矛盾，也一直有人試圖解決這種矛盾
    • 「相關蘊含」：僅當二者有關聯的時候，一者才能由另外一者推導出

螃蟹卡農

• 巴赫的BWV1079：螃蟹卡農
• 模仿螃蟹卡農，所有人說的話在后半段以相反的順序排列出來

第八章 印符數論

• 螃蟹卡農和間接自指
  • 印符數論TNT：Typographical Number Theory
• 我們希望在TNT中都能表示些什么
• 數字 - 以0 為基礎，S代表「后繼」
  • 0 - 0
  • S0 - 1
  • SS0 - 2
• 變元和術語
  • 變元：a,b,c,d,e,a’,a’’,b’''
  • 術語：加+、乘·、等=
  • 需要非常注意，不要把詞語的普通意義和形式符號的嚴格手規則管轄的行為相混淆，盡管二者經常非常類似
• 自由變元與量詞

  • 量詞

    • <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: nowrap; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; float: none; background-color: rgb(255, 255, 255);">?：exist 存在斷言</span>
    • <div style="padding: 0px; color: rgb(0, 0, 0); word-break: keep-all; white-space: nowrap; -webkit-font-smoothing: antialiased; text-shadow: rgba(0, 0, 0, 0.00392157) 1px 1px 1px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; top: 6731px; left: 7297px; z-index: 350; background-color: rgb(255, 255, 255);">? ：any 全稱斷言

  • 量化變元：在量詞管轄下的變元稱為量化變元

  • 帶有自由變元的串表達了一個性質，量化變元的串表達了一個真實或者虛假的斷言

• 怎樣區分真假
• 關于良構性的規則
  • 關于數字、變元、項（所有數字和變元以及其結合）、原子（如果s和t是項，s=t是原子）、否定、復合、量化的規則
• 一個非印符系統
  • 是否可能，以及如何印符地刻畫所有對應于真理的串
• TNT的五條公理和第一條規則
• 皮亞諾五條公設：盡量把自然數的本質納入到這五條公設支中
• TNT的新規則：特稱和概括
  • 特稱的限制：用來替換串?u:x中的u的項必須不包含任何在x中被量化了的變元
  • 概括的限制：在一個幻想，不允許任何自由出現在該幻想的前提中的變元作概括
• 存在量詞
  • 互換規則：?u:~ 和 ~<span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: nowrap; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; float: none; background-color: rgb(255, 255, 255);">?u:</span>
  • 存在規則
• 等號規則和后繼規則
• 「全規則」
  • 如果在一個金字塔中的所有的串都是定理，那么，用來形容它們的全稱量化的串同樣也是定理。這一「全規則」的問題在于，只有從外部系統才能知道一個無窮集合的全部定理，所以超出了形式系統的范疇。
  • ω不完全系統與不可判定串
    • ω不完全：一個系統的金字塔中所有的串都是定理，而全稱量化的概述串卻不是一個定理。
• 最后一條規則
  • 有一個起點，并且可以真理可以層層推下，那么可以歸納為?
  • 歸納規則：以0 為基礎是真理，并且前一條真理（X{u}）指向了后一條真理(X{Su})，那么?u:X{u}
• TNT中的緊張與解決
  • 數學推理中的美感和節奏
• 形式推理之別于非形式推理
  • 在進行了徹底形式化之后，唯一可行的到道路就是放松形式化原則。否則，形式系統會過于龐大而笨重，以至于對任何實際的目的而言都是毫無用處的。
  • 將所有思維模式放入TNT系統，對元語言進行形式化
• 數論學家賦閑：如果TNT是完全的，那么所有數論問題都完全能夠用純粹機械的窮舉法來解決了
• 希爾伯特方案
  • 希爾伯特和他領導的數學和邏輯學家希望，能夠通過比TNT的推理模式更弱的推理系統來證明TNT的一致性
  • 哥德爾定理證明：任何一個強得足以證明TNT的一致性的系統起碼與TNT本身一樣強

一首無的奉獻

• 禪宗公案
  • 把公案（一個詞語序列）變成一個折起的串（一種三維的東西）
    • 轉錄：用拼音寫出該公案，這種拼音只包涵四種符號，翻譯出來的形式成為信使
    • 翻譯：利用「幾何編碼」，每三個幾何符號決定了下一個折疊方式，將整個信使串完全折疊
  • 俱胝一指：對于模仿的反駁
• DNA

第九章 無門與哥德爾

• 什么是禪宗？
  • 沒有任何辦法能夠刻畫禪宗是什么。當試圖用言語解釋的時候，它總會跳到外面去
  • 「破壞邏輯頭腦」：只有跨出邏輯，擺脫理論，人才能躍入頓悟境地
• 無門禪師
• 禪宗反對二元論的斗爭
  • 二元論：把世界從概念上劃分為種種范疇
    • 一旦你感知到一個客體，就已經把它與世界的其余部分化分開了
    • 詞語把我們引向某些真理（或某些虛假），但肯定不能引向所有真理
• 主義、無方式以及云門
  • 「主義」：禪所追求的東西。反哲學的，一種摒棄思維的存在方式
  • 禪宗采納整體論，并且推向邏輯的極端，認為整個世界根本不能被劃分為一個個的事物，只能整體理解感悟
  • 頓悟狀態意味著自我和宇宙之間的分界消失了
• 禪宗與墮界
  • 禪宗是一個系統，永遠無法成為自己的元系統
  • 艾舍爾和禪宗
• 因陀羅之網：一切事物互相反映包含的網
• 無門論無
• WU謎題的解：只有兩條規則影響到J的數量，而除非一開始J的數量就是3的倍數，否則它們永遠產生不了3的倍數來，所以WU不是WJU系統的定理
• 哥德爾配數
  • 將任何形式系統的問題都嵌入到數論之中，以數論規則來理解和解決
  • 將每個符號都表示成一個數字，并且將規則用數字的變化規律表達出來
• 從印符和算術兩個角度看問題
  • WJU系統可以視為一系列的音符操作，改變著符號的排列模式；也可以視為一系列算術運算，改變著數的量級
  • 中心命題：在十進制中，若有一條印符規則表示為在數中進行移動、改變、刪除或者插入，那么可以用算術運算法則來將其替代
• WJU可產生的數
• 「無朋」的兩重性
  • 「無朋」：一個談論WU謎題的TNT超長（注：長到沒朋友？）符號串
  • 兩重性
    • 一個陳述可以通過哥德爾同構編碼成一個數論問題（無朋成為編碼消息）
    • 數論陳述可以翻譯到TNT系統中去（編碼的符號成為了TNT符號）
• 編碼與隱含意義
  • 現實中不存在未編碼的消息
  • 意義是在我們在辨認出同構時自動出現的副產品
• 對TNT進行哥德爾配數
  • TNT數會是一個遞歸可枚舉集合
  • TNT試圖吞掉自己：數論的形式化的本質導致其元語言嵌在其自身中
• G：以編碼方式談論自身的符號串
  • G就是TNT的不完全的原因（注：類似第一章中的艾皮曼尼蒂斯悖論，即說謊者悖論），它表發了一個真理，然而卻不是一個定理