作者：王國(guó)波?
? 閱讀順序，建議從本系列第一篇前言看起。這篇文章遷到簡(jiǎn)書，因?yàn)楹?jiǎn)書的字?jǐn)?shù)限制，只好分成5個(gè)小篇，分別是3-1、3-2、3-3、3-4、3-5。
? 接前文數(shù)學(xué)思想方法揭秘-2，在這里講述我對(duì)這些題的解題思維過(guò)程，主要是在思維過(guò)程中如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和解題策略來(lái)探索解題方法，所思所想。學(xué)習(xí)者可以先試著做一做數(shù)學(xué)思想方法揭秘-2中的題，再對(duì)比下面的思維過(guò)程，多揣摩領(lǐng)會(huì)解題思維過(guò)程中的思想精髓，看不懂就多讀幾遍，直到自己有會(huì)心一笑心領(lǐng)神會(huì)的感覺(jué)為止。以后就可有意識(shí)的進(jìn)行模仿。在以后的題目中只要有一兩道題有成功的運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，就入門有共鳴了，就把這些消化融入到自己的知識(shí)體系中了，后面運(yùn)用起來(lái)就會(huì)越來(lái)越自然，越來(lái)越得心應(yīng)手，越來(lái)越深入到靈魂中。
? ? 小初高乃至大學(xué)，數(shù)學(xué)、物理包括理工科其它課程的學(xué)習(xí)總體上是不難的，是學(xué)習(xí)又不是創(chuàng)新，有些很前沿的知識(shí)和創(chuàng)新可能是艱難的，但我們學(xué)的大多是幾乎爛大街很普通的成熟的知識(shí)，實(shí)在不應(yīng)該難學(xué)。那在現(xiàn)實(shí)中我們?yōu)楹斡X(jué)得難學(xué)，問(wèn)題在教材、教學(xué)方式和老師。我們的教學(xué)方式和教材教輔內(nèi)容存在嚴(yán)重問(wèn)題，培訓(xùn)機(jī)構(gòu)幾乎也類似，不教或不注重思想方法論和運(yùn)用這些思想方法和解題策略來(lái)進(jìn)行思考的思維過(guò)程，不注重解題規(guī)律的傳授，閹割思維過(guò)程，而有正確數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下的思維過(guò)程才是關(guān)鍵，掌握了這套思想方法論，心中就有了解決問(wèn)題的規(guī)律也就是解題之道思維之道 。用這套方法論來(lái)指導(dǎo)思維，那理工科的學(xué)習(xí)就不會(huì)覺(jué)得難。閹割思維過(guò)程的教學(xué)是沒(méi)有靈魂的教學(xué)，這個(gè)應(yīng)該是我們覺(jué)得數(shù)學(xué)難學(xué)和難以培養(yǎng)出高素質(zhì)人才的真相。
? ? 對(duì)難題，有正確思想方法的思維過(guò)程才是關(guān)鍵。做過(guò)難題的都知道，在思考難題時(shí)，它們大多是開(kāi)頭難，沒(méi)有頭緒，當(dāng)然也可能中間階段卡殼，不知如何下手，看不穿本質(zhì)，感覺(jué)沒(méi)有思路，建立不了和已有知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，已有知識(shí)點(diǎn)派不上用場(chǎng)或不可行。此時(shí)起到關(guān)鍵作用的是思想和策略，先要有正確的思想策略做指導(dǎo)，思想先行，先用思想開(kāi)路，來(lái)攻堅(jiān)克難，來(lái)掃清關(guān)鍵的障礙，用正確的思想方法來(lái)指導(dǎo)/引導(dǎo)/驅(qū)動(dòng)思維過(guò)程，碰壁時(shí)及時(shí)靈活調(diào)整自己的解題策略，再結(jié)合知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)探索解題思路，找到難題的突破口或產(chǎn)生解題方法的雛形或框架再逐步豐富完善，只靠知識(shí)點(diǎn)通常是解決不了難題的。難題的解題方法不是一下子從腦子中蹦出來(lái)的，除非它是熟悉的題型，它通常是在思維過(guò)程中運(yùn)用思想方法探索出來(lái)的。沒(méi)思想沒(méi)啟發(fā)沒(méi)靈魂的教育培養(yǎng)出來(lái)的人，碰到難題或新題型，要不就是束手無(wú)策或思維僵化，要不就是如無(wú)頭蒼蠅，思維到處亂竄，誤打誤撞，沒(méi)有章法，很盲目。沒(méi)有掌握思想方法，對(duì)知識(shí)的運(yùn)用就是自發(fā)的，半迷糊蒙昧狀態(tài)在使用，面對(duì)難題，所學(xué)的一些知識(shí)點(diǎn)幾乎就是死的，因?yàn)闊o(wú)從下手，舉步維艱，感覺(jué)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)用不上，不知道怎么使用知識(shí)點(diǎn)。要以道御術(shù)，此時(shí)對(duì)知識(shí)的運(yùn)用是自覺(jué)的有意識(shí)的，在恰當(dāng)?shù)乃枷敕椒?道)指引下，多維度多視角去看問(wèn)題去思考問(wèn)題去嘗試，幫助我們有效延伸思維的觸角，這樣就有更大概率做正確的事，靈活思維，高效找出解題突破口和解題方向方法，后面才是正確的做事，使用知識(shí)點(diǎn)。也就是先要用正確的思想方法來(lái)指導(dǎo)思維，探索出解題突破口和解題方向解題方法，形成解題思路，這相當(dāng)于給知識(shí)搭了一個(gè)發(fā)揮作用的舞臺(tái)，之后才能盤活死的知識(shí)，讓這些知識(shí)有用武之地。解題思路的產(chǎn)生，主要是靠數(shù)學(xué)思想方法，碰到難題，怎么思考，為何這樣想，為何這樣思考，這就是思路，而思路的產(chǎn)生不是胡亂碰運(yùn)氣，它背后要有一定的邏輯來(lái)做指導(dǎo)，即使是猜想也要合情合理，思路背后的邏輯就是靠數(shù)學(xué)思想方法來(lái)指導(dǎo)。
? ? 教育中的智育，其目的應(yīng)該是培養(yǎng)獨(dú)立的理性思考能力，創(chuàng)新能力，培養(yǎng)自學(xué)能力，熏陶和訓(xùn)練思維方法，掌握思考問(wèn)題的正確思想方法論。讓這些思想方法論成為一種思維習(xí)慣，而不僅僅只是灌輸知識(shí)，這是舍本逐末，大多數(shù)知識(shí)基本上自學(xué)就會(huì)，需要花大力氣去教？而是要重點(diǎn)教學(xué)生怎么靈活運(yùn)用這些知識(shí)：怎么用正確的思想方法論來(lái)思考問(wèn)題，探索出解題思路和解題方法，以道御術(shù)，才能更好利用知識(shí)更好發(fā)揮作用。
? ?思想方法論(包括解題策略)才是大道才是關(guān)鍵&核心，師者傳道授業(yè)解惑，捫心自問(wèn)，我們的教育傳的道在哪？有啥道？萬(wàn)般神通皆小術(shù)，唯有空空是大道，我們的教育(學(xué)校和培訓(xùn)機(jī)構(gòu))和教科書上大多教的是雕蟲小技，不上檔次的小術(shù)，小聰明，沒(méi)有智慧沒(méi)有道(思想方法)。每門功課，只是考試成績(jī)好不算好，要在學(xué)科中更上一層，也就是要能在學(xué)科中悟道才是真的好，但憑我們這樣的教育方式和教科書是難以悟道的，因?yàn)樗鼈兌紱](méi)有道沒(méi)有思想。初高中如果有好的數(shù)學(xué)思想方法的教輔(國(guó)家層面完全可以組織力量編寫權(quán)威的數(shù)學(xué)思想方法論的教輔或參考書)，學(xué)生用這些書籍自學(xué)，自己鉆研領(lǐng)悟，大多數(shù)中等智力的學(xué)生堅(jiān)持到高中階段是可以訓(xùn)練好數(shù)學(xué)思維的，這個(gè)真不難，但現(xiàn)實(shí)卻不是這樣，不給學(xué)生推薦這方面的好書，不對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的重要性，大多數(shù)學(xué)生自己怎知道要掌握數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，到現(xiàn)在還不在初高中普及數(shù)學(xué)思想方法的教育，這就是誤人子弟。
?數(shù)學(xué)解題的一般過(guò)程
? ? 解題的本質(zhì)是變：轉(zhuǎn)化變化，解題就是把題目歸結(jié)為轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題熟悉的題或熟悉的知識(shí)點(diǎn)，解題過(guò)程是從題目起點(diǎn)到題目終點(diǎn)(結(jié)論&答案)的一段段串起來(lái)的解題操作和邏輯(各種變形、變換、計(jì)算、推理、推導(dǎo))，這些一段段串起來(lái)的解題操作和邏輯實(shí)際上就是不斷地在轉(zhuǎn)化問(wèn)題在變化問(wèn)題，從而一步步向問(wèn)題終點(diǎn)靠攏。解題的過(guò)程就是在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，調(diào)動(dòng)和運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及經(jīng)驗(yàn)，采取解題策略，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的思維過(guò)程。這一段段串起來(lái)的一些關(guān)鍵環(huán)節(jié)是怎么想到的？很多是在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下探索出來(lái)的，特別是開(kāi)頭的幾步。
? ? 具體而言，解題過(guò)程有4步：
? ? ? ?第1步：理解問(wèn)題。審題讀懂問(wèn)題，找出已知條件和要證明的結(jié)論或要求的結(jié)果答案，觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中隱藏的特征特點(diǎn)、關(guān)系、規(guī)律等解題線索、收集整理信息，判斷題型。
? ? ? ?第2步： 探索解題思路，制定解題方案。對(duì)簡(jiǎn)單的題，我們幾乎不費(fèi)力就可找出問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，因?yàn)檫@種聯(lián)系很淺顯很直接，也就是很快知道要用哪些知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)就可解題，能很快形成解題過(guò)程，實(shí)際上也是有聯(lián)想類比的參與，但幾乎快到感覺(jué)不到它們(聯(lián)想類比)的存在。但有些題，特別是較難的題，它和知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系是隱藏的、晦澀的、復(fù)雜的，間接的，我們難以一下子得出問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，無(wú)從下手，此時(shí)就是考驗(yàn)數(shù)學(xué)思維能力，就需要有正確的扎實(shí)的數(shù)學(xué)思想方法論的指導(dǎo)才能高效探索出解題突破口和思路，高效找出問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，建立問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的橋梁紐帶，打通它們之間的聯(lián)系。先前說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)思想方法是問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的橋梁、指南針、開(kāi)路先鋒、藥引子。研判局勢(shì)，找出問(wèn)題癥結(jié)。這一步的最高指導(dǎo)原則就是變：變化轉(zhuǎn)換，靈活變化，在數(shù)學(xué)思想方法論(聯(lián)想、類比、抽象等等)和解題策略指導(dǎo)下進(jìn)行各種變化轉(zhuǎn)化，進(jìn)而探索出解題突破口和解題方向，形成解題思路。這個(gè)是解題過(guò)程中的核心和難點(diǎn)，也是這幾篇博文的重點(diǎn)內(nèi)容。
? ? ?第3步：方案實(shí)施。在上一步已經(jīng)披荊斬棘找到問(wèn)題突破口，初步形成解題思路和解題過(guò)程的情況下，這一步是按照第2步的思路方案，進(jìn)行思路展開(kāi)，具體實(shí)現(xiàn)，在紙上把解題過(guò)程(由解題操作組成)一步步寫出來(lái)，從題設(shè)條件出發(fā)，一步步進(jìn)行變換，逐步向結(jié)論靠攏逼近。當(dāng)然有時(shí)用逆向思維或分析法，從結(jié)論向題設(shè)靠近。第2步和第3步乃至第1步之間有時(shí)沒(méi)有明確的界限，無(wú)法嚴(yán)格劃分，它們有時(shí)是一個(gè)反復(fù)的過(guò)程，例如從第2步再回到1步，或從第3步再回到第2步或第1步。
? ? ?第4步：回顧與反思。無(wú)論是解題成功還是失敗，最后都要反思。反思解題過(guò)程中的成與敗，得與失，進(jìn)行總結(jié)改進(jìn)提高。這一步往往容易被忽視。另外在前面的第1步、2步、3步中也要注意運(yùn)用反思來(lái)調(diào)整解題思路。
? ? ?我們可以進(jìn)一步把這4步劃分為3個(gè)階段：前期、中期、后期。前期階段也叫幕后階段，包含上面的第1步和第2步，主要是尋找解題突破口和解題方向，探索和醞釀解題思路。 中間階段就是第3步，后期階段是第4步。
? ? 對(duì)難題，大多是開(kāi)頭難，感覺(jué)無(wú)從下手，沒(méi)有思路門路，也就是經(jīng)?？ㄔ谇捌陔A段，前期階段最難，且我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中很少能看到，它大多在做題人的草稿紙上和腦子中，教學(xué)中很少有，書上也很少有講解思維過(guò)程，也就是它在幕后。中間階段在臺(tái)前，是我們能在書上和作業(yè)上試卷上看到的解題方法。這些臺(tái)前的解題過(guò)程解題方法一般是很光鮮的：非常有條理有邏輯。?
? ? 中間階段的解題方法是由前期階段產(chǎn)生的，前期階段是漁，中間階段是魚，前期階段是母，中間階段是子。前期階段打漁釣魚的技能沒(méi)掌握好，很難釣出中間階段的魚：答案、解題過(guò)程、解題方法。所以說(shuō)關(guān)鍵在前期階段，前期階段做好了，中期階段對(duì)智力正?；A(chǔ)好的學(xué)生是水到渠成，按部就班的事情。
? ? 但現(xiàn)實(shí)中卻恰恰相反，本應(yīng)該極度重視的前期階段卻被選擇性忽略忽視：絕大多數(shù)數(shù)學(xué)書中很少有解題思維過(guò)程，老師也很少講解前期階段的思維過(guò)程或把思維過(guò)程講透徹，大多是直接到中間階段，直接蹦出解題方法。這個(gè)問(wèn)題的原因可能有3個(gè)：第一：前期階段的探索思維過(guò)程在幕后，一般是在草稿紙上和腦子中，我們并不要求把前期階段的探索思維過(guò)程寫在試卷和作業(yè)上，寫在作業(yè)上試卷上的是光鮮的中間階段：有條理有邏輯的解題方法。第二：前期階段的思維過(guò)程本來(lái)就是難點(diǎn)，受限于水平，自己都不知道怎么思考，且一些老師是按現(xiàn)成的答案來(lái)講，這些答案也沒(méi)有前期的思維過(guò)程，老師照本宣科，沒(méi)有親自做題，沒(méi)有親自體驗(yàn)，怎么能講好？ 第三：講解思維過(guò)程有些時(shí)候言不盡意，思維有時(shí)憑經(jīng)驗(yàn)，憑悟性、憑直覺(jué)，憑靈感，憑一點(diǎn)思想火花的閃爍，交流講解有時(shí)靠拈花一笑的意會(huì)和心靈共鳴感應(yīng)，這些都導(dǎo)致不好講解思維過(guò)程，沒(méi)有比較形式化的方式來(lái)描述思維過(guò)程，講清楚思維過(guò)程要費(fèi)較多功夫，效果還不一定好，思維層次不在一個(gè)頻道上。
? ? 相比光鮮的解題中間階段，前期階段通常是過(guò)程曲折艱難，思維混亂沒(méi)有章法，沒(méi)有固定模式，冥思苦想而無(wú)方。這也是大多數(shù)人的狀況，這種狀況導(dǎo)致在有限的時(shí)間內(nèi)難以找到解題思路和解題突破口，也就不可能有光鮮的中間階段。
如何來(lái)改善前期階段的思維狀況，讓它高效，讓它有些章法、有些條理和相對(duì)固定的思維框架模式？這就靠數(shù)學(xué)思想方法來(lái)指導(dǎo)我們的思維過(guò)程，來(lái)啟迪我們的思維，來(lái)做思維的指南針、敲門磚、催化劑、金剛鉆、火花塞、橋梁、魚餌、藥引子，通過(guò)這些指南針、敲門磚、橋梁來(lái)探索出解題突破口和解題思路。
? ? ?所以我們應(yīng)該提倡教學(xué)過(guò)程中要傳授由數(shù)學(xué)思想方法(包括解題策略)驅(qū)動(dòng)/指導(dǎo)的幕后的思維過(guò)程，講解如何通過(guò)這些思維過(guò)程把解題方法探索出來(lái)，啟迪學(xué)生思維，要有思想，讓學(xué)生知其然，也知其所以然。雖然講解思維過(guò)程比較難比較費(fèi)功夫但總比不講要好得多。閹割思維過(guò)程的教育是極其有害的，學(xué)生沒(méi)有模仿的機(jī)會(huì)，要自己摸索不容易，有的人一輩子都沒(méi)能掌握思考問(wèn)題的正確思想方法論。
? ? ?在講解具體題目的解題思維過(guò)程之前，講解些自己的感悟，這些感悟可以看成是數(shù)學(xué)思維中的內(nèi)功心法。內(nèi)容涉及到上面提到的解題的4個(gè)過(guò)程。
第一個(gè)是辯證思維，數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合辯證法指導(dǎo)下的解題策略，靈活地變變變/轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)換、化歸)。
??這一節(jié)主要涉及到解題過(guò)程中的第2步，如何找到解題突破口，探索出解題思路。
?辯證法中的運(yùn)動(dòng)觀提到萬(wàn)事萬(wàn)物都是運(yùn)動(dòng)變化的，大道至簡(jiǎn)，數(shù)學(xué)思想方法和解題策略也是如此，歸根結(jié)底就一個(gè)字：變，就是變化、改變、轉(zhuǎn)變、轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)換、變換。要做到靈活變通，圓融無(wú)礙地變化，很多情況下要在解題過(guò)程中運(yùn)用辯證法來(lái)做指導(dǎo)，在實(shí)踐層面不會(huì)運(yùn)用辯證法，思維不可能靈活，很多人學(xué)過(guò)辯證法，但在數(shù)學(xué)解題中不會(huì)運(yùn)用。這里可用太極圖陰陽(yáng)魚來(lái)形象化地理解數(shù)學(xué)中的思維能力與知識(shí)的辯證關(guān)系、思想方法和解題策略的辯證關(guān)系、辯證法的聯(lián)系觀、矛盾觀(對(duì)立統(tǒng)一、相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化)、以及數(shù)學(xué)解題思維的最高準(zhǔn)則：辯證法運(yùn)動(dòng)觀，運(yùn)動(dòng)變化。
? ? 碰到難題，無(wú)論是在解題開(kāi)始或解題過(guò)程中，絞盡腦汁后還是處處碰壁，無(wú)從下手，舉步維艱，此時(shí)唯一的最高準(zhǔn)則就是變：變化、變換、改變、改革、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)換)。把解題思路變一變，換一種思路或微調(diào)思路或綜合其他思路；把題目變一變，例如把已知條件中的等式做下等價(jià)變形，或有關(guān)聯(lián)的非等價(jià)變化，把原題中的已知條件變一下，變成一個(gè)新題，解決這個(gè)相對(duì)容易的新問(wèn)題，再把原題想法轉(zhuǎn)變成新問(wèn)題；把題目要證明的結(jié)論/結(jié)果做下等價(jià)變換(分析法，根據(jù)因果關(guān)系和充要條件進(jìn)行等價(jià)變換，把原題中的要證明的A結(jié)論或要計(jì)算的A結(jié)果轉(zhuǎn)變成B，而B比較好證明或求出來(lái))或有關(guān)聯(lián)的非等價(jià)變化(例如改變?cè)}要求的結(jié)論或答案結(jié)果，變成一個(gè)新問(wèn)題，得到新題的解決方法，再想法把原題轉(zhuǎn)變成新題)，這些都是變。不變是死路一條，只有改變現(xiàn)狀，只有變才可能找到出路。
? ? 變化就是運(yùn)動(dòng)，辯證法中運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，所以解題中也要有運(yùn)動(dòng)變化，善于運(yùn)動(dòng)變化。另外先前提到過(guò)易經(jīng)中的三原則：變易、簡(jiǎn)易、不易也很有意思，它們是層層遞進(jìn)的：變易就是說(shuō)要變化，沒(méi)有不變的東西，和辯證法中的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的一個(gè)意思；簡(jiǎn)易是說(shuō)變易(變化)會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜性，但如果我們有智慧，掌握領(lǐng)悟了原理和方法之后，對(duì)變化的掌控就簡(jiǎn)單了，就不怕變，甚至?xí)鲃?dòng)變化，主動(dòng)利用變化來(lái)解決問(wèn)題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，掌握了數(shù)學(xué)思想方法論就容易了。不易就是說(shuō)其實(shí)還有個(gè)不變的東西存在，也就是在更高層的幕后有個(gè)不變的東西，勉強(qiáng)給它取個(gè)名字叫道或本質(zhì)，哪在數(shù)學(xué)中什么不變？
? ?具體如何變？在數(shù)學(xué)解題中如何變化也要講思想方法講解題策略技巧，也就是思想加策略加技巧。思維要有正確的思想和策略、技巧來(lái)指導(dǎo)，這樣思維才容易高效和對(duì)路。
孫悟空有72變，我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中，也有一套數(shù)學(xué)思想方法和解題策略來(lái)指導(dǎo)如何變化?？梢哉J(rèn)為數(shù)學(xué)思想(聯(lián)想、類比、抽象、分類思想、轉(zhuǎn)化等)是指導(dǎo)你在思維層面如何多角度多方位來(lái)思考問(wèn)題，來(lái)看問(wèn)題，來(lái)展開(kāi)自己的思維。但有時(shí)憑各種數(shù)學(xué)思想方法和知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)驗(yàn)還不能高效率的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這時(shí)就要結(jié)合解題策略來(lái)調(diào)整改變我們的思維和思路。窮則思變，碰到棘手問(wèn)題束手無(wú)策或碰壁后需要調(diào)整改變思路、視角和行動(dòng)。很多思想方法和解題策略的最高宗旨是試圖通過(guò)各種變化來(lái)降低問(wèn)題復(fù)雜度和獲得解題突破口。變：變化、變形、轉(zhuǎn)化/化歸、改變思路、改變視角、改變題目、改變已知條件、改變目標(biāo)、從一種形式變成另一種形式、變不熟悉為熟悉、變未知為已知、變復(fù)雜為簡(jiǎn)單、變不好處理為好處理。下文中的具體不行就抽象(向上抽象)、直接不行就間接，乃至辯證法中矛盾的相互轉(zhuǎn)化相互利用都體現(xiàn)了變化。
我們?cè)诳荚嚂r(shí)，一般是先做簡(jiǎn)單的題，后做復(fù)雜的，這是一種策略。對(duì)每道數(shù)學(xué)題，也有解題策略。解題策略就是在解題過(guò)程中遵循的一些全局的、總體性的、指導(dǎo)性的行動(dòng)方針和對(duì)策，它是概括性的方法而非具體的解題方法，解題策略例如抽象不行就具體(也叫特殊化策略。碰到抽象問(wèn)題或一般性問(wèn)題時(shí)，如果難以解決，就轉(zhuǎn)而解決具體化的特殊性的問(wèn)題，例如使用歸納法，得到經(jīng)驗(yàn)和啟發(fā)后再回到抽象問(wèn)題上)，具體不行就抽象(也叫一般化策略。如果一個(gè)具體問(wèn)題不好解決那就把這個(gè)問(wèn)題上升到抽象問(wèn)題一般性問(wèn)題，解決抽象問(wèn)題之后再回到具體問(wèn)題）、直接不行就間接等等。解題策略介于具體的解題方法與思想方法之間，是把思想方法轉(zhuǎn)化為/向下變現(xiàn)為解題操作的橋梁。
解題策略用于對(duì)我們的解題行動(dòng)指明方向，而具體的數(shù)學(xué)方法(例如解方程的代入消元法）是直接的解題手段。解題策略指明方向體現(xiàn)在對(duì)我們的解題思路和思想方法起到控制調(diào)節(jié)/調(diào)整、優(yōu)化、平衡、揚(yáng)棄選擇、約束、編排組織、糾偏變通的作用，調(diào)節(jié)的幅度一種是微調(diào)，另一種是跳躍式的調(diào)整乃至徹底否定之后的改變。就像我們開(kāi)車，在前方似乎沒(méi)路時(shí)，要轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤調(diào)整前進(jìn)方向轉(zhuǎn)下彎一樣，類似做事要圓融要靈活變通，做人既要有方有原則有底線也要有圓，數(shù)學(xué)思想方法好比這里的方，而解題策略就是這里的圓。
解題策略是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的補(bǔ)充和輔助，它是數(shù)學(xué)思想方法的伴侶。數(shù)學(xué)思想方法相對(duì)剛性，而解題思維本應(yīng)該是靈活善變的，解題策略正好可用來(lái)增強(qiáng)思維的彈性、柔性、靈活性，這樣剛?cè)嵯酀?jì)，避免機(jī)械僵化的思維，具體問(wèn)題具體分析。好的解題策略注重和諧、協(xié)調(diào)、平衡，做到不偏執(zhí)不偏頗，順應(yīng)本質(zhì)的解題思維規(guī)律，幫助我們少走彎路，高效實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)。解題策略有時(shí)和數(shù)學(xué)思想方法合二為一，例如轉(zhuǎn)化(化歸)既是數(shù)學(xué)思想方法，也是解題策略，分而治之(化整為零)、整體化思想和數(shù)形結(jié)合思想等也是如此。
總體而言。數(shù)學(xué)思想方法和解題策略的關(guān)系好比地球儀上的經(jīng)線和緯線，如下圖，數(shù)學(xué)思想方法是經(jīng)線，解題策略是緯線。數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合解題策略就好比經(jīng)緯交織，這樣才能天衣無(wú)縫，才能思維嚴(yán)密嚴(yán)謹(jǐn)而不失全面靈活，才能全方位/多角度立體化系統(tǒng)化思考問(wèn)題。
? 在第一篇中已經(jīng)提到數(shù)學(xué)思想方面和辯證法的關(guān)系，辯證法的精髓就是矛盾的相互轉(zhuǎn)化和對(duì)立統(tǒng)一，相互聯(lián)系發(fā)展變化，而這些和數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)解題策略是非常契合的。這里不需要糾結(jié)唯物和唯心，既然講辯證，唯物唯心合起來(lái)才比較完美，它們是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，偏向哪個(gè)都不對(duì)，沒(méi)有誰(shuí)絕對(duì)正確，都有它們解釋不了的問(wèn)題和現(xiàn)象，普通哲學(xué)解釋不了宇宙的本質(zhì)，人類一思考，上帝就笑了，但我們可以通過(guò)不懈的探索，逐步接近本質(zhì)。
科學(xué)的科學(xué)是哲學(xué)，反過(guò)來(lái)哲學(xué)必須要能指導(dǎo)具體科學(xué)例如數(shù)學(xué)。
? 在數(shù)學(xué)解題思維中，要注重運(yùn)用辯證法中的如下觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)我們解題，幫助我們從更高的思想層面來(lái)理解數(shù)學(xué)思想方法，制定解題策略。
聯(lián)系觀：萬(wàn)事萬(wàn)物普遍聯(lián)系以及聯(lián)系的多樣性、層次性，萬(wàn)事萬(wàn)物存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，聯(lián)系無(wú)處不在無(wú)時(shí)不在。甚至連矛盾的對(duì)立雙方都存在聯(lián)系，蝴蝶效應(yīng)，物理學(xué)中的量子糾纏更是說(shuō)明聯(lián)系的神奇。數(shù)學(xué)思想方法的多樣性，正是普遍聯(lián)系多樣性的體現(xiàn)。有聯(lián)系就有關(guān)系，聯(lián)系的多樣性也決定了它對(duì)應(yīng)關(guān)系的多樣性。聯(lián)系觀在數(shù)學(xué)中最直接的體現(xiàn)就是關(guān)系思想。關(guān)系思想：我們?cè)谌粘Ｉ钪袑?duì)關(guān)系是使用的非常熟練的，大多數(shù)人辦事都喜歡找各種關(guān)系，利用關(guān)系網(wǎng)。在數(shù)學(xué)中，關(guān)系思想也是極其極其重要的思想方法，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的各種關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)的一個(gè)主要內(nèi)容，初中的相似三角形成比例，平行線分線段成比例定理，倒數(shù)關(guān)系，相反數(shù)關(guān)系，勾股定理中斜邊和兩個(gè)直角邊都存在關(guān)系，乃至邏輯推理、充分必要條件、因果等都是關(guān)系的體現(xiàn)。每道數(shù)學(xué)題中都存在關(guān)系，除了題目中一些顯而易見(jiàn)的關(guān)系，解題時(shí)還要善于發(fā)現(xiàn)和挖掘題目中隱含的一些關(guān)系或聯(lián)系。找關(guān)系，發(fā)現(xiàn)關(guān)系，進(jìn)而刻畫表達(dá)關(guān)系，把關(guān)系用合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言合適的形式(例如方程、函數(shù)、等式、公式、不等式、定理、數(shù)列、數(shù)學(xué)圖形、圖表等)表示出來(lái)翻譯出來(lái)，例如數(shù)學(xué)題中已知的和隱藏的各種數(shù)量關(guān)系和各種約束、數(shù)與形的關(guān)系、題目/問(wèn)題之間的關(guān)系、數(shù)學(xué)題中數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)學(xué)元素）之間的關(guān)系、問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系、知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系、概念之間的關(guān)系等。再想辦法利用好這些關(guān)系來(lái)解題，利用好這些關(guān)系來(lái)變化問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，最終解決問(wèn)題。關(guān)系就是橋梁紐帶，有了關(guān)系就好變化好轉(zhuǎn)化，容易找到解題方法容易找到出路。
? 有時(shí)兩個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之間似乎沒(méi)有關(guān)系或聯(lián)系，就要找出它們之間的關(guān)系/聯(lián)系，或者想法讓它們發(fā)生關(guān)系/聯(lián)系，建立關(guān)系/聯(lián)系，例如讓兩個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（例如算式或等式、變量）相乘相除等運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，就像化學(xué)反應(yīng)一樣。有時(shí)題目中缺少發(fā)生關(guān)系的數(shù)學(xué)對(duì)象，此時(shí)我們要聯(lián)想到或找出關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)對(duì)象，然后讓它們發(fā)生關(guān)系，例如題目中存在m-n這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象，此時(shí)我們要聯(lián)想到和它有關(guān)系的對(duì)象m+n，再讓m-n和m+n相乘發(fā)生關(guān)系，具體的例子比如碰到根號(hào)3-1，根據(jù)題目的情況，我們很可能會(huì)想到根號(hào)3-1的對(duì)偶對(duì)象/對(duì)應(yīng)的對(duì)象：根號(hào)3+1，如下圖，然后讓它們兩個(gè)相乘，發(fā)生關(guān)系。有時(shí)對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)或關(guān)系比較疏遠(yuǎn)(物理上和邏輯上)或松散凌亂或比較別扭不順暢，顯然不便于解題，我們就要想法去改造這種結(jié)構(gòu)和關(guān)系，重組結(jié)構(gòu)和關(guān)系，將它們的關(guān)系變親密，結(jié)構(gòu)變協(xié)調(diào)，變緊密。在幾何題中，我們一般是通過(guò)作輔助線和幾何變換來(lái)對(duì)存在問(wèn)題的幾何結(jié)構(gòu)和關(guān)系進(jìn)行改造。
? 有時(shí)我們碰到一個(gè)問(wèn)題，要聯(lián)想到和這個(gè)原題有關(guān)系或類似的另一個(gè)問(wèn)題，或把原題變成和它有一定關(guān)系的另一個(gè)問(wèn)題，解決后面這個(gè)問(wèn)題，再利用它和原題的關(guān)系來(lái)解決原題，或借鑒后面這個(gè)問(wèn)題的解題方法。
? 我們?cè)趯W(xué)習(xí)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某個(gè)概念時(shí)，要聯(lián)想到和該知識(shí)點(diǎn)或概念有關(guān)系有聯(lián)系的其他知識(shí)點(diǎn)，搞清楚它們之間的關(guān)系聯(lián)系以及區(qū)別，建立知識(shí)點(diǎn)之間的橫向和縱向的聯(lián)系，形成立體的知識(shí)體系。例如前面說(shuō)過(guò)的學(xué)到平均數(shù)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，要能想到它和抽屜原理的關(guān)系，這樣就能更深刻地理解抽屜原理，覺(jué)得它不難了。
? 關(guān)系/聯(lián)系就是橋梁紐帶，就是通路，我們用各種數(shù)學(xué)思想方法來(lái)建立解題需要的橋梁，找到解題突破口。不管是數(shù)學(xué)題和知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系/聯(lián)系、數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系/聯(lián)系，數(shù)學(xué)元素和知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系/聯(lián)系、知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系/聯(lián)系、題和題之間的聯(lián)系、概念和知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系/聯(lián)系、概念和概念之間的關(guān)系/聯(lián)系，遵照關(guān)系思想，在學(xué)習(xí)中和解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系/聯(lián)系，看透看懂看清楚了關(guān)系/聯(lián)系，發(fā)生了關(guān)系/聯(lián)系，發(fā)展了關(guān)系/聯(lián)系，建立了關(guān)系/聯(lián)系，改造好了關(guān)系，利用好了關(guān)系/聯(lián)系，我們借助它做橋梁來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變化(從一種形式變成另一種形式)，改變就是轉(zhuǎn)化問(wèn)題，把問(wèn)題從復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單，從陌生轉(zhuǎn)化成熟悉，從未知轉(zhuǎn)化成已知，有改變就有機(jī)會(huì)有可能解決問(wèn)題，就有可能推進(jìn)問(wèn)題的解決。在日常生活中，我們找熟人關(guān)系辦事，把不好辦的事情轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的事情，也是相同的道理。
運(yùn)動(dòng)發(fā)展觀：在數(shù)學(xué)思想方法中的體現(xiàn)就是運(yùn)動(dòng)/動(dòng)態(tài)思維、函數(shù)思想，例如讓事物沿著題目中的軌跡運(yùn)動(dòng)，讓某個(gè)變量的數(shù)值發(fā)生變化，或想象它們?cè)诎l(fā)生變化，在運(yùn)動(dòng)中觀察其中隱藏的的規(guī)律、關(guān)系、特征特點(diǎn)，如何運(yùn)用運(yùn)動(dòng)思想來(lái)解題在下文中有具體運(yùn)用。
矛盾觀：這里進(jìn)一步重點(diǎn)講解辯證法中的矛盾觀在數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程中的巨大指導(dǎo)作用，它可以用來(lái)指導(dǎo)我們的解題策略，當(dāng)然辯證法中的聯(lián)系觀、否定之否定、運(yùn)動(dòng)觀、質(zhì)變-量變也是可以用來(lái)指導(dǎo)我們的解題策略的。
? 矛盾觀講矛盾的對(duì)立統(tǒng)一以及矛盾的相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)中幾乎都存在矛盾關(guān)系，例如乘法與除法，除數(shù)和被除數(shù)，題設(shè)和結(jié)論。矛盾的雙方可以相互轉(zhuǎn)化，例如乘法變除法。
? 數(shù)學(xué)題中的條件和條件、條件(題設(shè))和結(jié)論之間存在矛盾關(guān)系，它們統(tǒng)一在數(shù)學(xué)題中。在解題之前條件和結(jié)論是對(duì)立的，在成功解題之后，也就是解決了條件和結(jié)論之間的矛盾之后，它們就達(dá)成了統(tǒng)一。數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是解決矛盾的過(guò)程，就是從已知條件開(kāi)始逐步轉(zhuǎn)化逐步變化，最終得出結(jié)論的過(guò)程或相反從結(jié)論逆向推理。在數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程中，我們有時(shí)可以運(yùn)用矛盾分析法來(lái)分析識(shí)別已知條件和結(jié)論之間的矛盾，找出矛盾雙方(已知條件和結(jié)論)的特點(diǎn)、特征、規(guī)律、聯(lián)系、性質(zhì)，比較雙方之間的差異，基于這些特征、規(guī)律、聯(lián)系來(lái)想法轉(zhuǎn)化矛盾，來(lái)縮小差距，來(lái)解決矛盾。
除了可以使用矛盾分析法來(lái)解題，還可以用矛盾觀來(lái)指導(dǎo)我們的解題策略，例如具體與抽象就是一對(duì)矛盾(在文中，抽象可以是名詞、動(dòng)詞或形容詞，注意理解區(qū)分),類似特殊與一般也是一對(duì)矛盾。具體（特殊）與抽象（一般）這對(duì)矛盾，在解題策略中就可衍生出一般化策略、特性化策略、抽象不行就具體，具體不行就抽象等策略。
對(duì)同一類問(wèn)題,通常有多種具體情況或特殊情況，通常這些具體可以對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象。例如1*4、2*5、12356894*12356897，這3個(gè)具體對(duì)應(yīng)的一種抽象模型或抽象形式可為n*(n+3)。
多個(gè)具體之間有復(fù)雜簡(jiǎn)單之分，前面的1*4、2*5這兩個(gè)具體就相對(duì)比較簡(jiǎn)單，這是具體情況的簡(jiǎn)單性，12356894*12356897這個(gè)具體看上去很復(fù)雜，計(jì)算量大，這就是具體情況的復(fù)雜性。
抽象相對(duì)具體來(lái)說(shuō)似乎是比較復(fù)雜的，其實(shí)不一定是這樣，n*(n+3)和兩個(gè)具體1*4、2*5相比，感性上看肯定是這兩個(gè)具體簡(jiǎn)單，這個(gè)就是具體情況的簡(jiǎn)單性。但n*(n+3)和12356894*12356897相比哪個(gè)看上去復(fù)雜？顯然是這個(gè)具體復(fù)雜，它計(jì)算量大，這個(gè)就是具體情況的復(fù)雜性；而它對(duì)應(yīng)的n*(n+3)這個(gè)抽象就簡(jiǎn)潔得多，也簡(jiǎn)單得多，瞬間就知道它的答案。對(duì)抽象，由于排除了非本質(zhì)的因素和非本質(zhì)的假象，去粗取精，去偽存真，只留下本質(zhì)的因素和內(nèi)在的聯(lián)系，所以顯得簡(jiǎn)潔。簡(jiǎn)潔加上抽象的深刻性、普適性(一個(gè)抽象模型適用于多個(gè)具體情況，一以概之)，通常掌握一個(gè)抽象比和多個(gè)或無(wú)限個(gè)具體情況糾纏要輕松，所以抽象反而顯得簡(jiǎn)單。這就是抽象的間潔性和簡(jiǎn)單性；抽象也可能在一些方面比具體要復(fù)雜，這個(gè)應(yīng)該經(jīng)常碰到，這就是抽象的復(fù)雜性，由于它不具體，人們有時(shí)對(duì)它缺少感性認(rèn)識(shí)。
總結(jié)下：從上面的描述可知，具體問(wèn)題/特殊問(wèn)題有簡(jiǎn)單的一面（具體情況的簡(jiǎn)單性，簡(jiǎn)稱具體的簡(jiǎn)單性），也有復(fù)雜的一面（具體情況的復(fù)雜性，簡(jiǎn)稱具體的復(fù)雜性）；抽象問(wèn)題/一般問(wèn)題有簡(jiǎn)單的一面（抽象情況的簡(jiǎn)單性，簡(jiǎn)稱抽象的簡(jiǎn)單性），抽象通常都是簡(jiǎn)潔的，但不一定簡(jiǎn)單，也有是復(fù)雜的一面（抽象情況的復(fù)雜性，簡(jiǎn)稱抽象的復(fù)雜性），
? ?從前面的總結(jié)中可知，具體和抽象中都有復(fù)雜性。具體的復(fù)雜性有些是偶發(fā)的表象的，是假象復(fù)雜性非本質(zhì)的復(fù)雜性，也就是這種復(fù)雜性是表面上看起來(lái)復(fù)雜，不是問(wèn)題本身的復(fù)雜性帶來(lái)的，而是因個(gè)人的原因，被具體問(wèn)題中的無(wú)關(guān)因素、個(gè)性化的因素、次要因素誤導(dǎo)走偏或被這些假象復(fù)雜性掩蓋了問(wèn)題本質(zhì)導(dǎo)致，這些因素和假象復(fù)雜性其實(shí)是噪音或干擾。由于方法不對(duì)路沒(méi)有看透這些假象復(fù)雜性和非本質(zhì)因素而覺(jué)得它復(fù)雜，沒(méi)有掌握好或沒(méi)有運(yùn)用好思想方法和解題策略而導(dǎo)致的復(fù)雜性。如果我們有慧眼，運(yùn)用正確的思想方法和解題策略，是可以避開(kāi)和消除這種復(fù)雜性而看清問(wèn)題本質(zhì)的；而抽象的復(fù)雜性是本質(zhì)復(fù)雜性，原生復(fù)雜性，它是內(nèi)在的復(fù)雜性，是問(wèn)題自身具有的復(fù)雜性，這種復(fù)雜性一般是大多數(shù)個(gè)體無(wú)法回避的無(wú)法消除的，要去積極面對(duì)的，例如運(yùn)用創(chuàng)新思維。這種本質(zhì)的復(fù)雜性至少在當(dāng)前條件下是本質(zhì)復(fù)雜性，當(dāng)然隨著時(shí)代的發(fā)展和思想的進(jìn)步，本質(zhì)復(fù)雜性以后有可能會(huì)變成偶發(fā)的復(fù)雜性。另外，具體和抽象中都有簡(jiǎn)單性，后面我們會(huì)體會(huì)到如何利用這兩種簡(jiǎn)單性來(lái)幫助我們解題。具體和抽象中既有簡(jiǎn)單性，也有復(fù)雜性，具體和抽象之間的關(guān)系可以用圖一(太極陰陽(yáng)魚)來(lái)形象化描述，陰陽(yáng)魚相互轉(zhuǎn)化，太極圖中的魚眼，你中有我，我中有你，同時(shí)每個(gè)魚眼又是一個(gè)小太極，這個(gè)就是層次性和全息性。當(dāng)然這個(gè)圖更主要說(shuō)明辯證法中矛盾觀中的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，雙方是一個(gè)和諧的統(tǒng)一體，相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化。這個(gè)圖是靜態(tài)的，沒(méi)表現(xiàn)出更多的內(nèi)涵，要想象成動(dòng)態(tài)的動(dòng)畫的旋轉(zhuǎn)的，也就是要用運(yùn)動(dòng)發(fā)展的眼光來(lái)看。例如抽象與具體的相互轉(zhuǎn)化，在一道題中抽象要先轉(zhuǎn)成具體或先關(guān)注具體，之后再轉(zhuǎn)到抽象，在另一道題中具體要先轉(zhuǎn)化成抽象或先關(guān)注抽象，也就是思想不要僵化，別一成不變，要解放思想觀念，具體問(wèn)題具體分析，要靈活辯證地來(lái)看待抽象和具體，此外可能一個(gè)場(chǎng)景下的抽象是另一個(gè)場(chǎng)景下的具體。不限于具體和抽象的關(guān)系，其它類似的都要如此辯證的來(lái)看。
? ?有些抽象問(wèn)題雖然是復(fù)雜的，但如果我們解決了這個(gè)復(fù)雜的抽象問(wèn)題，可能會(huì)得到其簡(jiǎn)潔和普適的解決方案，比如定律、理論公式，也就是解決方案/結(jié)果是簡(jiǎn)潔的深刻的，簡(jiǎn)潔但不一定簡(jiǎn)單，但它比繁多的具體反而好掌握，因?yàn)槌橄笫且灰愿胖?，掌握了一個(gè)就掌握了眾多具體。
? ?抽象是一以概之，具有一般性和普適的簡(jiǎn)潔性，體現(xiàn)了抽象之美；而具體，有些具有個(gè)體的簡(jiǎn)單性，有些從感性上覺(jué)得復(fù)雜。具體的東西，一般比較瑣碎，比較特殊，前面提到過(guò)它包含有噪聲或干擾，導(dǎo)致一葉障目，看不清問(wèn)題本質(zhì)。
? ?我們抽象的過(guò)程中就要能識(shí)別出哪些是噪聲，過(guò)濾排除掉這些噪音或干擾，去抽取精，去偽存真，得到反映問(wèn)題的深刻核心本質(zhì):模型；也可直接圍繞問(wèn)題直接抽取提煉，保留本質(zhì)，自然而然就過(guò)濾掉了具體情況中的噪聲，也就避開(kāi)了具體情況中的復(fù)雜性。下面解題過(guò)程中將會(huì)看到，如果不排除題目中的這些噪聲（降噪）和具體情況的復(fù)雜性，這些噪聲和復(fù)雜性會(huì)讓我們走偏走歧路，把我們帶到坑里去。
碰到像12356894*12356897這種高不成低不就的具體問(wèn)題，如何處理？它沒(méi)有n*(n+3)抽象(高),但又沒(méi)有1*4的簡(jiǎn)單性(低)，它就是前面提到的具體情況的復(fù)雜性。在日常生活中我們要看清楚事物通常有兩種方式或兩種方式結(jié)合，一種是近視，看近處，降低身段，俯身觀察，看清楚蘊(yùn)藏的細(xì)節(jié)，看周圍目力所及的，熟悉的，另一種是遠(yuǎn)視，看清楚全局和整體脈絡(luò)，看遠(yuǎn)處，要登高望遠(yuǎn)。
我的經(jīng)驗(yàn)，一種解題策略是向上抽象，也就是一般化策略，抽象中體現(xiàn)了事物的本質(zhì)和核心，能深刻描述刻畫事物的規(guī)律，得到了深刻的抽象本質(zhì)，看事物反而更簡(jiǎn)單了，否定之否定。利用抽象中的簡(jiǎn)單性，類似看遠(yuǎn)處，登高望遠(yuǎn)：欲窮千里目，更上一層樓，提升思想高度，把具體問(wèn)題上升到抽象，提高層次，不要陷在前面所說(shuō)的具體問(wèn)題特殊問(wèn)題的噪聲和干擾中，從這種低層次的具體中逃逸出來(lái)跳出來(lái)。對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行抽象，建模建立抽象模型，規(guī)避過(guò)濾掉具體問(wèn)題下的噪聲，研究這個(gè)抽象模型，反而容易看清問(wèn)題本質(zhì)，容易得出其解決方案。在西游記中，孫悟空用眼睛看出妖怪原形來(lái)歷或用照妖鏡或把妖怪打回原形，知道原形來(lái)歷后就不難了，不管它怎么變，知根知底，就容易想到辦法收服它了，通過(guò)向上抽象建立抽象模型，從具體回到抽象模型上，返本歸元，與西游記中知曉妖怪原形有些類似。這種方法就是具體->抽象->具體，否定之否定。
第二種是特殊化策略，直接向下歸納，簡(jiǎn)化問(wèn)題，利用具體中的簡(jiǎn)單性，類似于俯身看近處，看周圍熟悉的，歸納是從特殊性具體性到一般性的過(guò)程。歸納：對(duì)具體但感覺(jué)復(fù)雜或不好處理的一般性問(wèn)題/抽象問(wèn)題，我們可以使用一個(gè)或多個(gè)更簡(jiǎn)單的類似的具體問(wèn)題或特殊問(wèn)題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和研究這些簡(jiǎn)單問(wèn)題或特殊問(wèn)題，從這些簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)樣本中得到啟發(fā)、感性經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，總結(jié)出推測(cè)出一些猜想。歸納是以退為進(jìn)，退是為了更快的前進(jìn)，類似體育課跳遠(yuǎn)時(shí)，我們先后退再起跑。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，先退，退到足夠簡(jiǎn)單足夠具體的問(wèn)題上，研究清楚了簡(jiǎn)單問(wèn)題，得到感性經(jīng)驗(yàn)和啟發(fā)或理性認(rèn)識(shí)，再進(jìn)，再把這些(經(jīng)驗(yàn)、啟發(fā)、規(guī)律)應(yīng)用到原來(lái)的問(wèn)題中或一般性問(wèn)題中。例如有道題是蝸牛爬井，井深100米，它白天爬4米，晚上又掉下來(lái)2米，問(wèn)多久能爬上來(lái)。100米可能太復(fù)雜，如果我們繼續(xù)簡(jiǎn)化，例如把100米減少到4米及以下，也可理解為把題目變一變把已知條件變一變，就明白它白天一下子就直接爬上來(lái)了，不會(huì)再掉下來(lái)，這就是在簡(jiǎn)單題目中獲得的啟發(fā)和經(jīng)驗(yàn)，這些啟發(fā)就是洞見(jiàn)。我們繼續(xù)用5米、6米、7米、8米繼續(xù)試一下。綜合這些簡(jiǎn)單情況，啟發(fā)我們?cè)}中蝸牛白天爬上來(lái)的最后一段要盡可能接近4米，所以最后4米是一下子爬上來(lái)，開(kāi)始的96米是每天爬兩米(4米-2米=2米)，當(dāng)然可把題目中的100米換成自然數(shù)n米，這樣更能說(shuō)明歸納的作用，我們可歸納得出當(dāng)n為大于2的整數(shù)情況下，如果n為奇數(shù)，白天爬的最后一段為3米，為偶數(shù)，最后一段為4米；如果n米情況下的最后一段的長(zhǎng)度用f(n)表示，在n>4時(shí)存在f(n)=f(n-2)的遞歸關(guān)系。f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=4,f(5)=f(3)=3,f(6)=f(4)=4。
歸納就是總結(jié)提煉多種具體問(wèn)題中的共性，排除過(guò)濾掉單個(gè)特殊問(wèn)題中的個(gè)性因素導(dǎo)致的噪聲或干擾。歸納簡(jiǎn)化時(shí)的注意事項(xiàng)，如前所述，抽象時(shí)要求去偽存真，要保證抽象之后不失真，與此類似，簡(jiǎn)化時(shí)也要注意簡(jiǎn)化后的問(wèn)題和原問(wèn)題要有一定的質(zhì)的相似性，不要有太多失真，失真就變味了，導(dǎo)致從簡(jiǎn)化問(wèn)題中得出的規(guī)律/啟發(fā)/認(rèn)識(shí)和解題突破口/解題方法不一定能適用于原問(wèn)題。
第三種是綜合(組合)上面的兩種解題策略，向下歸納簡(jiǎn)化結(jié)合向上抽象，先向下簡(jiǎn)化，從簡(jiǎn)化問(wèn)題中得到啟發(fā)、經(jīng)驗(yàn)之后，再進(jìn)行向上抽象，得到抽象問(wèn)題的解決方案。之后把解決方案應(yīng)用到這個(gè)復(fù)雜的具體中，解決這個(gè)具體問(wèn)題。
這個(gè)1*4的例子可能不貼切，下面的解題思維中有更貼切的例子。
如果碰到抽象的問(wèn)題或復(fù)雜的問(wèn)題，難以找到解題思路，此時(shí)抽象不行就具體，以退為進(jìn)，先簡(jiǎn)化，先用具體的簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)練手找感覺(jué)來(lái)解決，進(jìn)行歸納，總結(jié)共性，從中得到經(jīng)驗(yàn)竅門、啟發(fā)、規(guī)律，得到感性認(rèn)識(shí)，再回到抽象上，也就是抽象->具體->抽象，否定之否定。
數(shù)學(xué)思想方法也可認(rèn)為是高層次的套路和思維模式。對(duì)套路和模式，運(yùn)用時(shí)思維不要僵化不要局限不要有思維定勢(shì)。運(yùn)用之妙，存乎一心，沒(méi)有一種萬(wàn)能的數(shù)學(xué)思想方法。例如對(duì)抽象或復(fù)雜的問(wèn)題，不一定是用歸納這種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行簡(jiǎn)化，也可能是把抽象問(wèn)題或復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成另一種熟悉的或已知的問(wèn)題，或用其他數(shù)學(xué)思想方法。我們一般是根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，綜合&靈活運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，例如使用轉(zhuǎn)化、歸納、數(shù)形結(jié)合/形象思維等等數(shù)學(xué)思想方法中的一種或多種，并結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和知識(shí)來(lái)探索解題方法，來(lái)調(diào)整思路。
?感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)，前面已經(jīng)提到感性認(rèn)識(shí)，我們一般是通過(guò)簡(jiǎn)單具體的問(wèn)題，通過(guò)具體問(wèn)題的實(shí)踐來(lái)得到感性認(rèn)識(shí)，找感覺(jué)找體驗(yàn)，得到經(jīng)驗(yàn)、啟發(fā)、規(guī)律。這些感性認(rèn)識(shí)再結(jié)合自己已有的知識(shí)，聯(lián)想已有的知識(shí)，升華到理性認(rèn)識(shí)。如果沒(méi)有理性認(rèn)識(shí)，那就先去找感性認(rèn)識(shí)，再回到理性認(rèn)識(shí)，否定之否定。如果一直停留在感性認(rèn)識(shí)，那境界和層次就不高。如果一直停留在理性認(rèn)識(shí)，那就不容易獲得具體的經(jīng)驗(yàn)。這個(gè)也是理論和實(shí)踐的關(guān)系。
一般(普通)和特殊，舉個(gè)例子，假設(shè)一個(gè)公式記不住，只有模糊的印象，此時(shí)用一個(gè)特殊情況，把公式明晰化。例如小孩記不住立體幾何中多面體的歐拉公式，但至少知道這個(gè)公式中有加減運(yùn)算和2這個(gè)數(shù)，這個(gè)歐拉公式是一般的，普適的。此時(shí)只要用一個(gè)特殊情況：4棱錐來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證和排除，這個(gè)特殊的也是具體的，就能把公式重新完整還原出來(lái)。
再比如，記不住三角函數(shù)sina(a+b)、cos(a+b）公式，只有模糊印象，也是類似方法,用兩個(gè)特殊的角度：30度和60度代進(jìn)去就知道正確的公式了。一些數(shù)學(xué)題，我們用一些特殊值具體值代進(jìn)去就很快知道答案或獲得啟發(fā)。
抽象-具體、一般-特殊、理性認(rèn)識(shí)-感性認(rèn)識(shí)、復(fù)雜-簡(jiǎn)單之間的關(guān)系如下圖：抽象、一般、理性認(rèn)識(shí)在同一極，也就是說(shuō)，抽象的通常是一般的，理性認(rèn)識(shí)多一些的，它們通常是復(fù)雜的(也不絕對(duì)是這樣,先前說(shuō)過(guò)抽象的簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單性);具體、特殊、感性認(rèn)識(shí)在同一極，具體的通常是特殊的，感性認(rèn)識(shí)多些的，通常是簡(jiǎn)單的（也不絕對(duì)就簡(jiǎn)單）。
矛盾觀中的一分為二并不總是機(jī)械地分為二個(gè)方面兩個(gè)部分，有的要一分為三，或一分為n。另外在制定解題策略時(shí)，我們并不局限于只是用矛盾觀來(lái)做指導(dǎo)，而是具體問(wèn)題具體分析，根據(jù)實(shí)際情況來(lái)靈活制定解題策略。
?主要(關(guān)鍵、重點(diǎn))矛盾和次要矛盾，矛盾的主要方面和次要方面。問(wèn)題中的變量/元素對(duì)象/參數(shù)分主次，這個(gè)也和分類思想、比較思想有聯(lián)系。例如在問(wèn)題中有份量的、數(shù)值大的或小的、權(quán)重大的、特殊的、起決定作用主導(dǎo)作用的變量或參數(shù)就是關(guān)鍵元素或主要矛盾。敏銳地觀察、比較、歸類，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的關(guān)鍵元素或主要矛盾，意識(shí)到/識(shí)別出問(wèn)題的關(guān)鍵元素，提綱挈領(lǐng)，抓住關(guān)鍵，利用好這些關(guān)鍵。從關(guān)鍵元素入手就幾乎找到了問(wèn)題的突破口，攻破了難關(guān)。突破口就像是在混沌的鐵板一塊的問(wèn)題中打開(kāi)了一道縫隙，可隱約窺見(jiàn)解決問(wèn)題的曙光，從這縫隙深入進(jìn)去，用思想方法激發(fā)的思維之光照進(jìn)去，逐漸擴(kuò)大思路，就很可能會(huì)探索出解題方法。有了突破口再結(jié)合次要因素和知識(shí)點(diǎn)就能解決問(wèn)題。擒賊先擒王，打七寸，這些抓主要矛盾的策略在日常生活中是經(jīng)常用到的，在數(shù)學(xué)中也是這樣，所以說(shuō)道在日用，在日常生活中。分類思想，除了按情況分類討論，有時(shí)把問(wèn)題中的多個(gè)元素對(duì)象/參數(shù)/變量按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類或按特征進(jìn)行分類，具有類似特征的元素歸在一起，類似合并同類項(xiàng)，例如在等式中把相同特征的元素移到等式左邊，具有另一特征的元素移到等式右邊，這個(gè)是在實(shí)踐中悟出的一個(gè)小技巧。抓主要矛盾來(lái)解決問(wèn)題來(lái)找問(wèn)題突破口，是一個(gè)很有用的思想策略，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中深有體會(huì)，有空再補(bǔ)充實(shí)際的運(yùn)用。
直接和間接，有的問(wèn)題，直接不行就間接，迂回解決，在數(shù)學(xué)中這也是一種解題策略。
所以正確數(shù)學(xué)思想方法驅(qū)動(dòng)/指導(dǎo)下的思維要靈活地結(jié)合運(yùn)用辯證法來(lái)指導(dǎo)我們的解題策略：要靈活地相互變化或相互轉(zhuǎn)化，找關(guān)系并利用關(guān)系來(lái)進(jìn)行變化，或識(shí)別出關(guān)鍵元素或主要矛盾，從關(guān)鍵元素或主要矛盾入手來(lái)探索解題突破口。把題目變一變(有時(shí)把原來(lái)的題目變一變，例如把條件變一下，產(chǎn)生一個(gè)新的題目/新問(wèn)題。研究這個(gè)新問(wèn)題得到啟發(fā)，通過(guò)原問(wèn)題和新問(wèn)題之間的聯(lián)系，把啟發(fā)運(yùn)用到原問(wèn)題，或把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成新問(wèn)題)，把解題思路變一變，甚至把使用的數(shù)學(xué)思想方法變一變或增加一些。抽象不行就具體，具體不行就抽象。除了運(yùn)用抽象-具體、一般-特殊、直接-間接、主要-次要來(lái)指導(dǎo)和產(chǎn)生解題策略之外，我們也要注意靈活運(yùn)用好體現(xiàn)矛盾對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系的其它的一些具體實(shí)例，例如現(xiàn)象-本質(zhì)、原因-結(jié)果，內(nèi)容-形式、數(shù)-形、本-末、運(yùn)動(dòng)(動(dòng)態(tài))-靜止(靜態(tài))、簡(jiǎn)單-復(fù)雜、定性-定量、分析-綜合、歸納-演繹、質(zhì)變-量變、結(jié)構(gòu)-功能、感性認(rèn)識(shí)-理性認(rèn)識(shí)、揚(yáng)-棄（排除）、體-用、成-敗，真-假、得-失、優(yōu)-劣、正-反等，不限于這些實(shí)例，它們都是可以用來(lái)指導(dǎo)我們制定解題策略的候選項(xiàng)，也是可以用來(lái)幫助我們獲得解題操作解題方法的源泉，我們總結(jié)的較全面的辯證關(guān)系詞匯表在第一篇文章中有介紹。如何運(yùn)用這些對(duì)立統(tǒng)一的實(shí)例，運(yùn)用哪些？要根據(jù)具體的數(shù)學(xué)題來(lái)定，也就是具體問(wèn)題具體分析，例如下面的數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-3第7題，我們通過(guò)觀察圖形和聯(lián)想，從多面體的封閉想到了開(kāi)放，雖然是相反聯(lián)想，也可理解成是運(yùn)用了封閉-開(kāi)放的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系指引下做出的解題操作，就是開(kāi)放，拆開(kāi)多面體。
沒(méi)有真懂辯證法，沒(méi)有在數(shù)學(xué)解題和學(xué)習(xí)中體會(huì)到辯證法的威力，不可能在數(shù)學(xué)學(xué)科悟道，活學(xué)活用，在數(shù)學(xué)中要靈活運(yùn)用辯證法來(lái)指導(dǎo)我們制定解題策略，提高我們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深入理解。矛盾論和矛盾分析法在很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題中都有它們的身影，上面講述的抽象和具體、特殊和一般、直接和間接等都是矛盾論和矛盾分析法的體現(xiàn)，在第9題中還另外用求函數(shù)最值為例來(lái)介紹了矛盾分析法。
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