接著前一篇:數學思想方法揭秘-3-2(原創)繼續講解。回前言。
作者：王國波
聲明：下面這些題的解題過程是親自做的，沒有看標準答案或解題方法，很多沒有答案，所以此處不保證解題的正確性和簡單性。
? 本篇雖然利用小學題來講數學思想方法，但對有興趣培養數學思維能力的初高中學生也不能跳過，一定要看。
? 也別輕視小學題，下面的前幾道小學數學題，如果先前沒碰到過，很多受過高等教育的人還真難以自己做出來，名牌大學博士教授也是束手無策，因為我們的數學教育導致大多數人掌握了一堆數學知識，但并沒掌握好數學思想方法，沒悟道數學思維，即便高學歷也是這樣，雖然他們掌握的知識多，但數學思想方法思維技能和數學知識是兩碼事。
小學題
第1題
? ? 如下圖，長方體長寬高之比為4:3:2，切長方體的平面六邊形有很多個。六邊形頂點A1在邊AG上，A2在邊AD上，這些六邊形中周長最小的為36，其他如圖。求長方體表面積。
思維過程
? 當時碰到這題感覺棘手，無從下手，這題型小時候似乎沒見過。首先要觀察題目，理解題意。周長是六條邊之和，這六條邊是直角三角形的斜邊，勾股定理，周長就是六個根號式（兩個直角邊平方和再開方）相加，其最小值為36，根據這些條件列方程，顯然很麻煩，很快意識到這種方法不可行。
? 在解題時，如果經過仔細觀察，努力探索一番之后，仍感覺自己的方法很繁瑣或不靠譜，應該要意識到方法可能有問題，或有更簡便更巧妙的方法存在，接下來通常應該進行反思，不要陷在里面出不來，要調整解題思路，要打破思維定勢，這是一個解題經驗。
? ? 除非是偏題怪題，小初高的大多數數學壓軸題或難題通常是考察學生綜合運用知識的能力，通常要能體現數學之美，體現思維之美，體現大道至簡，因為命題人的良苦用心就是用這樣的題來刻意鍛煉和考察學生的數學思維能力，綜合運用、靈活運用知識的能力，在考察中讓學生體驗到思考的藝術，體驗領悟到思維之美，思想方法和解題技巧之美。先前說過，我們在現實中卻閹割了，忽略忽視了這種體驗思維之美、思想精妙的過程，舍本逐末，也是對命題人的不尊重，怎能不扼腕嘆息。如果覺得解題繁瑣不靠譜，那就很可能說明解題思路有問題，思想方法沒用好，不對癥不對路。
? 思路受阻，繼續思考，換一種思路。周長最小，聯想起多年前讀書見過的兩道題，第一道題問了家里小孩，他說叫將軍飲馬。第二道題暫且叫壁虎爬墻：壁虎要從一面墻上的A點爬到另一面墻上的B點，求最短路線。
將軍飲馬是運用對稱將題目轉化，將不熟悉或不好處理的問題(受約束的兩點之間距離最短問題，為何叫受約束，因為要求中間必須經過河流，這是個必須要滿足的限制條件，它相比普通的兩點之間距離最短問題是強條件的、有約束的)轉化成熟悉或好處理的問題(普通的兩點之間距離最短問題，相對來說是無約束的，弱條件的)，兩點之間最短的線是直線。通過抽象概括，給這個將軍飲馬問題在數學上取個名字，稱為受約束的兩點最短距離問題，取名字就是下定義，定義一個概念。數學上取名字有講究的，簡練又要能概括反應問題本質，定義好的名字就能幫助我們思考，名字中承載了信息和屬性，例如我們能從這個名字中的‘’受約束‘’聯想到不受約束，進而聯想到普通的兩點之間最短距離問題。這個也能體會到抽象概括出概念的好處。
? 壁虎爬墻是把一面墻翻轉到和另一面墻在同一個平面上,將三維問題轉化成二維平面問題，最后也是利用兩點之間直線最短來解決問題。
? 先前也看到小孩學校作業有將長方體展開成平面的題。所以綜合這些，聯想到將長方體展開成二維平面后，應該也會類似利用兩點之間直線最短來解決問題。這里的展開就類似將軍飲馬中的對稱和壁虎爬墻中的翻轉，可以做如此類比，它們都是實現轉化的具體手段，可見這題和將軍飲馬、壁虎爬墻都運用了轉化這種思想方法，但實現轉化的底層具體手段不同，將軍飲馬的具體實現手段是對稱，這題是展開，將三維問題轉化成二維。我們在講解將軍飲馬這個題時，應告訴學生使用對稱的目的是為了轉化問題，給他們講解‘’轉化(化歸)‘’這種高層思想方法的意義內涵、外延等，讓他們知其然也知其所以然，這樣在碰到當前這個問題時就可能會想到用轉化，否則很可能會想到使用對稱，這題用對稱是不靠譜的。
? 將軍飲馬和這題的聯想、類比，以及它們之間的對應關系如下圖。
可見層次越高，越穩定，層次越低，變數越大。
? 將長方體圍繞矩形CDHE展開，其他5個面最終和CDHE在同一平面上。把長方體當成一個紙盒子，大腦中想象沿棱CB、BA、AG、GH、HE、FE剪開，之后進行翻轉展開，例如把BCEF繞棱CE向外側向下翻轉到和CDHE共面，接下來把ABFG繞棱BF繼續翻轉到和CDHE共面。先在紙上畫出矩形CDHE，眼睛要盯著題目原圖，在腦中想象展開過程，同時用筆將大腦中的展開結果一步步畫在紙上，展開時要注意長方體中的一些拓撲關系在二維展開圖中是不變的，在展開的平面圖中把六邊形的六個頂點A1~A6畫在對應的邊上，連成6條線段。
? ? 三維立體圖形的展開，如果單純靠空間想象能力，展開過程比較困難且容易出錯，也比較緩慢。如果眼睛盯著原圖長方體看，結合拓撲的不變性，就可以較快畫出正確的展開圖。
? 最終的展開圖如下圖，圖中A1到A1'兩點之間的6條線段(A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A6、A6A1')加起來就是六邊形的周長。在不同的位置切，產生的A1A1'線段是平行的，任意兩條A1A1'都構成平行四邊形，也就是所有的A1A1'長度相等(圖中只有一條A1A1'線段，可以自己再畫一條驗證下)。因此這6個點在同一條直線上時，就是周長最短的情況，觀察圖形，可發現A1A1'N是等腰直角三角形，A1N=A1'N ，因為A1和A1'在長方體中本來就是同一個點，只是展開后，A1變成了兩個點，因為重名在解題時不便于描述，將其中一個點改名為A1',因此它們到N的線段長度相等是有根據的，另外展開圖中A1A=A1'A=NM也好理解，也是因為A1和A1'是長方體中的同一個點，由A1A=A1'A=NM也能推出A1N=A1'N。
? 前面說過辯證法中的普遍聯系觀和數學中研究數量關系。上圖中的A1N=A1'N表達了A1N和A1'N之間相等的數量關系；A1N=3a+4a+2a=9a也是表達數量關系；題中使用的勾股定理，描述了直角邊和斜邊之間的關系。關系在數學中幾乎是無處不在。
? ? 這題中我們并不需要把a是多少和長寬高是多少算出來，題目的目標是求表面積，沒有說要求a或計算長寬高，可能有的題在計算過程中要計算出長寬高才能得出表面積，但這題并不需要這樣，最多只要算出a的平方即可得出我們的答案，沒必要浪費時間算出a的值。我們要始終關注真正的目標是什么，這樣才能少走彎路，這個也是在解題中要注意的地方。設而不求，設了未知數但并不把它求出來，因為沒必要求出來，這個也是一個解題技巧。
? 山重水復疑無路，柳暗花明又一村。運用正確的數學思想方法指導思維，就靠這點思想火花，就能扭轉形勢，指引我們探索出解題方法，找到解題突破口。
總結反思：使用到聯想、類比思想方法，思路受阻時要及時反思靈活調整變化思路，換一換思路，不要一條死路走到底。
? ? 聯想，從題目中的周長最小，聯想到將軍飲馬和壁虎爬墻問題，這兩題中都有長度最小，這是基于相同點相似點的聯想或者說類比。進而再類比將軍飲馬和壁虎爬墻中的轉化思想，三維立體向二維平面轉化(復雜轉簡單，通常是三維復雜，二維簡單，有時不是這樣，反而二維復雜，三維簡單，思考下有哪些是這樣。所以要講辯證，要靈活，具體問題具體分析，要看情況看條件，不能機械僵化地認為三維一定比二維復雜)，具體如何在這題中進行轉化，要聯想到學過的見過的長方體展開來實現三維到二維的轉化。數學思想方法的運用不神秘，例如聯想類比，有時就是根據題中的一些蛛絲馬跡來進行聯想類比，基于不起眼的一句話、一些單詞詞語、一些相同點或共性、一些不同點、一些概念定義(例如三角形)、一些性質、一些屬性、特性、特征特點、關系、一些規律、或要解決的題想到類似的題、基于題中的一些數學對象(元素)的特征性質。
? ? 這題通過聯想類比和轉化，我們找到了解題突破口和解題思路：合理猜想，合理猜測，合理推理，將長方體展開，可能會用到兩點之間直線最短來解決問題。試著展開后，進一步發現確實如此，驗證了解題突破口和思路是對的。我當時做完這題，自己都為我自己的思想點贊了陶醉了，數學思想方法真神真有用！真的！也為這個命題人點贊，太高了，咋想到出這樣的題，出這樣的題比做題難，有時提問題比解決問題難，確實！于我心有戚戚焉！
? ? 從該題中可以看到，思想決定了行動，我們的思維在數學思想方法(此題中是聯想、類比)的指導下，較快地找到了，探索到了解題突破口和解題思路：把長方體展開，這就是解題操作，這就是解題行動。展開在這題中是最難以想到的關鍵的解題操作，沒有數學思想方法做指導，一般人很難想到，但如果掌握好了數學思想方法，這個展開操作很可能是可以推理出來可以較快猜測出來的，不是什么神來之筆，不是少數人才能掌握的藝術，而是多數智力正常的人可以掌握的技術，或者說我們通過運用數學思想方法和解題策略，把有挑戰性、創造性的、靠靈感的含有藝術成份的事情，變成了較形式化、公式化的技術成份的事情，變成了有套路、有模式的事情，從而減低了對人的要求，普羅大眾都可以掌握了，不過數學思維的藝術性也始終是存在的，只是多少而已。
? 當然經驗和知識點也很重要，巧婦難為無米之炊，知識點是食材，必不可少。我們先前做過將軍飲馬、壁虎爬墻這些題，學過兩點之間直線最短、長方體的展開這些知識點，如果沒有這些經驗和知識點，光靠數學思想方法來空想也很難做出這道題。但這些經驗和知識點都是靠聯想、類比這些數學思想來把它們從大腦中喚醒，先前它們是在大腦的知識庫中沉睡的，沒有聯想、類比作為主人來召喚指揮它們驅動&運用它們&協調組織它們，它們是不會主動&有序發揮作用干活的。此外，對勾股定理這個知識點，在展開之前，對六邊形的六條邊使用勾股定理是沒效果的，是錯誤的用法錯誤的解題操作，展開后在三角形A1A1'N上運用勾股定理才是正確的有效果的，前面也說過知識點是被動的死的沒生命力的，要靠思想方法指導下的高效思維活動來盤活它們，來指揮它們做正確的事情。
? 其他反思：這題能體會到放與縮、強條件(加強)和弱條件(減弱)、一般和特殊(兩點之間最短距離問題是一般，受約束的是特殊)的辯證關系和相互轉化思想。
這題屬于最值問題，對學有余力的學生，可以給他們講講光的反射和折射走的是時間最短的路線而不是路程最短，可以拿將軍飲馬問題和光的反射進行類比，”胡不歸”問題可以和光的折射進行類比，進一步可以講解物理學中的最小作用量原理。
命題人思維
? 基于同理心，站在命題人的角度揣摩命題人的心理、他們的意圖目的、所思所想、玩的什么手腕、想考什么、什么出題背景。
? 解題和出題也是一對矛盾，它們對立又統一。這里探討下命題人如何出數學題，有些膚淺的初步體會。和數學解題一樣，命題人要出題，也要進行變化，也要運用數學思想方法、解題策略和辯證法來指導進行變化。具體怎么變的方法應該有多種：一些題是綜合多個知識點中的數學概念、公式、定理來產生、一些題來自于現實中具體問題的抽象提煉和變形、一些基于舊題加入一些變化，增加復雜度來繞彎子，增加難度。如何變化，可能會運用矛盾辯證雙方的相互轉化、數學思想方法(聯想、類比、轉化、逆向思維、數形結合等)、關系思想，各種有聯系的雙方來進行變化。
? 將軍飲馬問題和壁虎爬墻的命題人，我猜測是運用了矛盾辯證中的相互聯系相互轉化，具體到將軍飲馬就是運用一般和特殊的相互轉化，把弱條件問題(約束少)轉成強條件(約束多)問題，把普通的一般的兩點之間最短距離問題變成這個特殊的題(將軍飲馬)。而我們做將軍飲馬問題時，要反其道而行來返本歸元來溯源，要反過來想辦法找到解題突破口，逆向思維，想具體辦法來從特殊轉化到一般，強條件轉化到弱條件，或從一般中獲取經驗啟發再移植運用到或對應到特殊問題中。
? 利用數形結合思想，如果命題人是運用‘’形轉成數‘’來出題，解題人就要數轉成形來進行解題。利用抽象到具體來出題或具體到抽象也類似。
? 有些題，命題人將數學對象之間的關系和特點、規律通過一定的手法來隱藏或弱化或在物理或邏輯距離上分離，讓題目在表象上復雜化或造成干擾誤導讓你上當。此時我們在解題時就要反過來，就是要善于觀察出本質，觀察出蛛絲馬跡，要見微知著順藤摸瓜，要綜合運用數學思想方法來讓隱藏的題目規律、關系、特點由隱到顯，讓它們凸顯現形。
? 將軍飲馬可能來自現實生活，這里只是用它來舉例子說明如何出題。壁虎爬墻的命題人可能是基于將軍飲馬(此時它就是舊題原題)通過聯想類比進行變化再結合現實想出來改編出來的。
? ? 利用等式和公式的變形，例如1/a - 1/b = (b-a)/ab來出題，估計考小學生的分數裂項題就是這樣來的：1/2*3 + 1/3*4+1/4*5+...+1/99*100，要分數裂項。看到這題，肯定不是蠻干，可能有簡便方法，先整體觀察這個式子，發現它的特點規律，再看1/2*3或把這些抽象成1/n*(n+1)，分母是n*(n+1)，要識別出這是分數(分母為相鄰的自然數相乘)。如果眼拙不敏銳識別不出，一個訣竅是嘗試給這個1/2*3或1/n*(n+1)取個數學意義上的名字，也就是抽象概括，就知道它們是分數了，當然這個1/n*(n+1)還談不上抽象概括，我們只要根據它的特征，聯想到意識到它是分數就是識別出它來了。基于分數這個概念，在腦子中搜索學過的一些關于分數的知識點，就可能聯想到學過的分數相加減的通分規則(通過聯想來做橋梁，來穿針引線，想到分數相加減的規則或相加減的公式這個知識點。聯想的對象有很多，不只是聯想到知識點，可以聯想到問題，聯想到其它，例如由甲概念聯想到乙概念)，反過來想到這些1/n*(n+1)是怎么來的怎么產生的，猜測它的初步來源可能是這種形式：一個分母為n的數減去一個分母為n+1的數，分子暫時不知道不要緊，先知道大致大體的形式模式，后面一步步來確定就行。當然可排除一個分母為n的數加一個分母n+1的形式，因為這樣解決不了問題，批判性地排除否定這種形式。廣義來說就是基于A與B的可相互轉化的關系思想相互聯系的思想來出題，出題時基于A到B，題目形式是B，B比A難，就像爬坡比下坡費力，正和反的難度不一樣不對稱；解題時要由B想到A。要有聯想類比等能力，逆向思維的能力，要理解數學思想方法和關系思想、辯證法包括矛盾觀中的一些具體的實例(抽象與具體、一般與特殊)在出題中的靈活運用。
? 碰到1/n*(n+1)*(n+2)這樣類似的一串式子相加，如果做過1/n*(n+1)相加的題，就要想法把前者(不熟悉/復雜/沒經驗)轉化成后者(熟悉/簡單/有經驗)來解題，后面再結合分類/分組思想方法。再次強調‘’轉化‘’是個極其重要的數學思想方法，當然其他數學思想方法也重要，例如抽象、聯想、類比、數形結合等。
? 解鈴還須系鈴人，有時解題時要和命題人有同理心，這也是一個解題經驗。基于題目特點和性質，按照上面介紹的出題方法來揣摩、猜測、推測、設想命題人是怎么出題的，他可能運用了哪些數學思想方法和解題策略，原題可能是啥，他想考的是啥。說不定就和他們有共鳴有心靈感應了，就是他肚子中的蟲蟲一個鼻孔出氣了，就看穿他們的出題伎倆和花招了，此時你就是系鈴人，當然就會解鈴了。要有慧眼善于觀察，善于總結分析，要用數學思想方法、解題策略、辯證法來武裝頭腦來和命題人斗智斗勇，也可以自己出題來找感覺玩一下。
? 第2題
思維過程
? 原題5行5色,好像數字很小，但要得出m似乎不容易,一下子感覺沒看穿問題，說明5這個數太大，復雜。這題也是具體中的復雜性,高不成低不就的。向上抽象似乎也比較難,沒有理性認識,也沒獲得感性認識。
? 那就向下歸納簡化，用幾個具體簡單的情況來獲得感性認識，得到經驗啟發。
? 歸納簡化時注意別失真，所以用1行1色，2行2色，3行3色來作為簡單情況。
? 在草稿紙上畫一畫這幾種簡單情況的滿足約束的涂色方案，仔細觀察圖形特征，仔細研究對應的m值的數值特征，能發現和歸納總結出啥規律或結論? 這里留給有興趣的去歸納。
我在草稿紙上畫了幾種簡單的，也歸納出了答案。列是對稱的，也就是平等的，調整列的位置不影響問題答案。所以我把草稿紙中涂色方案的列做了有序化的調整：調換列的位置，把第一行中相同顏色的列放在一起，也就是每列按第一行顏色分類/分組放在一起，照這樣的方式，再按第二行顏色繼續進行調整，如有第三列，類似。看著草稿紙上的調整過后的涂色方案，有了些感覺和感性認識，哦，恍然大悟豁然開朗，原來出題人玩的是這伎倆，突然明白就是計數中的乘法原理的展開圖，也就是有了從感性認識到理性認識質的飛躍，量變到質變的層次上的飛躍。計數乘法原理現在的小學數學培訓班是學過的。
根據歸納/簡化得到這題其實就是計數中的乘法原理，把這個應用到原題上，5行就是5步，每一步都可以涂5種顏色，也就是每一步有5種選擇，所以是5個(對應5步)5(對應每步5種選擇)相乘為3125，所以m最大為3125。如果把這題進行一般化推廣，n行n色，m就是n的n次方。
總結：歸納簡化、對稱、分類、秩序(排序、有序化)、聯想。碰到難題，不要坐在那不動，要用聯想類比等數學思想方法驅動/指導自己的思維，思維再驅動自己的行為：動手和動腦筋。要在草稿紙上試著畫一畫做一做，看著/觀察草稿紙上的解題過程和答案，結合聯想類比等這些數學思想方法，可能會獲得感性認識和啟發，也可能會獲得理性認識，看穿看透問題本質。
第3題
? 計算題，提示下，可以用蠻力，但最佳方法肯定不是用蠻力硬算，肯定有簡便巧妙的方法.
思維過程
? 顯然這題如果直接算，感覺計算量大，用蠻力硬算就上當了，費時費力。大道至簡，要相信思想之美方法之美，應該有簡便方法巧妙方法。
? 這題雖然全是具體數字，但題目中的數字大(2016、2017、2019)，加上有分數，直接硬算顯然不是出題人的本意。對這種具體卻不簡單也就是具體但比較復雜的題，前面提到過通常使用兩種處理手法，第一種是在保證問題質的不變性的前提下，將問題向下歸納簡化(復雜變簡單，簡單變更簡單，具體變更具體)，用歸納法簡化，試算幾個具體但更簡單的題，利用具體情況的簡單性，如下圖。從中找規律找經驗，再回到原題上，利用前面找到的經驗和規律來解決原題。這題如下圖，通過歸納，可猜想推測出原題答案是1。這種歸納法不嚴謹，沒有考慮所有情況，歸納出的結論或啟發、經驗、規律可能是錯誤的，或不適用于原題。數學歸納法和演繹推理才是嚴謹的，但這題是填空題，所以可以直接寫出答案1。這種方法就是運用歸納法，歸納法其實是利用了具體問題的簡單性，從特殊性到一般性的推理。
? 第二種是直接向上抽象，抽象就是抽取問題的本質，去偽存真，去粗取精，去掉一些和問題無關的因素和關系不大的次要因素，也就是過濾屏蔽掉’噪音’或降噪或過濾/規避了具體中的假象復雜性，這些噪音和偶發復雜性其實是干擾我們正確思維的東西，如果被它們吸引，它會誤導干擾我們的思維，把我們帶偏帶到坑里去，走上歧路，浪費我們的精力，這題中幾個具體數字(2016,2017,2019)的加減乘除運算就是假象復雜性和噪音。抽象就起到降噪的作用，簡化的作用和規避具體情況中的偶發復雜性的作用，讓我們直接針對問題本質去解決問題。通過抽象建立問題模型，圍繞抽象的問題本質模型去解決問題，得到解決方案或規律，再把這個解決方案或規律運用到原題上。這題的其中一種抽象形式(模型)/一般形式如下圖。
? 從上面的描述中可看出，歸納是一種簡化，抽象也是一種簡化。這題中應用抽象這種思想方法，主要是規避了具體問題中的偶發復雜性，利用了抽象情況中的簡單性的一面。
? 我們平時都是憑感性，習慣計算具體數字的加減乘除和各種運算，厭惡抽象。如果你有這種思維定勢，那對這道題，你很可能會按慣性去計算2017、2016、2019這些具體數字的加減乘除，計算這些工作量大啊，又沒有簡便運算，那就被噪聲或具體情況的復雜性誤導，帶到坑里去了，或者說這些具體的特殊的數字反而掩蓋/淹沒了這道題的本質，導致看不清問題的本質，容易走歧路。但如果進行抽象，進行一般化處理，此時就自然而然過濾掉了這些噪聲，避開了具體情況的復雜性，利用抽象情況的簡單性、簡潔性和普適性，這樣反而容易看清問題本質，也就是把問題從具體轉化為提煉為抽象之后，問題反而變簡單了。看下面的圖好好體會抽象對噪聲的自動過濾作用和規避具體情況的復雜性，抽象一出來，整個世界清靜了，噪聲何在？復雜性何在？不畏浮云遮望眼，靈活運用數學思想方法，就有慧眼，就能撥云見日，好好體會具體（這題中的2016,2017,2019）的復雜性和抽象的簡單簡潔性。
這個抽象問題/模型的答案/解決方案如上圖，是常量1，所以原題(n=2017)答案是1。
總結：這題是一題多解，分別運用了歸納法和抽象兩種數學思想方法，當然要觀察發現/總結規律發現特征，絕大多數數學題少不了觀察，觀察能力很重要。
? 第4題
100可拆分成多個正整數之和，有多種拆法，例如可拆為100個1相加或一個100或2+98或2+2+96或3+4+93等，每種拆法對應的乘積分別為1、100、2*98、2*2*96、3*4*93。求這些乘積中的最大值。
思維過程
100是先前說的高不成低不就的情況，兩種處理手法或綜合運用兩種手法。
第一種，向下簡化，試一下1、2、3、4、5、6、7、8等幾種簡單的情況，歸納出規律，再回到原題100上。這個留給有興趣的人試下。
第二種，向上抽象，就是一個正整數m，拆成一個或多個正整數之和，求這些正整數乘積中的最大值。繼續抽象，翻譯成/表示成/表達成數學語言，就是a1+a2+a3+…+an=m，n為正整數，可為1~m。a1~an為正整數，求a1*a2*…*an的最大值。
從第一種方法中的歸納簡化中可以知道，5、6、7這些數拆分后的乘積最大值是大于這些數的，例如5拆分為2和3，乘積為6，6大于5，根據這些經驗和啟發，類似地，a1~an也可能可以繼續拆分。如何來進行拆分？其實這種題的關鍵處理手法是局部調整思想。在碰到多變量問題或做實驗時涉及多個維度的影響因素時，一種策略是固定大多數變量或因素，只讓少數變量或因素進行變化來進行研究或實驗，這個就是局部調整。讓多個變量同時變化，攪和在一起不好評估分辨每個變量的影響效果，容易混淆其作用。日常生活中，我們排隊也是兩兩交換位置，經過多輪這樣的兩兩交換，一步步來重復進行，最后就按順序排好隊了。每次局部調整后,評估其效果都是正向的優化的(其實我們是事先得出正向優化效果的充分條件，按這條件來進行調整，所以調整后肯定是正向的),趨向最終目標的,向最終目標逼近的。我們在日常生活中，很多事情也不是一步就到位的，對復雜的事情或難以一次解決的事情也是分步來做，飯是一口一口吃，不積跬步無以至千里，再比如小孩子玩魔方，也是一步步變換調整最后才成功，這個也是階段思想的體現。
在滿足a1+a2+a3+…+an=m這個約束的情況下,我們固定a1~an中的n-1個變量,也就是讓其中的n-1個數的大小不變，只拿出1個變量來進行調整(拆分)。拿哪個?這問題中乘積最大值按乘法交換律,a1~an相互之間地位是平等的,沒有誰比其它特殊,將它們任意兩個互換對題目沒有影響，也就是它們是對稱的,這個是對稱思想(廣義)。廣義的對稱就是地位平等或作用相等，可替換可交換,例如小學的知識點加法變乘法,就是因為幾個加數相同,這些加數對結果來說其地位和作用(貢獻)是平等的，也就是它們對和是對稱的。狹義的對稱即軸對稱，中心對稱這些幾何對稱。既然是對稱的，那就拿a1來開刀研究，研究出來的結論也適用其余變量(a2~an)，因此a2~an不需要再去研究，可見運用對稱性極大地減少了工作量。
如何調整?就是把a1拆分下,拆分成兩個數相加，再評估其變化后的效果,也就是乘積是否變大。聯想到學過的兩個正數的和一定，當它們最接近時其乘積才最大,這個也很好證明,略去，另外我們也可歸納得出該結論。最接近,對正整數來說,它們最接近有可能是相等,有可能是相差1,要看和是偶數還是奇數。
當a1是偶數時,拆成兩個相等的數a1/2。這兩個數的乘積為a1平方/4,如果為正向效果(乘積變大),必須滿足a1平方/4 >= a1,也就是a1 >= 4才是正向效果 ,為4時相等。
當a1 是奇數時,拆成兩個相差為1的正整數：(a1-1)/2和(a1+1)/2.這兩個數的乘積為(a1平方-1)/4,如果為正向效果，必須滿足(a1平方-1)/4 >= a1,也就是a1 >=5 ,為5時拆分為正向效果。
為啥把a1拆分成兩個，而不是3個，4個或其他個？因為拆分成兩個最簡單，并且我們熟悉這種情況，也就是前面說的，我們知道兩個正數的和一定，當它們最接近時其乘積才最大。并且我們可以把拆分后的兩個數繼續拆(一個數拆成兩個數),經過類似這樣的重復多次拆分,最后就拆分成多個數了,這就是遞歸。遞歸在日常生活中也經常碰到,例如一個大西瓜，我們先把它切成幾大塊，對每個大塊，繼續切，最后切成大小合適的。如果我們知道一次性把a1拆分成幾個數并且知道每個數是多少，其乘積才是最大，那我們不就知道把m如何拆分了。但現在是不知道如何一次性拆分m，我們正在尋找這個最終的拆分方案，所以我們把a1拆分成兩個數，而不是多個。
? 綜合偶數和奇數的情況，我們把a1拆分出的兩個數分別按類似的手法進行拆分調整，只要他們大于等于5就繼續拆分。由此推理出只有拆分為小于等于4的數才是最優，4可拆分為2+2，且2*2=4。另外顯然拆分出的數中不能有1,因為(a-1)*1 < a, 所以得出這些數只能是2和3。
從上面的結論可得出存在2x+3y=m的等式關系，x、y分別為2和3的個數(x、y為非負整數)。我當時教小孩也只想到這一步了。滿足這樣約束關系的拆分方案有很多，要比較出最大的還是困難，可能需要進一步研究，但想不下去了。后來在高鐵上，沒想數學問題，但腦子中突然想到2+2+2=3+3，但2*2*2 < 3*3，這就是靈感，很多人都有靈感，它在不經意中來到，不可預期，我小時候解題時當時就會冒出些靈感。后來反思了下，應該還是用歸納法和比較法，令x=0,1,2,3,4等進行歸納和比較。這步是關鍵，后面的就好辦了。可得出2的個數不能超過2個，假設超過兩個就至少有3個，那就把2每3個拆成3+3，所以最終最多只有2個2，也就是x=0、1、2。x=0,代入2x+3y=m,也就是當m能被3整除時，全部拆成3；x=1,也就是m除以3余2時，拆成1個2，其余都是3；x=2,也就是余1時，拆成2個2，其余都是3。x和y為非負整數，m為正數，所以x和y不能同時為0，可得出2x+3y最小值是2，所以這個結論對m >= 2成立，m為1時，只能拆成1。把這個抽象問題的普適解決方案應用到具體的100中，可得出把100拆成2個2和32個3，所以其乘積最大值為4*3的32次方。
這題更容易理解的解法是從a=m開始調整，也就是從一個數開始拆分，這個其實是上面解法中n=1的情況。當a>3時把a拆分成兩個正整數(按前述的奇偶性來拆分a)，再把這兩個正整數按此規則(大于3就繼續拆分)繼續拆分，一直遞歸拆分下去，直到都不大于3，得出2x+3y=m。
局部調整蘊含分階段思想和遞歸思想，而階段思想和遞歸思想又體現過程思想和運動發展思想。
總結：歸納(簡化)、抽象、局部調整、邏輯推理。這題也可以體會下抽象的簡單性。
? 第5題
? n個正數之和為定值m，顯然滿足條件的n個正數(變量)有無限組。求n個正數乘積的最大值。
和第4題有點類似，第4題是正整數，這題是正數。是我把第4題泛化推廣到一般情況后的抽象題。適用于初中生，小學六年級學生也能聽懂解題方法。
思維過程
? 這個題其實是初中學的一個不等式，如下圖，但我們要用小學高年級也能聽得懂的方法來證明。
如果做過第4題，看到這個第5題，腦子應該要能聯想類比到第4題的解題方法，也是局部調整。再結合上分類法。
? ? 第1種情況，當n=1時，顯然乘積為m。
? ? 第2種情況，當n=2時，2個正數的乘積最大值很容易求得，當這兩個正數相等為m/2時乘積最大。現在的小學數學培訓班還要學生背過口訣，和不變(定值)，積最大。
? 第3種情況，當n>2時，a1+a2+…+an = m。此時我們固定n-2個數，那剩下的兩個數的和就是定值。回到n=2的情況，我們把這兩個數調整為相等時，這兩個數的積最大，也意味著n個數的乘積經過這樣的調整，也變大了。經過多輪這樣調整，可以預見，只有當這n個數相等時，這樣的n個數的乘積才是最大。
? 嚴謹的證明，a1~an的n個數是對稱的，所以我們規定a1到an的n個數按從小到大的順序排列，a1 <=a2 <=a3 <=…<=an,這里運用到了有序化思想，基于對稱性，只研究這種情況就夠了。如果a1不等于an，則固定a2~an-1這n-2個數，這樣只有a1和an是可變的，但它們倆的和不變，注意到‘它們倆的和不變’這句話，這個符合第二種情況，按第二種情況的結論，所以我們可以把它們倆調整為相等(和的二分之一)，此時它們倆的乘積變大，也意味此時n個數的乘積變大。調整之后重新進行排序，排序后很顯然最小的數變大了（最小的數可能為原來的a2或(原a1+an）/2,無論是哪一個，都比原來最小的a1大），最大的數變小了，也就是最大數與最小數的差變小了。如果最小數（最左邊的數）和最大數（最右邊的數）還不相等，那就繼續按類似的方法進行調整，乘積變大，而最大數與最小數的差會繼續變小。只要這個差不為0，就一直調整，按上面的調整效果，只有差為0時乘積才是最大，也就是此時最大值和最小值相等，這時顯然這n個數相等。
? 綜合n的3種情況，無論n為何正整數，都是這n個數相等時，乘積才為最大，此時最大值等于不等式左邊。
? 局部調整再舉一些例子，有時我們先把條件放寬/放松或去掉一些條件或約束，求出和問題較接近的答案，再基于這個答案進行小的變動微調，得出滿足題目所有條件和約束的最終答案，可以認為是放縮，先放后縮，先粗后細，先得到一個初步的結果或狀態，接下來逐步進行精化/調整，逼近最終的結果或目標狀態。
總結：局部調整思想、分類思想、對稱思想、秩序/次序思想、邏輯推理。也可看出，對稱性思想有時要結合有序化思想。
? 第6題
? 7條直線最多能將平面分割成多少個區域？10000條直線最多能將平面分割成多少個區域？
思維過程
? 這題也是個具體的題，直接抽象不好處理。那還是先前的思路，歸納簡化，用幾個簡化的具體題來找規律找經驗。
? 簡化的題：1條直線能把平面最多分成幾個區域？很自然，我們會在草稿紙上畫圖，形象思維觀察，可得出是2個。 2條直線類似畫圖得出最多4個區域？3條直線最多7個區域，4條最多11個。從這些簡單情況中可以歸納共性，總結得出所有直線都要相交才能分割出最多區域。我們可以通過研究幾種具體的情況，歸納得出n條直線最多把平面分成多少個區域，對此題就是一個公式，這處就不寫了，下圖中有。不過歸納靠數感，靠看透內在聯系內在共性的能力，靠合理猜想的能力，這些造成歸納有時比較費力費時間，即使歸納出來還要證明這個歸納出來的結論。
? 我們通過歸納已經得到了一些經驗：這些直線都要相交才能最多，不能平行。但如果覺得最后難以歸納出這個公式，我們可以結合使用遞推思想。遞推首先要有基礎，也就是起點，第二是要有遞推關系，這個其實類似數學歸納法。從起點開始，起點一般比較簡單，容易研究清楚，也就是容易獲得起點情況下的結論和答案，再基于起點通過遞推關系從前一步(也可能是前幾步，也就意味著要有多個起點)的結論和答案推出后一步的結論和答案，由前面(前驅)推出后續的，如此重復進行，遞推也體現了階段思想和過程思想。例如我們爬樓梯，不是一步登天，而是一步步來，后一步是建立在前一步的基礎上的，建立在前一步的成果之上，不積跬步無以至千里。再比如我們建3層樓房，肯定不是直接就建第3層，那是空中樓閣不現實，而是先從第一層建起，這就是起點，起點的成果是建好的第一層樓，繼承和利用第一步的成果，第二步在第一步第一層的基礎上迅速建好第二層，第三步類似，繼承和利用第二步的勞動成果，如此重復就完成了。與此類似，回到此題，一條直線就是基礎，就是起點，我們很容易獲得起點的結論：一條直線最多把平面分成兩個區域(兩半)。這個結論就是我們的勞動果實。對兩條直線，只需在前面的1條直線基礎上再畫一條線就行，不會重新畫兩條線，同時也要繼承1條直線時的勞動成果(結論)，不能重新從0開始數劃分的區域個數，而是要研究如何在1條直線的結論(勞動成果)基礎上迅速得出2條線的結論(勞動成果)。類似，對3條直線，在前一步的2條直線基礎上再畫一條直線就行，不會花時間重新另外畫3條直線，也不會重新數3條線劃分的區域個數，而是研究如何從2條的結論迅速得到3條線的結論。也就是遞推時要找出前后結論之間的聯系：遞推關系。在畫第三條直線時，要看圖找規律，發現畫了第3條直線后，第3條線和先前的兩條線相交，在第3條線上產生了兩個交點，這兩個交點把第3條線分成3條小直線，每條小直線把原來的區域一分為二，所以總共增加了3個區域，因此3條直線的區域個數是2條直線的區域個數加3，增量為3，這個就是我們找出的具體情況(case)的遞推關系，類似4條直線的區域個數是第3條直線的區域個數加4，增量為4。可看出對4條直線，我們沒有對4條直線劃分的區域個數重新開始計數，而是在3條直線的區域個數上加上增量就得出了結論。對5條、6條直線的情況也可體會一下，如果不通過這樣遞推，而是每次都重新從第1條線開始畫，每次都重新對區域從0開始計數，顯然很花時間，也浪費了我們前面的勞動果實。如此遞推，我們可以較快算出7條直線的區域個數。但要用這種具體情況下的遞推關系算出1萬條直線的區域個數顯然很費工夫,不現實。另外，我們是否能從這些具體情況下的遞推關系歸納得出抽象的遞推關系？
? 怎么辦？既然具體到此不適用了，就像在接力賽中它已經盡了它的力量完成了它的使命，具體不行就抽象，這個也是先前辯證法中提到的解題策略，要變一下思路。我們還是要回到抽象道路上,上升到抽象情況。我們下一步要用抽象了，也就是要找n-1條直線劃分的區域個數和n條直線劃分的區域個數之間的關系，把這個抽象的遞推關系找出來。抽象是一種很強大的武器，先前說過研究具體的簡單的問題有時能啟發我們，幫助我們看清看透問題，但不是所有的都如此。對這道題，我們研究了幾種具體情況，確實得到了一些啟發，對我們解題很有幫助。但有時具體情況太瑣碎，從具體情況得出的具體的結論層次不高，有個性/特殊性。具體的情況也數量多，而抽象出的東西是少數，有共性一般性，它的層次更高更有普適性統一性更深刻更本質，此時抽象可能可以幫助我們更透徹更高層次看清問題或更方便處理。我們可以從上面的具體情況歸納得出抽象形式的遞推關系(其實我們在前面根據1條線、2條線、3條線、4條線這些具體情況獲得的啟發:例如3條線的區域個數是2條線的區域個數加3，4條線的區域個數是3條線的區域個數加4，已經非常容易歸納得出這個抽象的遞推關系)：n條直線區域個數等于n-1條的區域個數加n,翻譯成更簡潔的數學語言就是an=an-1+n。如下圖，其中an代表n條線把平面分割成的最多區域數量,an中n是數列下標，不好打下標，湊合把n和a寫成一樣齊。這些a1、a2、an，+-這些以及這些遞推關系等式都用到符號化思想，這里不介紹了，這個從小學一年級就碰到，司空見慣，對研究的對象取名字(命名)或編號也屬于符號化思想。
? 根據這個抽象的遞推關系，再結合a1=2這個基礎，基礎作為遞推的起點，可得出an數列的通項公式，如下圖。
數形結合中的形就是利用問題中的圖形或廣義上的形象思維來幫助我們獲得洞見，利用圖形的直觀性來解題來發現規律來獲得洞見，通過視覺觀察，就能得出規律找出解題突破口。如果題目中沒有圖形，那就主動去想象去可視化，去找問題中對應的圖形或把題目中的一些已知條件和關系轉化成對應的圖形。
? 數形結合有兩個方面，第一個是數轉化成形，轉化成數的幾何解釋或對應的幾何圖形或圖表，例如小學低年級的應用題,不會解方程，我們就教小孩把題目已知條件和數量關系轉化成對應的線段，這些線段就是數對應的幾何解釋。初高中，把方程代數問題轉化成幾何和坐標系中的圖形，例如圓和坐標系中的直線等。另一方面是反過來，將形轉化成數或提取形中的數量關系，進行計算。這些在初高中的題中都會有體現。
? 對一些難題，你在草稿紙上試著把解題過程寫出來，觀察紙上的圖形圖表和解題過程，這些紙上的東西就會激發刺激你的聯想和思維，很可能就找到解題突破口或獲得洞見，例如前面的第2題得到感性認識和理性認識。
? ? 形象思維,主要是指人們在認識世界的過程中，利用直觀的形象(可能是大腦中想象的形象和紙上黑板上的圖形等)，借助這些形象,觀察這些圖形來獲得洞見或解決問題。形象思維不只是藝術家的專利，在數學和物理中也有很多應用，例如數學中的各種圖形，例如矩形、三角形、二次曲線和物理中的磁力線。視覺是個重要的信息來源，俗話說一圖勝千言,圖形很直觀,通過觀察圖形,可以很快地發現其中隱藏的一些特則和規律。
? 如上圖，我們在草稿紙上畫出多條線段，觀察發現提煉總結圖形中隱藏的特征和規律，發現直線上的交點和數量以及小直線把區域一分為二，以及小直線和區域的對應關系。
? 如上圖，我們通過抽象，建立了抽象模型，然后利用求數列通項公式的知識點得出了抽象模型的抽象理論公式或解決方案，在上圖中就是an的通項公式。
? 從抽象模型到抽象解決方案的過程，這個過程可能比較艱難，有難度有門檻，好比爬雪山過草地，但一旦想法跨過門檻得到了抽象解決方案，那就苦盡甘來，就對問題有了深刻本質的認識。另一方面，我們對抽象模型并不是手無寸鐵，我們已經掌握了很多處理抽象模型的知識點和經驗，例如這題中涉及到的求數列通項公式的知識點，所以不要害怕抽象，有了這些處理抽象的知識點做工具，抽象之后反而海闊天空，反而比具體要簡單，這個也驗證了抽象中的簡單性。這題如果不用抽象，一直用具體，是難以快速獲得答案的。
? 先前提到過，有些簡單的具體能幫我們看清楚問題，但抽象解決方案才是這個問題的道，用它能幫我們更深刻更全面地看清問題。先哲說過:以道蒞天下,其鬼不神。我們有了an通項公式這個道,還有啥不服帖的,不清楚的,10000條直線的情況也能輕易掌握。要好好體會抽象的好處和作用。
總結：畫圖形象思維、歸納簡化得到感性認識，得到啟發或經驗&規律、轉化、遞推、抽象、聯想類比到競賽班學過的求這類數列通項公式的題型和方法。具體不行就抽象，抽象不行就具體，這是體現辯證法矛盾觀的解題策略。
? ? 遞推的起點不一定只有一個，根據題目的特點，有些題要用多個簡單的情況做起點，也就是有些遞推關系中要涉及到多個前驅或有多個遞推關系。
? ?
如下圖的正12面體，每個面是5邊形，求它的頂點數和棱數。
思維過程
? 看到這題，首先聯想到的是多面體歐拉公式：V - E + F = 2其中，V是多面體的頂點個數，E是多面體的棱的條數，F是多面體的面數。這里F為12，但一個方程兩個未知數V和E，解不出。
觀察題目中幾何圖形可得出如下結構特征：這些面是閉合(封閉)在一起的、一條棱被2個面共享、一個頂點被3條棱共享。封閉就是點、線、面(5邊形)的組合，組合產生點線面的過度耦合，過度耦合產生難以一眼看透的復雜關系，增加了問題難度。要想法把問題從復雜退到簡單，辯證思維，正難則反，可想到封閉組合的對立面:開放。從封閉組合退到開放狀態，也就是把這個多面體拆開成12個5邊形，拆開就達到了解藕，降低了耦合度，問題變簡單了。這些五邊形共有12*5=60個頂點和60條邊，拆開后的邊和頂點與多面體的棱和頂點有對應關系(比例關系)：由于一個頂點被3條棱共享，1個頂點拆開后變成3個，1對3(1比3)；一條棱被兩個面共享，1條棱拆開后變成2條邊，1對2。
因此邊和棱的總數也有這樣的對應關系。
所以多面體的頂點數為60/3=20，棱數為60/2=20。
如果換一個角度觀察，可以發現點線面的個體關系：1個點對應3條邊，反過來，1條邊對應2個點；1個面有5個頂點5條邊，反過來，1個頂點對應3個面，1條邊對應2個面。基于這些個體關系，我們也可邏輯推理得出面的總數、邊的總數、點的總數的總體的數量關系：邊總數=5/2面數，頂點總數=5/3面數，邊總數=3/2頂點數。面數是12，也很容易得出結果。
總結：通過觀察識別發現規律/特點/特征/關系，利用這些來解題、聯想(相反聯想)、對應/關系思想。
? 顯與隱：除了題目中已知的很明顯很直接的信息(特征、特點、規律、聯系/關系、矛盾、約束限制條件、不利因素、性質等)，我們通常還要通過觀察來挖掘出識別出題目中隱藏的信息(特征、特點、規律、聯系/關系、矛盾、不利因素、性質等)。觀察在日常生活中是司空見慣，無時不刻都在運用。我們每天觀察各種事物，照鏡子、過馬路前后左右甚至上下觀察。醫生望聞問切，觀察或檢查病人病情癥狀,再對癥下藥。
? 在解決問題時，對這些信息要進行初步的分析和分類，分析：這些信息相互之間是否有矛盾(注意這里的矛盾是指辯證法中的矛盾，不是邏輯矛盾),是否有不和諧。分類：一般分成兩類，一類是良性信息，我們感覺順手，便于我們解題，對我們解題起助益作用的，我們比較容易利用這些信息來解題，也就是我們很容易聯想到運用掌握的知識和經驗利用這些來解題，另一類是矛盾信息，在感覺上，我們覺得它們比較別扭，和其他數學元素不融洽。它們是妨礙我們解決問題的，就是因為有這些信息的存在，才導致解題困難，或者說我們對這些信息不知道如何利用或感覺難以利用，不順手不順眼。對題目中的矛盾和妨礙解題的信息，我們要想法進行轉化/改造/變換/糾正，數學思想方法就是用來幫助我們找對策來轉化它們改造它們，例如聯想、類比、抽象、數形結合、整體思想、構造。
? 這題中也運用了辯證思維和直覺思維，利用了封閉和開放的辯證關系。我們觀察圖形，發現其中一個特征：多面體是封閉的，閉合在一起。這個封閉的特征就妨礙我們解題，增加了題目的難度比較棘手，讓我們不好處理問題，不好計算頂點、棱數。這個特征繞不過去，必須要面對它解決它，此時就要對解題起阻礙作用的特點進行改造/轉化/消除/克服糾正，所以我們就反向聯想到要將多面體展開(拆解開)進行改造進行變化轉化。具有敏銳直覺思維能力的人，看到這題的圖形特征，能很快意識到(感覺到)要拆開多面體，只要一想到拆開(這是一個解題突破口，一道坎)，此時，在大腦中迅速意識到該問題想通了，因為想到拆開之后，再想到拆開后的圖形很容易計數（計算邊和頂點總數），并且拆開后的邊和頂點與閉合圖形存在多對一的對應關系。通過這樣一連貫的思考，大腦中立即感覺問題變簡單了變熟悉了，整個思路貫通了,這個也是在后面文章（數學思想方法揭秘-3-5第17題）中將要提到的在大腦中'走幾步'。
? 第一篇中提到過辯證思維詞匯表，如果你的詞匯表中沒有這里的'封閉和開放'，那通過解這道題，就應該把'封閉與開放'這個概念對加到你的辯證思維詞匯表中。
? 通過這題的解題思維過程，要好好體會辯證法中的矛盾觀、運動-變化-發展觀、聯系觀、否定之否定。簡要講述如下。
? 矛盾觀：封閉和開放是一對矛盾，它們相互制約相互聯系相互轉化。反者道之用，封閉可轉變到開放，所以我們從封閉想到了開放，拆開了封閉的多面體；開放可變到封閉可回到封閉，所以我們根據開放時的點和線的數量、封閉-開放的點-點、線-線數量的比例關系，反算出封閉時的點、線數量。
? ? 基于自身的解題思維體會，覺得數學中盡人皆知的分析法要改為矛盾分析法更合適，在數學解題中如何運用矛盾分析法，本系列也有介紹。
? ? 聯系觀：萬事萬物之間以及內部都存在相互的聯系。此題為何能從封閉到開放，再從開放到封閉，就是因為在結構上，封閉與開放這對矛盾存在相互聯系，存在關系，可以相互轉化。在數量上，此題中的比例關系是我們根據開放時的點、線數量反算反演出封閉時的數量的保證，我們利用了這種關系，這也是前面講的關系思想。
? ? 否定之否定：從封閉到開放，這是對封閉的否定；再從開放到封閉，是對開放的否定，又 回到了封閉。這就是否定之否定的循環往復之道。從開放回到封閉，但又不是回到剛開始解題時的封閉，是在認識上有了發展的封閉，是螺旋式上升后的回歸，好比經常講的：第一個階段看山是山，第二個階段，看山不是山，第三個階段又回到看山是山，但第一個階段和第三個階段的看山是山是不同的，是發展了的。
? 運動-變化-發展觀：運動變化是絕對的，唯一不變的是變化。萬事萬物都在運動變化，有形的物質實體和無形的思維都在運動變化。從封閉到開放，將多面體拆開；從開放到封閉都是運動變化。通過講多面體拆開，我們變更了問題的形式。除了各種物質的、對象的運動變化，我們的思維也在運動變化，思維活動就是運動變化：大腦從封閉想到開放，再從開放想到封閉，就是思維的變化。數學解題思維的最高原則就是辯證法的運動變化：例如此題從封閉變到開放，變更了問題的形式；進行換元；進行代數式的恒等變形；不等式的放縮；添加幾何輔助線和幾何變換；利用各種思維方式變化問題，例如利用轉化、聯想、類比、抽象、歸納、比較、判斷、推理等等；從換元法變到配方法；思維形式和思維內容的變化，例如從聯想思維變到抽象思維，就是思維形式的變化；從聯想到A知識點變到聯想B知識點，就是思維內容的變化。所有這些都是解題過程中的運動變化。解題碰到困難，沒有思路時，多反思多發散思維，多問問自己還能從哪些方面變化，多問問自己還能如何變化，念念不忘，必有回響，有可能就峰回路轉，柳暗花明。爭取成為72變的孫悟空，數學思維素質其中之一就是靈活變通。
? ? 通過這道題的思維過程，可見辯證法中的這些"觀"也是相互聯系的，是一體的，是密不可分的。
? 辯證法一點都不神秘，道在日用，它就在我們的日常生活中。即便對一些高年級小學生，通過這樣實際的例子給他們講辯證法是可行的，要多結合生活中的各種具體的例子來講，不要只用數學題做例子。這也是本系列反復強調學數學要真懂辯證法，數學思維離不開辯證法，要會運用辯證思維。那種只在政治課上、哲學書中、口頭上的哲學是無用的哲學，不能紙上談兵，必須聯系具體實際，必須聯系具體的學科來領悟理解和運用。
? 辯證法的這些思想和觀點，在東西方早就有，它們不是辯證法的首創，是拿來主義，借鑒吸收過來的。道德經、太極圖中處處有這些辯證法思想。唯物辯證法的主要貢獻是用近代人能理解的話語體系對它們作了總結梳理，這也不錯。
? ? <<道德經>>”反者道之動，弱者道之用”，講述“道”的運動變化法則和“道”如何作用。運動變化法則就體現辯證思想，道就是各種規律和事物的本源。”反者道之動，弱者道之用”的數學解讀：反者道之動，反同返，此題從封閉到開放，再從開放到封閉，每一步都是反，整體上是否定之否定，否定之否定中的”否定”要辯證地理解，不要完全生硬理解為通常意義上的否定，而應該是在上一次基礎上的加強、升華、調整或變換，例如九蒸九曬黑芝麻丸，多次蒸曬，對一道數學題，其解題方法的每一步通常也不是在否定前一步或否定先前。正反看問題，系統全面、靈活變通，會轉化會變換，循環往復(來來回回，這就是否定之否定的螺旋式上升或反演，例如從正到反，再從反到正的運動、變換、反演)，會繞彎迂回，曲線救"國"，二(多)次審視。”弱者道之用”中的”弱者”在數學中指的是什么，或者說包括哪些？在整體層面，它指的是數學思維能力，在具體的問題層面，它指的是數學問題的破綻、突破口。數學思維能力表面上看似無形，似乎虛無縹緲，有時令人捉摸不定，似乎沒有力量，不像數學知識那樣具體可見，實實在在，可以立刻利用數學知識解決具體問題。但正如道德經所言，無中生有，看似無形的思維可以生出解題方法(有)，這就是無的玄妙，也是柔弱勝剛強。數學思維之道如何發揮作用，就是用弱而不是用強，順應自然。弱者，是柔和柔弱，不是怯弱軟弱。看似弱，但柔弱勝剛強。在具體的問題層面，弱者就是問題的破綻和突破口，問題的破綻包括問題的特征、規律、關系等。庖丁解牛就是用弱，順其自然，順著牛身體結構中的縫隙進刀，在庖丁眼中即便是一頭大牛也是外強中干，頃刻瓦解，而不是憑蠻力濫砍濫切，既費時費力又容易損壞刀。在數學思維中，以柔克剛，對不好解決的問題，如果正面硬剛、直接剛不行，那就要避其鋒芒，順應自然，會變通會變化(此處不說轉化，說轉化，層次有些低，轉化只是變化的一種形式)：反過來，找問題的突破口：找細微、微妙、基礎、本源(比如回到問題中的概念或定義上，回到本源就好比回到剛出生的嬰兒狀態，這難道不是弱？)、本質之處，找問題中的關系，找和它關聯的容易解決的問題、變化問題讓它顯露出薄弱點(變化它，讓它變容易變熟悉就是顯露出薄弱)，這些都是順應具體問題的特征從薄弱處入手找突破口來探索解決困難問題的思路，這不正體現數學思維中的弱者道之用？辯證思維詞匯表中的復雜與簡單，作用與反作用、抽象與具體，一般與特殊，直接與間接等等，以及解題策略大多都是這樣運用。此題中從封閉到開放，就是矛盾的轉化，因為我們對封閉情況下的問題認識不清楚，有難度，所以把多面體拆開，拆開后變簡單了，變出了容易解決的弱問題，最后解決了外強中干的封閉多面體問題，這不正是柔弱勝剛強？這不正是生活中的欺軟怕硬？這不正是道在日用，在日常生活中?
? 上面的太極圖沒有旋轉，也沒有立體效果，沒有很好地體現出辯證法的矛盾觀、運動觀、否定之否定觀、聯系觀和螺旋式上升的循環往復之道，但大致直觀表達了其中的基本涵義。
? 此題從封閉到開放，從開放到封閉好像運用了逆向思維，但其實是辯證思維，辯證思維和逆向思維是不同的，或者及其勉強地認為逆向思維是經過大幅裁剪的簡化版的辯證思維，它略微有一點點辯證思維，但絕對代表辯證思維。
在前面的解題中也提到過要觀察，在后面的第9題，觀察發現倒數關系，再想法利用這個有利于解題的關系（這個是良性的）；第9題還介紹了辯證法中的矛盾分析法，先觀察找出問題中的矛盾，對妨礙我們解題的矛盾進行改造轉化，消除矛盾轉化矛盾。在第13題中加輔助線和解幾何題時，也要觀察幾何圖形的結構特征，對格局不好的地方添加輔助線進行改造或觀察發現幾何圖形的數量方面的關系，采用數形結合的方法來解幾何題，例如第17題。第15題運用抽象的思想方法來轉化，將不好處理的具體問題轉化成容易處理的抽象問題，第16題是運用數形結合的方法來轉化，將不好處理的方程問題轉化成幾何問題或對應的幾何形式。算式、等式、不等式中的各種變形(例如合并同類項、或從左邊移到右邊，或等式兩邊平方、或分數的裂項)或幾個數學對象之間進行各種運算（如兩個方程相加或相減，兩個數學對象相乘或相除）或推理產生新的數學對象和信息，目的都是為了轉化改造，在變化中尋求解決問題的機會。
觀察是一項基本的技能，幾乎每道題都涉及到觀察，另外不只是在解題開始要觀察，在解題過程中也要敏銳地觀察。
第8題
求時針和分針在一天中重合幾次，時間從0點0分0秒開始到下個0點0分0秒（包括）。
這是我小時候讀書時的題，這題當時不難。
思維過程
? 這個要能聯想類比，識別出是個追擊問題，把它和熟悉的直線追擊問題進行類比，不能換個馬甲就不認識了。時針分針就是追擊問題中的兩個人或車，這里的速度單位是圈/小時,里程就是圈或角度(度數)。可見我們通過聯想類比，建立了問題和已有知識點以及解題經驗的聯系橋梁，這個題就很好理解了，在心理上沒思維障礙，把直線追擊問題的經驗和知識遷移過來照搬使用。
? 時針的速度是1/12圈/小時，分針速度是1圈/小時。在0:0:0重合后，使用運動思維、過程思想，結合形象思維，在草稿紙上畫出追擊過程，也就是時針和分針的運動軌跡(從0:0:0開始到下一次重合位置),它們的運動軌跡是圓弧。觀察草稿紙上的兩個軌跡，就明白下次重合，分針要多走1圈(分針走的圓弧圈數比時針多一圈)，這個1圈就是普通追擊問題中的初始相距的距離，也就是要多走的距離。普通追擊問題的追擊路線是非封閉的，這個時鐘追擊問題的路線是封閉的(圓)。下次重合需要時間為1圈除以（1-1/12）=12/11小時，其中1-1/12是分針和時針的速度差，也就是每小時多走的距離為11/12圈，現在要多走1圈才能重合(追上)，所以需要1除以11/12，也就是經過12/11小時才能下次重合。后面就是周期思想了，從0點開始，每12/11小時重合一次，所以每次重合時間可歸納抽象為12n/11，n從0到22，所以有23次。
總結：聯想、類比、運動思想、過程思想、形象思維、周期思想。做題一般要觀察，特別是碰到算式、方程、等式、不等式、函數、和圖形等，形象思維更要觀察。通過觀察，發現和識別出題型、概念、規律、特征、性質、特點、關系/聯系。觀察時要伴隨有聯想、類比、歸納總結、比較、判斷、計算、推理等思維活動。
? 總體感覺，現在的小學奧數真不容易，初中競賽的不定方程、高中的排列組合計數在小學奧數中都有，還不是那種直接套公式的簡單的排列組合問題。小學生經驗和知識面、理解力都很初級，又很少教思想方法和解題策略。不用數學思想方法，這些老師是怎么教的？讓學生知其然不難，關鍵是如何知其所以然的？
? 如上，從小學開始，我們就應該在具體的解題過程中給學生傳授數學思想方法和解題策略來訓練他們的數學思維，對他們進行熏陶和啟發，讓他們知其然并且知其所以然，要讓他們有數學思想，掌握一套切實可行的數學思想方法論，用這套思想方法論來指導自己的數學解題思維過程，這樣才是真正培養數學思維的正確教學方法。
? 家長不要擔心那些只會雕蟲小技的孩子超過了自己的小孩，不要急功近利，只要按照思想方法加雕蟲小技并重的方式來進行解題思維的熏陶和訓練，一旦悟道數學思想方法，在思維層次上立馬超過那些不懂數學思想方法的小孩。
? 下一篇:數學思想方法揭秘-3-4(原創)。
