在FRM考試中，將VaR定義為VaR is the maximum loss over a target horizon and for a given confidence level，即在特定時間，給定的置信水平下的最大損失，用其來衡量風險，類似的衡量的風險的指標很多，FRM中主要包括：ES, D, β，σ等等。
既然指標怎么多，那又是根據哪些原則來挑選風險衡量指標的呢？
FRM中給出了四條原則：
(1)Monotonicity 單調性
R1>=R2, then ρ(R1) <= ρ(R2)
收益越高，風險越低。單調性和之前所知的常理不符，其實也好理解，換個角度，即收益越高，資本越充足，越能抵抗風險。
(2)Subadditivity 次可加性
ρ(R1 + R2)<= ρ(R1) + ρ(R2)
同時投資兩種資產的風險要小于等于單獨投資兩種資產的風險之和。
(3)PositiveHomogeneity 正齊性
ρ(βR) = βρ(R)
投資一支股票的風險為ρ(R)，那么投資β支風險相同的股票的風險為βρ(R)。
(4)TranslationInvariance 平移不變性
ρ(R + c) = ρ(R) - c
c是常數，相當于在投資組合中加入現金，現金是具有風險緩釋作用的，那么計算風險時就可以減掉這個c。
我們通常認為，符合上述四條原則的風險指標即為一個好的風險衡量指標。
VaR的優缺點：
VaR自被發明以來一直飽受爭議，但時至今日仍被投資界所使用，必有其自身的優越性。
優點：
(1)Used for risk control and performance assessment.
(2)Easy to understand.
(3)Advanced method.
(4)Single instrument or portfolio
缺點：
(1)Did not contain worst conditions,did not describe tail loss.
根據VaR的定義，其只能告訴我們在特定時間，給定置信水平下的最大損失，即其在設計之初，就忽略了極端情況的存在，一天內，在95%的置信區間下，最大損失為100萬美金，其意義為在一天時間內，最大損失有95%的可能性不超過100萬美金。VaR能描述95%，99%的情況下的最大損失，但忽略了5%，1%的情況，即忽略掉了尾部風險（tail loss），忽略了肥尾的情形，如果發生黑天鵝，VaR豈不是害人不淺！尾部風險是指在巨災事件發生后，直到合約到期日或損失發展期的期末，巨災損失金額或證券化產品的結算價格還沒有被精確確定的風險。
假設100days的時間里，收益分別為-200,-50,-10,-6.5,-5,-1,-0.5,0,1,2,5,...在95%的置信區間下，運用非參數法，VaR為5萬，但其尾部的損失卻遠遠大于5萬。100天里91天盈利，但還比不上一天的虧損。
『尾部風險』就是所謂的黑天鵝事件的風險，資產a和b在500天里收益最大的495天損失最大的是10萬元，那它們的VaR99%都是10萬元，但有可能在剩下5天里資產a平均損失20萬，資產b平均損失50萬。看上去風險一樣的資產，尾部風險完全不一樣。現實生活里的風險資產很多是像資產b這樣的不符合正態分布的，用基于正態分布假設的VaR來估算很容易低估風險。（此段文字摘自知乎，作者：chifung cheung）
(2)Not sub-additive.
不滿足次可加性（一般非常離散的模型不滿足次可加性）同時投資兩種資產的風險要小于等于單獨投資兩種資產的風險之和，比如說資產a風險是10萬，資產b風險是20萬，那資產a與b的投資組合的風險必須小于等于30萬。但VaR不具備這個性質，不但不好評價資產組合，還很難進行投資組合最優化。
在置信水平為99%的情況下，投資于單個資產，其var值為0萬（從左向右數，概率累計大于1%時為止）；投資于A,B,C三個資產時，其var值卻為10萬(從左向右數，概率累計大于1%時為止)，不滿足次可加性的原則。
(3)illiquid Assets
流動性較差的資產不能用VaR來衡量，VaR極度依賴交易數據，如果某種資產10,20天才產生一次交易，我們是沒法用它的VaR來衡量風險的，即使計算出來也是不準確。
VaR的計算：
計算VaR的方法有很多，FRM中將按照full valuation和local valuation進行了劃分。
local valuation主要指Delta-Normal Approximation，Delta-Gamma Approximation。
為了方便給理解，下面主要介紹非參數法和參數法。
(1) 非參數法
略。。。
(2)參數法
①相對VaR(relative VaR)
相對于均值，比如95%的置信水平，那么VaR = 1.65σ
②絕對VaR(absolute VaR)
相對于0，VaR = |1.65σ - E(R)|
這里求出的為百分比（即percent var），如果是求數值（dollar var），再乘以整個投資組合的價值即可。
舉個例子：
給定一個價值$100,000,000 portfolio，一周的期望投資回報率為0.00188，標準差為0.0125，給定95%的置信水平，求VaR？
ρ為天與天之間的關系。
① With trends→positive correlation→VaR increase
市場的變化是有趨勢的，此時ρ>0, VaR會變大。
②With mean reversion→negative correlation→VaR decrease
均值回歸，此時ρ<0,VaR會變小。
（總是圍繞-0.5這個軸波動，均值是回歸的）
VaR的應用：
(1)Delta-Normal Approach：
僅考慮線性關系
①債券的VaR
②期權的VaR
(2)VaR of Nonlinear Derivatives–Delta-Gamma Approximation
///推導為兩邊同時取VaR///
①債券的VaR
②期權的VaR
VaR模型的補充
對于VaR模型，由于其未考慮尾部風險，所以金融學界又發明了許多方法，對VaR模型進行補充，比方說conditional VaR（ES），worst case scenario(WCS，最差情景分析)，StressTesting（壓力測試）等。這些方法主要考慮極端情況的發生，在一定程度上彌補了VaR未考慮尾部風險的弊端。
最后附上一篇實戰文章，加深對VaR的認識。
在險價值(Value at Risk)風險度量下的資產組合前沿 https://uqer.io/community/share/57aa83f8228e5b9b95a88894
