前幾天看完了《主動投資組合管理》，今天來總結這本書的讀書筆記，同時也寫下自己的些許感想。本書由量化投資領域的先驅Grinold和Kahn合著，是美國量化基金經理的圣經。翻譯工作由劉震先生和他的團隊在兩年時間內細致地完成，本書的可讀性非常高，內容十分貼切，而其中的CAPM模型、多因子模型和APT模型部分尤為出彩，本系列的文章也將依據這三個模型來寫作。
本文主要在于CAPM模型與多因子模型的推導和應用。從CAPM模型的一般假設推導出多因子模型的系統，這一過程主要依賴于對于Beta值特性的討論。
CAPM模型是現代量化投資系統的基礎，在各大基金與投資銀行得到了廣泛的使用，其最大的優點在于簡單、明確。它把任何一種風險證券的價格都劃分為三個因素：無風險收益率、風險的價格和風險的計算單位，并把這三個因素有機結合在一起。因而大大減少了模型的復雜程度，而且提高了模型的實用價值。CAPM的另一優點在于實用性。其模型假設為絕對風險而不是總風險，并且以絕對風險來對各種競爭報價的金融資產作出評價和選擇。這種方法已經被金融市場上的投資者廣為接受，在各大資管公司與基金中得到了廣泛的應用。
但是CAPM模型也有其天生不足，首先，CAPM的假設前提是難以實現的。諸如其完全競爭假設等。在實際操作中很難實現的，包括“做市”等時有發生。其二假設是投資者的投資期限相同且不考慮投資計劃期之后的情況。但是，市場上的投資者數目眾多，他們的資產持有期間不可能完全相同，而且現在進行長期投資的投資者越來越多，所以假設二也就變得不那么現實了。假設之三是投資者可以不受限制地以固定的無風險利率借貸，這一點也是很難辦到的。假設之四是市場無摩擦。但實際上，市場存在交易成本、稅收和信息不對稱等等問題。假設之五、六是理性人假設和一致預期假設。顯然，這兩個假設也只是一種理想狀態。其次，CAPM中的β值難以確定。某些證券由于缺乏歷史數據，其β值不易估計。此外，由于經濟的不斷發展變化，各種證券的β值也會產生相應的變化，因此，依靠歷史數據估算出的β值對未來的指導作用也要打折扣。總之，由于CAPM的上述局限性，金融市場學家仍在不斷探求比CAPM更為準確的資本市場理論。目前，已經出現了另外一些頗具特色的資本市場理論（如套利定價模型），但尚無一種理論可與CAPM相匹敵。
接下來為大家介紹CAPM模型的詳細內容與模型結構。資本資產定價模型：E(ri)=rf+βi(E(r)-rf)
E(ri) 是資產i 的預期回報率
rf 是無風險利率
βi 是[[Beta系數]]，即資產i 的系統性風險
E(r) 是市場m的預期市場回報率
E(r)-rf 是市場風險溢價（market risk premium），即預期市場回報率與無風險回報率之差
CAPM公式中的右邊第一個是無風險收益率，比較典型的無風險回報率是10年期的政府債券。如果股票投資者需要承受額外的風險，那么他將需要在無風險回報率的基礎上多獲得相應的溢價。那么，股票市場溢價（equity market premium）就等于市場期望回報率減去無風險回報率。證券風險溢價就是股票市場溢價和一個β系數的乘積。
對于CAPM模型的應用，資本資產定價模型主要應用于資產估值、資金成本預算以及資源配置等方面。
資產估值：在資產估值方面，資本資產定價模型主要被用來判斷證券是否被市場錯誤定價。根據資本資產定價模型，每一證券的期望收益率應等于無風險利率加上該證券由β系數測定的風險溢價：
E（ri）=rF+[E(rM)-rF]βi
一方面，當我們獲得市場組合的期望收益率的估計和該證券的風險 βi的估計時，我們就能計算市場均衡狀態下證券i的期望收益率E（ri）；另一方面，市場對證券在未來所產生的收入流（股息加期末價格）有一個預期值，這個預期值與證券i的期初市場價格及其預期收益率E（ri）之間有如下關系：
在均衡狀態下，上述兩個E（ri）應有相同的值。因此，均衡期初價格應定為：
于是，我們可以將現行的實際市場價格與均衡的期初價格進行比較。二者不等，則說明市場價格被誤定，被誤定的價格應該有回歸的要求。利用這一點，我們便可獲得超額收益。具體來講，當實際價格低于均衡價格時，說明該證券是廉價證券，我們應該購買該證券；相反，我們則應賣出該證券，而將資金轉向購買其他廉價證券。當把公式中的期末價格視作未來現金流的貼現值時，公式也可以被用來判斷證券市場價格是否被誤定。
資源配置：資本資產定價模型在資源配置方面的一項重要應用，就是根據對市場走勢的預測來選擇具有不同β系數的證券或組合以獲得較高收益或規避市場風險。
證券市場線表明，β系數反映證券或組合對市場變化的敏感性，因此，當有很大把握預測牛市到來時，應選擇那些高β系數的證券或組合。這些高β系數的證券將成倍地放大市場收益率，帶來較高的收益。相反，在熊市到來之際，應選擇那些低β系數的證券或組合，以減少因市場下跌而造成的損失。
然后，我們回到上面的問題，Beta值如何確定？
一般情況下，貝塔系數利用回歸的方法計算。貝塔系數為1即證券的價格與市場一同變動。貝塔系數高于1即證券價格比總體市場更波動。貝塔系數低于1（大于0）即證券價格的波動性比市場為低。
貝塔系數的計算公式
公式為：
其中Cov(ra,rm)是證券a的收益與市場收益的協方差；σ^2m是市場收益的方差。因為：Cov(ra,rm) = ρam·σa·σm，所以公式也可以寫成：
其中ρam為證券a與市場的相關系數；σa為證券a的標準差；σm為市場的標準差。
從公式其實我們可以看出來，Beta值實際上與市場風險并沒本質上的關聯，并不代表市場風險。所以當我們在CAPM模型中使用Beta值衡量資產的風險與收益時，會造成一定的偏差。
但是我們知道，準確的CAPM模型的核心在于以Beta值衡量市場風險，但是如果Beta值得假設有錯，那么準確的計量將無從談起。對于Beta值得計算，我們有兩個假定：
假定一：在過去一段時間內影響資產風險程度的因素，在未來的短期內仍將影響資產的風險程度。基于這一假定，所以我們可以對于Beta值做如下使用，假設對于證券A，在過去一個月內受到其財務信息，公告信息等基本面資料，其證券在過去一個月的相對于市場基準的Beta值為5，那么在接下來的短期內，如一周，我們可以假定其Beta值仍舊為5.并且以該值計算其風險期望模型。
假定二：對于任意資產，我們認為其風險程度取決于其本身的特質。諸如，對于市場的股票，我們認為市值越大的股票，其風險越低；同樣我們還可以認為銀行股的風險性會遠低于周期性股票。所以在長期對于資產的風險程度的測量中，我們應該認為：Beta=f（q、p、……）+a，
式中：δkt——第是個風險因素在時期，的意外變化；bik資產i對第是個風險因素的敏感系數。
非常巧，多因子模型的結構已經被我們推到出來了。
最后附注三個典型的多因子模型：
第一，Brennan—Schwartz模型
Brennan—Schwartz模型運用短期和長期利率作為因子解釋利率期限結構。短期利率對長期均衡有均值回復的效應，并遵循對數正態過程，長期利率遵循另外的對數正態過程，即：
dlnr=a(lnl? lnr)dt+b1W1
dl=la(r,l,b2)dt+b2ldW2
其中E[dW1dW2] =pdt.從模型中無法直接得到債券價格的封閉解，必須求解其數值解。
第二，Richard模型
Richard模型運用實際利率ρ和通貨膨脹率π作為兩種因子，兩者相互獨立，并遵循以下平方根過程：
r= ρ + π(1 ?var[dP/P])
其中，P表示預期變化為通貨膨脹率的價格。因而名義債券價格的解為：
第三，Cox-Ingersoll-Ross／Langetieg模型
1985年，Cox，Ingersoll和Ross又發展了兩因子模型，認為利率的變化除了短期利率的隨機過程外，還存在長期利率的隨機過程。遵循CIR模型的思路，瞬時利率r可以分解成兩個獨立的因子Y1和Y2(即r=y1+y2)，則關于債券價格的解為：
如果每一因子都遵循Vasicek假設，那么其中每一個P值都會有單因子解；如果每一因子都遵循CIR假設，那么債券價格將是兩個CIR公式的乘積。
圖片附注：
