單期庫存模型：允許缺貨
此模型與之前標準EOQ模型的唯一區別就是超量無法滿足的需求會進入等候隊列Back Order，也就是說允許系統缺貨，而其他條件都一樣。如果從圖上來看，允許缺貨就意味著，在某些時間段的期望庫存是負數。當然，缺貨是有成本的，那么在給定缺貨的成本條件下，應該缺貨多少數量才可以讓總的成本最小化就是我們要探討的內容。
為了深入探討這個問題，我們要引入2個新的成本參數：
Cs = Cost of Shortage, 它與 Ce = Cost of Excess = c * h相對應，
b = backlog數量。
缺貨時，在T1時間有庫存，總的成本公式就變成了這個樣子，
經過一些代數整理，合并同類項和應用相似三角形的一些性質等動作，公式變成這樣：
再根據一階導數求解最優的Q，計算出來的Q_PBO和b*如下：從公式來分析，Q_PBO 一定大于原先的Q*.與直覺似乎不一致！
說實話，這部分的內容是比較難以理解的。從我學完這個課程后的半年時間來回味并且體會這個內容，既然缺貨是有成本的，如果缺貨的成本小于超量庫存持有的成本，那么純粹站在總成本的角度去考慮，我可以計算出一個允許缺多少貨，不是嗎?而實際情況確實如此。記得在報童模型里面，當時就引入了一個CR (Critical Ratio) = Cs/(Cs + Ce)，從這個公式的本身數學性質來看，他是大于等于0，小于等于1的一個數字。有些翻譯是緊急率，而我認為關鍵比率更恰當。
允許缺貨的情況下 庫存策略是：
當IOH(Inventory On Hand) 手上的庫存為負數 -b的時候，去采購Q_PBO**數量的庫存;
每T**的時間去采購
系統缺貨了！我是故意的！！
如下這個圖的兩級表明，如果Cs很大，就意味著缺貨成本很大，那么我們的模型就近似于EOQ標準模型，而如果缺貨成本很小，我們就一次訂購很多的庫存，而且很長時間內都不再采購，因為缺貨成本太小了。
如上面的內容所講，這部分的內容與第一直覺有很大的偏差，需要一些時間來理解，需要一些例子來消化。很多時候，庫存管理，乃至供應鏈管理就是一個平衡的藝術，缺貨成本和持有成本，你如何決策？是否有些時候，你是拍腦袋的？MIT給出建議以后，你也可以拍腦袋，只不過這次拍的電腦，而不是人腦！
