單期庫存模型：需求為某種概率模型 缺貨
上次我們探討了預(yù)期收益，本次我們來看看預(yù)期缺貨。講缺貨的時(shí)候，我們一般分為需求為連續(xù)的和離散的。先講離散的需求，這個(gè)更加符合直覺。
這里先簡單說一下什么是離散需求和連續(xù)需求!離散需求就像我買衣服、買手機(jī)、買床、買電腦等，我只能買1的整數(shù)倍，我不可以買3.5個(gè)電腦，100.8個(gè)手機(jī)，這樣的需求就是離散的; 而在另外一些行業(yè)，如鋼鐵，糖，水泥，我可以買100.12噸的鋼鐵，5.5公斤的糖等，這個(gè)就是連續(xù)需求，因?yàn)樗臄?shù)字是連續(xù)的。
假設(shè)我擁有一個(gè)蛋糕店，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，每天可以賣1到8個(gè)不等的新鮮蛋糕，每天賣幾個(gè)的概率是一樣的，即賣出一個(gè)的概率是1/8，賣出兩個(gè)的概率是1/8，... 賣出八個(gè)的概率也是1/8,那么需求的分布就是如下這個(gè)圖。準(zhǔn)備蛋糕的原材料需要隔天甚至隔兩天提前備貨，當(dāng)天沒有辦法再次補(bǔ)充原材料，而且當(dāng)天賣不掉的新鮮蛋糕就必須扔掉。
我現(xiàn)在決定每天做5個(gè)蛋糕，那么
預(yù)期蛋糕需求是多少？
預(yù)期賣掉的蛋糕是多少？？
預(yù)期缺貨的蛋糕是多少？？？
我們剛才提到賣掉蛋糕的數(shù)量是1-8中，其中任何的一個(gè)概率是1/8，即0.125，那么預(yù)期蛋糕需求就是預(yù)期賣掉的數(shù)量×概率，用公式表示就是
用啰嗦一點(diǎn)的方式表示：1 × 0.125 + 2 × 0.125 + 3 × 0.125 + 4 × 0.125 + 5 × 0.125 + 6 × 0.125 + 7 × 0.125 + 8 × 0.125 = 4.5
第一個(gè)問題已回答，預(yù)期的需求是4.5個(gè)。
在給定我每天只制作5個(gè)蛋糕的前提下，我預(yù)期能夠賣出的蛋糕是多少呢?顯然不是4.5，因?yàn)樵谛枨鬄?，7，8的時(shí)候，我只制作了5個(gè)蛋糕，因此用概率論的知識(shí)，計(jì)算為：
預(yù)期銷售為3.75個(gè)。
那么預(yù)期缺貨呢?這個(gè)也可以通過概率論的知識(shí)求解，但是先通過直覺來感受一下，我每天制作5個(gè)蛋糕，當(dāng)需求小于等于5的時(shí)候，預(yù)計(jì)缺貨數(shù)量是0，當(dāng)需求為6的時(shí)候，缺貨1個(gè)；當(dāng)需求為7的時(shí)候，缺貨2個(gè)；當(dāng)需求為8的時(shí)候，缺貨3個(gè)
計(jì)算出的預(yù)期缺貨為 0.75個(gè)。
大家有沒有發(fā)現(xiàn) 4.5 = 3.75 + 0.75，即預(yù)期的需求等于預(yù)期能夠賣掉的 加上 預(yù)期缺貨的數(shù)量。巧合?還是真理?
離散的需求分布，非常有助于我們理解這3個(gè)概念：預(yù)期需求，預(yù)期銷量和預(yù)期短缺。建議你再看一遍，然后再往下。
而在需求為連續(xù)的情況下，用上述離散的分析是不可行的，因?yàn)樾枨笫遣豢筛F舉的。幸運(yùn)的是，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)通過復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)、概率精算已經(jīng)幫我們計(jì)算過了。大家可能知道標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表、標(biāo)準(zhǔn)泊松分布表。這里以正態(tài)分布為例，說明一下表格里面的幾列。
k, P[x<=k], G(k)分布代表什么意思
k：是偏離正態(tài)分布中心點(diǎn)的度。有些人用z表示
P[x<=k]: 在偏離k的情況下的概率
G(k): 在偏離k的情況下的缺貨概率
有點(diǎn)抽象，給個(gè)例子看看
假設(shè)某個(gè)業(yè)務(wù)的需求是符合正態(tài)分布的，均值Mean = 160, 標(biāo)準(zhǔn)差 SD= 45，我購買190個(gè)，那么預(yù)期缺貨多少個(gè)?
k = (190-160)/45 = 0.67
查表 G(k) = 0.1503
預(yù)期缺貨E[short] = 45 × 0.1503 = 6.67個(gè)
回到本系列課程開始的美式足球例子
c=10.9; p=24;
mean = 32000; SD = 11000
第一個(gè)案例：假設(shè)剩余的衣服沒有剩余價(jià)值，即g=0時(shí)，我們計(jì)算出的最佳采購數(shù)量是33,267件衣服，那么我們預(yù)期可以賺多少錢呢?還記得預(yù)期利潤的公式嗎?
(p-g) X E[x] = (24-0) * 32000 = 768,000
(c-g) X Q ? ?= (10.9-0)*33267 = 362,610
(p-g+B) X E[short] = ? 這個(gè)怎么辦呢？
我們知道E[short] = G(k) * SD, 那么必須計(jì)算出k才可以，k = (Q-mean)/SD = (33267-32000)/11000 = 0.115, 查表可得G(k) = 0.3441，則E[short] = 11000 X 0.3441 = 3785。
(p-g+B) X E[short] = (24-0-0)*3785 = 90,840
期望收益 E[P(Q)]= 768,000 - 362,610 - 90,840 = 314550
第二個(gè)案例：我們可以用7元的價(jià)格銷售超過預(yù)計(jì)需求的產(chǎn)品，根據(jù)上述的公式同樣可以計(jì)算。
期望收益 E[P(Q)]= 544,000 - 156,580 - 24,905 = 362514
由于我們可以用7元的價(jià)格銷售超量的產(chǎn)品，我們多購買了產(chǎn)品，而且，缺貨成本也小了，我們比之前多賺了15%的利潤。
這里有了一點(diǎn)供應(yīng)鏈體系中，上下游協(xié)調(diào)把整個(gè)鏈條的價(jià)值做大的思想，這個(gè)是供應(yīng)鏈管理的重要觀點(diǎn)，而在實(shí)踐中，每個(gè)個(gè)體都是以自己利益為重，難以達(dá)成所謂的“戰(zhàn)略聯(lián)盟”，因此，供應(yīng)鏈管理的價(jià)值難以發(fā)揮最大。
