? 如果兩個(gè)三角形擺在你面前，憑什么說(shuō)它們兩個(gè)全等的？你可能會(huì)說(shuō)三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，就說(shuō)明兩個(gè)三角形全等唄，不過(guò)這可沒(méi)有那么簡(jiǎn)單。有人會(huì)說(shuō)把一個(gè)三角形剪下來(lái)，放到另一個(gè)三角形上，如果兩個(gè)三角形重合，那么就可以判定它們兩個(gè)全等。這是不太明智的方法，現(xiàn)在既然我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識(shí)，就需要用高端的數(shù)學(xué)方法判斷兩個(gè)三角形全等，所以下面我們就來(lái)探討兩個(gè)三角形全等的條件。
? 我們知道，因?yàn)槿热切蔚男螤詈痛笮《纪耆嗤运幸粋€(gè)性質(zhì)，就是對(duì)應(yīng)邊都一樣長(zhǎng) ，對(duì)應(yīng)角都一樣大，如果把這些條件反過(guò)來(lái)說(shuō)，已經(jīng)知道了兩個(gè)三角形所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角都相等，是不是也就說(shuō)明了這兩個(gè)三角形全等呢？換句話(huà)說(shuō)，只要我們知道了兩個(gè)三角形的三個(gè)對(duì)應(yīng)邊和三個(gè)對(duì)應(yīng)角都相等，就可以判斷這兩個(gè)三角形全等。不過(guò)這樣算起來(lái)，三條邊加三個(gè)角，一共用了六個(gè)條件才判斷出兩個(gè)三角形全等。太麻煩了，這么多條件，難道非得如此不可嗎？少幾個(gè)條件行不行？所以我們來(lái)想想，能不能從這六個(gè)條件里拿掉幾個(gè)，看看最少需要幾個(gè)條件來(lái)確定兩個(gè)三角形全等。
? 我們先來(lái)看條件最少的情況。
? 假設(shè)只有一個(gè)條件，也就是兩個(gè)三角形，只有一邊或一角相等，這兩個(gè)三角形全等嗎？這樣肯定不靠譜啊，只滿(mǎn)足這一個(gè)條件的三角形，可以有無(wú)數(shù)個(gè)，肯定不能判定全等。
? 那么兩個(gè)條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎？
? 用同樣的方法，我們觀察到只有兩條邊相等的三角形，也不一定全等。同樣的，如果只有兩個(gè)角相等，也不能保證三角形是全等的，甚至一邊和一角相等的三角形依然不行，那么既然叫做三角形，我們就來(lái)試試三個(gè)條件的情況下，能否判定全等。
? 我們先來(lái)看看，三個(gè)角都相等的兩個(gè)三角形是否全等。
? 如圖所示：
? 三個(gè)對(duì)應(yīng)角都相等，但是顯然兩個(gè)三角形的大小不同，所以這個(gè)否定掉了。
? 那我們?cè)贀Q個(gè)思路，如果兩個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊都相等，能否判定全等？
? 我們之前學(xué)過(guò)三角形一個(gè)重要的性質(zhì)，就是穩(wěn)定性。也就是說(shuō)如果一個(gè)三角形的三條邊都確定了，那三角形的形狀也就跟著確定了，所以如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊都相等，那么不管三個(gè)邊怎樣組合，組成的三角形都是一樣的，這樣組成的兩個(gè)三角形肯定全等，所以三組對(duì)應(yīng)邊相等，可以判定兩個(gè)三角形全等。用符號(hào)表示就是（SSS）。
? 我們可以繼續(xù)驗(yàn)證，同樣用三個(gè)條件，可不可以用邊相等和角相等的一些組合來(lái)判定三角形全等呢？
? 如果一個(gè)三角形的兩邊都相等，那么角的位置可能有兩種情況，一種情況是角在兩條邊的中間，我們把這個(gè)叫做邊角邊。另一種情況那個(gè)角是夾角，我們可以把它叫做邊邊角，通過(guò)作圖，我們知道如果兩邊和其中夾角確定的話(huà)，只能畫(huà)出一種三角形，所以可以得出結(jié)論，兩邊和一夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。這個(gè)判定定理可以寫(xiě)作SAS，邊角邊。
? 如圖：
? 那邊邊角可以確定兩個(gè)三角形全等嗎？
? 通過(guò)作圖，我們發(fā)現(xiàn)邊邊角不能確定兩個(gè)三角形全等，如下圖所示：
? 我們?cè)賮?lái)看看，如果三角形的一條邊確定了，這條邊的兩個(gè)角也固定住，那么在這三個(gè)元素確定的條件下，可以畫(huà)出幾個(gè)三角形呢？
? 我們知道平面內(nèi)兩條直線只能有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)當(dāng)兩個(gè)角固定住的時(shí)候，延長(zhǎng)兩邊的反向延長(zhǎng)線，他們只能在一個(gè)點(diǎn)相交，所以只能畫(huà)出一個(gè)三角形，做不出別的樣子來(lái)。這樣我們也可以得出結(jié)論，兩個(gè)角和他們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。用符號(hào)表示就是ASA，角邊角。
? 如圖：
? 我們?cè)賮?lái)看一種情況，在角角邊的條件下，兩個(gè)三角形是否全等？
? 以前我們學(xué)過(guò)三角形的內(nèi)角和等于180度。當(dāng)兩個(gè)角確定的時(shí)候，那么第三個(gè)角的度數(shù)其實(shí)也確定下來(lái)了，剛才說(shuō)的角角邊的情況相當(dāng)于又轉(zhuǎn)化到了上一個(gè)角邊角的推理過(guò)程，我們已經(jīng)證明過(guò)了，所以邏輯推理一下兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，也就是角角邊，用符號(hào)表示AAS。
? 以上就是我們探討的判斷兩個(gè)三角形是否全等的四種情況，分別是，SSS，SAS，ASA，A AS。
? 探索完三角形全等的判定，還有更新奇好玩的有關(guān)三角形的知識(shí)等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)呢。在小學(xué)時(shí)我們學(xué)過(guò)三角形的面積，計(jì)算時(shí)要用到三角形的高。所謂三角形的高就是從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向?qū)呑龃咕€段，它的長(zhǎng)度就是從頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離。高不是一個(gè)孤立的概念，高是需要和頂點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的底邊配套的。那么三角形一共有三個(gè)頂點(diǎn)，三條邊，所以對(duì)應(yīng)的三角形一共有三條高，那么我們會(huì)有一個(gè)問(wèn)題？任意三角形三條高所在的直線都相交于一點(diǎn)嗎？是的，通過(guò)作圖，我們發(fā)現(xiàn)三條高都相交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)我們叫它垂心。
把三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)連接起來(lái)的線段叫做三角形的中線。這條中線把三角形分成了面積相等的兩部分，三角形的三條中線也相交于一點(diǎn)嗎？答案是的，如果現(xiàn)在有一個(gè)三角形的盤(pán)子，讓你用一根手指頂住他，保持盤(pán)子平衡不掉下來(lái)，那這個(gè)手指該頂在哪個(gè)點(diǎn)呢？這個(gè)問(wèn)題可以這樣解決，把三角形的三個(gè)中線畫(huà)出來(lái)，它們相交于一個(gè)點(diǎn)，手指頂住這個(gè)點(diǎn)，鐵盤(pán)子就會(huì)保持平衡不掉下來(lái)，這個(gè)點(diǎn)有個(gè)名字，我們叫它重心，可以簡(jiǎn)單理解為能使物體保持平衡的點(diǎn)，就叫做重心。
我們?cè)賮?lái)了解一下三角形的另一組特殊線段，也就是三角形的角平分線，那怎么做角平分線呢？首先以一個(gè)頂點(diǎn)為圓心畫(huà)弧，在兩邊找到兩個(gè)到頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，之后再分別以這兩個(gè)點(diǎn)為圓心畫(huà)兩段弧，找到這兩段弧的交點(diǎn)，最后連接三角形的頂點(diǎn)和這個(gè)交點(diǎn)，并延長(zhǎng)到這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊，這樣就畫(huà)出了一條角平分線。再用相同的方法做出另兩條角平分線，最后我們發(fā)現(xiàn)這三條角平分線就像中線和高線一樣，都相交于一點(diǎn)了，于是我們就又得出了一條結(jié)論，就是三角形的三條角平分線也是交于一點(diǎn)的。這個(gè)點(diǎn)我們叫它內(nèi)心。
因此，三角形的這三種線段有個(gè)共同的特點(diǎn)，就是在同一三角形中高線交于一點(diǎn)，中線交于一點(diǎn)，角平分線也交于一點(diǎn)。
三角形具有穩(wěn)定性，這個(gè)特征被廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活中，比如蓋房子的時(shí)候，屋頂?shù)娜卿摷埽鼙ＷC屋頂?shù)慕Y(jié)實(shí)，我們每天都能看到的自行車(chē)，他的車(chē)架也是三角形的結(jié)構(gòu)。
