【題目】
一個機器人位于一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為 “Start” ）。
機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為 “Finish”）。
現在考慮網格中有障礙物。那么從左上角到右下角將會有多少條不同的路徑？
網格中的障礙物和空位置分別用 1 和 0 來表示。
示例 1：
示例 1.png
輸入： obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
輸出： 2
解釋： 3x3 網格的正中間有一個障礙物。
從左上角到右下角一共有 2 條不同的路徑：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
示例 2.png
輸入： obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
輸出： 1
提示：
m == obstacleGrid.lengthn == obstacleGrid[i].length1 <= m, n <= 100-
obstacleGrid[i][j]為0或1
【題目解析】
解題方法
這個問題是典型的動態規劃問題，其核心思想在于如何處理網格中的障礙物。我們創建一個與原網格大小相同的動態規劃表dp，其中dp[i][j]表示到達[i,j]位置的路徑數。關鍵步驟如下：
-
初始化：初始化
dp數組的第一行和第一列。如果遇到障礙物（即obstacleGrid[i][j] == 1），則該位置及其后面的位置均不可達，dp值為0。 -
狀態轉移：對于
dp表中的每一個位置，如果該位置有障礙物，則到達該位置的路徑數為0；如果沒有障礙物，則當前位置的路徑數等于其上方和左方兩個位置的dp值之和。 -
返回結果：最后，
dp[m-1][n-1]即為到達網格右下角的路徑總數。
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
if not obstacleGrid or not obstacleGrid[0]:
return 0
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
dp = [[0] * n for _ in range(m)]
# 初始化第一列
for i in range(m):
if obstacleGrid[i][0] == 1:
break
dp[i][0] = 1
# 初始化第一行
for j in range(n):
if obstacleGrid[0][j] == 1:
break
dp[0][j] = 1
# 填充dp表
for i in range(1, m):
for j in range(1, n):
if obstacleGrid[i][j] == 1:
dp[i][j] = 0
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
return dp[m-1][n-1]
執行效率
image.png
【總結】
適用問題類型
- 問題類別：動態規劃適用于多種問題類型，特別是可分解為重疊子問題的情況。"不同路徑 II"問題，考慮網格中障礙物的存在，是動態規劃在計數問題中的一種應用。
- 示例問題："不同路徑 II"挑戰在于計算從網格左上角到右下角，繞過障礙物的所有可能路徑數量。
解決算法：動態規劃
- 算法核心：動態規劃算法通過構建DP表（一般是二維數組）保存解決過的子問題的解，避免重復計算。該方法清晰定義了狀態、狀態轉移方程、初始狀態和邊界條件，為問題提供系統化解決框架。
- 系統框架：動態規劃為解決包含障礙物的路徑問題提供了一種系統化求解方法，通過逐步構建解空間來達到最終解。
時間復雜度與空間復雜度
- 時間復雜度：O(m*n)，其中m和n分別代表網格的行和列數。這是因為算法需要遍歷整個網格來為每個單元格計算到達它的路徑數。
- 空間復雜度：O(m*n)，主要空間開銷來源于存儲每個單元格到達路徑數的DP表。通過狀態壓縮，可以在特定條件下將空間復雜度降至O(n)或O(m)。
實踐意義
- 廣泛應用：動態規劃算法不僅適用于"不同路徑 II"這類路徑計數問題，還廣泛應用于字符串處理、背包問題等多種復雜問題的解決，對提升編程和問題解決能力有顯著幫助。
- 優化與應用：通過優化計算過程，動態規劃算法不僅提升了執行效率，也增強了對復雜問題的處理能力，是算法學習和應用中的關鍵技能之一。
總結而言，動態規劃方法對于解決"不同路徑 II"中考慮障礙物的路徑計數問題展現出了明顯優勢，通過減少重復計算并系統地構建解空間，顯著提高了問題解決的效率和可行性。
