二項(xiàng)分布的假設(shè)檢驗(yàn)

2017年5月9日

一天,小明跟小黃說,他能夠分辨出可口可樂和百事可樂。小黃第一反應(yīng)就是不信,因?yàn)樗X得可口可樂和百事可樂味道幾乎沒有區(qū)別,還有就是小明經(jīng)常吹牛。小黃這次想探究下,到底小明這次到底是不是在吹牛。

小黃機(jī)智地設(shè)置了這么一個(gè)實(shí)驗(yàn)。他買了兩大瓶可樂,一瓶可口,一瓶百事。分別分成了20杯,然后每次拿一杯可口、一杯百事放到小明面前,讓小明分辨哪一杯是可口可樂。這么試驗(yàn)了下來,20次里面,小明答對(duì)了15次。小明說:"看,我有能力分辨吧,20次才錯(cuò)了5次。那5次只是不小心而已。"小黃說:"平均來說瞎猜能猜對(duì)10次,你猜對(duì)15次,只是你運(yùn)氣好而已,其實(shí)你根本分辨不出兩種可樂。"

兩人爭執(zhí)不下。

后來,小黃思考了一下,爭執(zhí)的點(diǎn)有兩個(gè):

(1)到底能有多大把握認(rèn)為小明是瞎猜的?

(2)如果再讓小明分辨一組可樂,他成功的把握有多大?

私下里學(xué)習(xí)了一下統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí),找到了問題的答案。

先假設(shè)小明是瞎猜的,那么小明猜對(duì)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布??梢愿鶕?jù)二項(xiàng)分布的密度函數(shù)求出小明猜對(duì)0~20次的概率。


從圖中的"累計(jì)概率"可以看出,如果是瞎猜的話,猜中15次及以上的概率是(1-0.9793)≈0.02。也就是說,僅憑瞎猜,猜對(duì)15次及以下的概率極?。ù蠹s2%),基本上可以認(rèn)為小明不是瞎猜的。用心看一下表格就可以知道,只要小明猜對(duì)14次及以上,我們就有94%以上的把握斷定小明不是瞎猜的。

雖然小明不是瞎猜的,但是他20次只對(duì)了15次,那么做單次實(shí)驗(yàn),他猜對(duì)的概率是多大呢?

我們知道,伯努利分布的情況下,多次實(shí)驗(yàn)之后,頻數(shù)對(duì)接近于概率。從已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),我們可以猜測,小明猜對(duì)的概率是15/20=75%。

從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來說,這是二項(xiàng)分布的參數(shù)p的假設(shè)檢驗(yàn)。

后面我還會(huì)寫假設(shè)檢驗(yàn)。

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