存在性定理
18、19世紀的數學家整了很多微分方程后發現很多解方程的方法用不了，類似多項式方程的情形（高斯解四次以上方程失敗后轉而證明根的存在性）。微分方程如果求出了顯解，就證明了根的存在性，現在求顯解失敗，就需要證明解的存在性，雖然不能看出解是啥或解的形式，但還有很多用處。首先，因為微分方程幾乎都是物理問題的數學描述，解的存在性至少保證解方程不是無謂的嘗試，其次，存在性定理能指出關于給定的物理問題必須知道的條件，即什么初始條件和邊界條件保證有一個解，且最好保證唯一解。另外隨著存在性定理工作的推進，可以意識到原先不知道的目標：解是否隨初始條件連續變動？初始條件或邊界條件變化時是否產生新的現象？比如由一個行星的初始速度值得到的拋物軌道，初始速度變化可能得到橢圓軌道。最后，之前解方程的方法論如狄利克雷原理或格林原理的運用都先假設了一個特解的存在，沒有建立特解的存在性。
在敘述存在性定理前，先說明偏微分方程的一種分類。雖然拉普拉斯和泊松做了類似工作，不過今天的標準分類是但杜·布瓦一雷蒙引入的，1839年他用特征線方法對一般的齊次二階線性方程進行分類，方程系數是x,y的函數，且一階、二階導連續，特征曲線到xy平面的投影（這些投影也叫特征）滿足
，當TR-S^2大于0小于0或等于0時，特征分別為虛值、相異實值和相同實值，曲線分別為橢圓的、雙曲的和拋物的。然后他引入新的獨立實變量ξ=Φ(x,y)和η=ψ(x,y),將一般線性方程變換為下面三種正式形式：
曲線族Φ(x,y)=常數和ψ(x,y)=常數是兩族特征曲線的方程。三類方程的補充條件不同，對a）橢圓，考慮xy平面的一個有界區域并給定u在邊界上的值（或一個等價條件），求u在區域內的值；對b）雙曲線的初值問題，必須在某初始曲線上給定u和δu/δn，還可給定邊界條件；對c）拋物線，今天我們知道可以加上一個初始條件和邊界條件，但當時不清楚適當的初始條件。偏微分方程的分類法也推廣到了多變量方程、高階方程和方程組。其實19世紀早期還不清楚方程分類及其補充條件，不過后來大家漸漸意識到差別，并在定理的證明中出現。
存在性定理成為柯西的主要工作，他強調求顯解失敗的場合通常可證得解的存在性。他注意到階數大于1的偏微分方程都可化為偏微分方程組，于是討論方程組解的存在性，該方法被他稱為極限的計算，今天叫做優勢函數法。這個方法本質是證明：具有一定收斂區域的自變量的冪級數確實滿足該方程組。他的討論僅限于方程系數和初始條件均可解析的情形。考慮兩個自變量的二階方程r=f(z,x,y,p,q,s,t)，其中r是z對x的二階偏導，而f對變量解析，此時必須在初始線x=0指明z(0,y)=z0(y),δz/δx(0,y)=z1(y)，其中z0和z1是解析的（初始線可以為曲線，此時z對x的偏導必須改為對法向的偏導），滿足以上條件時z=(x,y)存在且唯一，并在某個從初始線出發的區域內解析。柯瓦列夫斯卡婭(Sophie Kowalewsky,1850-1891)獨立得到了柯西結果略改進一點的形式，她是魏爾斯特拉斯的學生，并繼承了他的思想，也是少數知名女數學家之一。（首個獲得科學院頒獎的女性是蘇菲姬曼 Sophie Germain,1776-1831，她關于彈性的論文獲得了法國科學院的獎金）柯瓦列夫斯卡婭1888年關于剛體繞定點旋轉問題的論文也獲得了巴黎科學院的獎金，1889年她在斯德哥爾摩當數學教授。后來古爾薩改進了柯西和柯瓦列夫斯卡婭的證明。
如果給定二階方程形為G(z,x,y,p,q,r,s,t)=0.那么解方程前要先解出r，設方程是,其中ABCDEF是x,y的函數，為了解出r必須有δG/δr≠0，如果等于0，柯西問題的解不一定存在，即使存在也不唯一。有更多自變量時（現在考慮3個自變量），如果方程寫為：
例外情形是初始曲面S滿足一階偏微分方程
沿這樣的曲面，方程兩個解可以相切，甚至有高階接觸，這個性質和一階方程f(x,y,u,p,q)=0的特征曲線性質一樣，因此這些曲面也叫特征，曲面S在物理上就是波前。
蒙日和安培（就是我們知道的那個安培，André-Marie Ampère,1775-1836)也知道兩個自變量時的特征理論，而巴克隆德（Johan Oskar?Backlund，1845-1922）首次將理論推廣到超過兩個自變量的情形，但沒有多少人知道，一直到Jules Beudon(1869-1900)再次得到結果。
20世紀法國主要的數學家哈達瑪（Jacques Solomon Hadamard，1865-1963）在1903年把特征理論推廣到任意階的偏微分方程，比如考慮自變量為x1,x2,...,xn，應變量為ξ，η，ζ的三個二階偏微分方程的方程組，對這個方程組的柯西問題是：在n-1維“曲面”Mn-1上給定了ξ，η，ζ和它們對xn的偏導值，求函數ξ，η，ζ。除非Mn-1滿足一個六次的一階偏微分方程，比如H=0，否則函數ξ，η，ζ的二階和高階導數都可以計算。所有滿足H=0的“曲面”是特征“曲面”。H=0是由
定義的特征線（曲線），其中P1,P2,...,Pn-1是xn沿“曲面”Mn-1所取的對x1,x2,...,xn-1的偏導數。這些線叫做原二階方程組的雙特征，它們在光理論中表示射線。
目前特征在偏微分方程理論中十分重要，比如在特征理論的基礎上，達布曾給出積分兩個自變量的二階偏微分方程的有效方法，把問題轉化積分一個或多個常微分方程，包括了蒙日、拉普拉斯和其他人的方法。
