曲線坐標
格林引入的許多重要概念，其意義延伸到了位勢方程之外的領域。最先關注熱方程的數學家兼工程師G·拉梅（Gabriel Lamé，1795-1870）引入了另一個重要技巧：曲線坐標系，也可以用于多種類型的方程。1833年拉梅指出，熱方程只對表面垂直于坐標平面x=常數，y=常數，z=常數的導體是解出的，他想引入新的坐標系和相應坐標面。歐拉和拉普拉斯之前已經掌握了直角坐標變換到球坐標的方法，他們使用球坐標ρ、θ、Φ，坐標面ρ=常數是球面，θ=常數是平面，Φ=常數是錐面。
新坐標系和坐標曲面有兩重價值，一、在直角坐標系中，一個偏微分方程可能不能分離成直角坐標系中的常微分方程，但是在另一坐標系中可能是可分離的，二、物理問題需要，如橢圓上的邊界條件可以在一族以橢球面組成坐標面的坐標系中簡單表示，而在直角坐標系中必須用相當復雜的方程。而且在適當坐標系中變量分離后，這個邊界條件變成恰好可用于所得常微分方程的一個方程。
為了在新坐標系中解熱方程，他引入了幾個新坐標系，主要是三族曲面：
這三族曲面是橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面，它們具有相同焦點。一族中的任一曲面垂直地交割所有其它兩族中的曲面（實際在曲率線上交割）。這個新坐標系稱為橢球坐標系（拉梅稱其為橢圓的，但這個名字被橢圓坐標系征用了）。
拉梅把穩態熱方程（溫度與時間無關）即位勢方程變換到這些坐標系，并指出可以變量分離把偏微分化為三個常微分方程，當然這些方程必須在適當邊界條件下求解。1839年他進一步研究在三軌橢球體中的穩態溫度分布，并對1833年論文處理的問題給出了一個完全解。同時他引入了另一個曲線坐標系，現在稱為球錐系，其中坐標曲面是一族球面和兩族錐面。拉梅也用球錐系解過熱傳導問題，但主要是用橢球系寫了許多熱傳導的論文。
互相正交的曲面族是解偏微分方程的一個重要課題，1834年拉梅考慮了任何三族互相正交的曲面的普遍性質，給出了沿用至今的方法：在任何正交坐標系中表示偏微分方程的過程。
愛德華海涅(1821-1881)沿拉梅的思路繼續工作，他在1842年博士論文中不僅確定了旋轉橢球體內部的（穩態溫度）位勢（給定位勢在表面的值），而且確定了這種橢球體外部和兩同焦旋轉橢球面之間的殼體位勢。
因為相互正交坐標系能解決很多問題，拉梅誤以為所有偏微分方程都能通過尋找適當坐標系求解，后來他意識到這個問題，在1859年出版了《曲線坐標講義》討論整個課題。盡管三族互相正交的曲面作為坐標系不能解決所有偏微分方程，但這個新技術在許多問題的處理上占有優勢。曲線坐標的使用從位勢方程移植到了其它方程，如émile Léonard Mathieu(1835-1890)在1868年處理橢圓薄膜振動問題時，引入橢圓柱坐標系處理波動方程，變換后的函數稱為Mathieu函數。同年安里西·韋伯(Heinrich Weber,1842-1913)研究方程，考慮了由完整橢圓圍成的區域、由兩個同焦橢圓弧和與橢圓弧同焦的兩雙曲弧圍成的區域、以及橢圓、雙曲線變為同焦拋物線的特殊情形。他引進了在此坐標系中便于展開的函數，現在稱為韋伯函數或拋物柱函數。
拉梅開創的想法（即使用曲線坐標）只是一個開端，后續引入了許多坐標系，以及變量分離得到的常微分方程，還有求解時得到的各種特殊函數。特殊函數理論通常是研究物理具體問題時對函數及其性質的討論。
