大家好 在有關聚合的最后一講里我們來談談偏好的聚合
這將會和以往我們看到的內容有所不同
回憶一下 我們講中心極限定理時我們看到的是數字或行為的聚合
我們講生命游戲和細胞自動機時我們看到的是規則的聚合
現在我們來談談偏好的聚合
偏好將會有一種不同的結構
一種和規則與數字不同的數學結構
為了了解怎樣聚合偏好首先我們需要了解什么是偏好
我們是怎樣表示偏好的？讓我們思考一下
假如我問你：你偏好什么？
你是更喜歡蘋果呢還是香蕉呢？你可能會說你更喜歡蘋果
而另外一個人可能會說 不 我更喜歡香蕉又或者 我可以問
那么香蕉和椰子呢？你是更喜歡香蕉還是椰子？
你可能回答你更喜歡香蕉
由此可知其中一種記錄偏好或考慮偏好問題的方法就是像這樣逐個比較
我們可以給人們一系列選擇問他們更喜歡哪個
當考慮到總體偏好時
我們可以列出于某人偏好的完整列表
接下來我們將多次談到的東西與一個叫做“偏好順序”的概念有關
它是一種對可供選擇的選項之間的排序通常而言 這些選項同屬一個類別
所以我可能有一個關于水果的偏好順序
也可能有一個關于蔬菜的偏好順序
還可以是有關于房子的或車的偏好順序我可以對同一個類內的不同的東西進行排序
接著我們會問：有多少種偏好順序呢？
偏好順序是什么樣的呢？
讓我們假設現在有三樣東西：蘋果、香蕉和椰子
對于蘋果和椰子 有兩種可能性
要么我更喜歡蘋果在這兒我畫一個大于號來表示
要么我更喜歡香蕉所以這兒有兩種可能性
如果換成香蕉和椰子的話我可能更喜歡香蕉
或者我更喜歡椰子所以這兒也是有兩種可能性
最后當比較蘋果和椰子時我可能更喜歡蘋果
或者更喜歡椰子所以這兒又是兩種可能性
2 × 2 × 2 = 8
所以現在有八種不同的可能性對于這三種水果可以有八種不同的偏好類型
現在有許多不同的可能性
每一種我都可以由一個大于號來表示
即表示我更喜歡哪種水果我偏好的是哪一種水果
這里有一點小問題讓我把這些先擦掉一會兒
這兒有一點小問題讓我們看看這些特定的偏好
這些偏好告訴我們我喜歡蘋果多過香蕉
喜歡香蕉多過椰子以及喜歡椰子多過蘋果
這是不成立的 因為如果我喜歡蘋果多過香蕉又喜歡香蕉又多過椰子
那么我應該喜歡蘋果多過椰子所以這樣是不成立的
正確的應該是這樣的這一特性我們叫作偏好傳遞
所以偏好滿足“傳遞性” 它是可傳遞的
我們通常假定人們的偏好是可傳遞的
另一種考慮偏好傳遞的方式是人是理性的
因此如果說 哦 我喜歡蘋果多過香蕉
喜歡香蕉多過椰子 但是喜歡椰子又多過蘋果那么這將是不符合理性的
這是絕不可能的 因而我們認為理性偏好作為一種偏好具有傳遞性
如果我喜歡A超過B 喜歡B又超過C那么我喜歡A多過C
然后就有了一個疑問：這是不是真的呢？
假定蘋果大于香蕉 香蕉大于椰子如果這意味著蘋果一定大過椰子
那么我可能擁有的偏好數量就有了限制
不是任何一種可能性都是可能的有一些可能性是不可能的 現在我們有了疑問：
這種情況下我可以有多少種偏好可能性呢？實際上只要通過很簡單的計算我們就解決這個問題
之前我們也做過類似的計算這意味著將出現一種我最喜歡的水果
它將排在第一 還有一種我第二喜歡的水果
然后是第三喜歡的現在有多少不同的可能性了呢？
我最喜歡的可能是蘋果 也可能喜歡香蕉或者是椰子
現在有三種可能性 我選擇蘋果
一旦我第一種選擇了蘋果第二種我就只有兩種選擇：香蕉或椰子
我選擇了香蕉 但我本可以兩者之中的任何一種
當我選擇第三種水果時 我就只剩下一個選項了所以共有3 × 2 × 1 = 6種可能性
針對有三個選項的情況有六種符合理性的偏好可能性
所以當我們考慮理性偏好時
我們要考慮到偏好順序：哪一種最先 然后是其次 再其次
在一個更為復雜的模型里我們允許相等關系的存在
我可以說對香蕉和椰子的喜歡程度相同
但在這里我們假設你喜歡其中一樣勝過另一樣
針對這些偏好 我們首先要考慮到的是
如果在偏好中引進理性假設
那么實際得到的偏好可能性會比沒有理性假設時要少
現在讓我們來玩個游戲
在這個特殊模型里 我們假設存在一群有理性偏好的人
我想要問的問題是他們的偏好應該怎樣聚合
思考一下：
每一個人都有偏好 我要知道的是：社會整體或某一個家庭的偏好是什么？
一個家庭中每一個成員對這些水果都有自己的偏好
每個人都有自己的偏好那么我能對整個家庭的偏好做出任何判斷嗎？
首先要注意的是 如果每個人的偏好都一樣那么這個問題就只是小菜一碟
如果說家里每個成員對水果偏好程度排序是：蘋果 然后是香蕉 最后是椰子
那我們就可以說這個家庭的偏好順序是：蘋果 然后是香蕉 最后是椰子
如果不同的人喜歡不同的東西那么這個問題就有點棘手了
如果我們中的某個人對水果的偏好順序是：蘋果、香蕉、椰子
而另一個人則是香蕉、椰子和蘋果這樣一來如果我們在選擇順序上不同
要判斷我們的集體偏好是什么就是個問題了
什么才是我們的集體偏好呢？因此這變成了一個聚合問題
我們知道每一個人的偏好然后想知道什么是集體偏好
現在問題開始變得有趣了讓我們來仔細看一下
這里有一些偏好 第一個人喜歡蘋果多于香蕉 香蕉又勝過椰子
而第二個人最愛香蕉 然后是蘋果最后是椰子
第三個人則是蘋果、香蕉和椰子
我們順利掌握了這些偏好那么集體偏好是什么呢？
在這里我們喜歡的東西各有不同但很明顯椰子應該是排在最后的
因為每個人把椰子放在最后所以我們把椰子放在這里
也就是最后的位置現在來看一下蘋果和香蕉該怎么排
現在 我們可以做的是平等地對待每一個人
不要假設第二個人比第一個人重要一點或者比第三個人重要一點
我們把每個人都平等對待然后我們可以說：我們來投個票吧
如果我們投票的話有兩個人最喜歡蘋果 有一個人喜歡香蕉
所以我們就可以把蘋果放在這里我畫蘋果的技能可不咋地
蘋果比香蕉好一點哦 這香蕉畫得真是太糟糕了
最后有一只椰子它們構成了一個偏好集合：
蘋果、香蕉、椰子這個問題很簡單
讓我們來看看偏好順序更多樣化一點的情況
現在第一個人的偏好順序是蘋果、香蕉、椰子第二個人的偏好順序是香蕉、椰子、蘋果
而第三個人的偏好順序是椰子、蘋果 最后是香蕉那么我們想想
現在發生什么事呢？似乎沒有可以明顯勝出的水果
但我們可以做的是：讓我們做個配對比較吧
讓我們把這些結果對照一下
首先是椰子和蘋果 如果我們要比較椰子和蘋果我們注意這一點
讓我們再一次把這些人標記為一號、二號和三號如果我們對比椰子和蘋果
我們看到二號和三號更喜歡椰子
所以椰子以二比一勝出如果我們對比椰子和香蕉
我們看到一號和二號都喜歡香蕉勝過椰子
所以香蕉將勝出 讓我們把椰子和香蕉圈一下椰子將勝過蘋果
而香蕉勝過椰子所以我們可以合理地得出結論：
香蕉將勝過蘋果
因為香蕉勝過椰子 椰子又勝過蘋果
所以香蕉將勝過椰子讓我們檢查一遍確認一下
我們對比了蘋果和香蕉我們看到一號更喜歡蘋果而非香蕉
二號則喜歡香蕉勝過蘋果但是三號卻喜歡蘋果勝過香蕉
一號和三號都更喜歡蘋果
所以蘋果勝出 看看這個組這是一個集體選擇
也就是集體偏好這個集體喜歡椰子勝過蘋果
喜歡蘋果勝過香蕉 但卻喜歡香蕉勝過椰子
這是不合理性的 沒有顯示出傳遞性這事兒很吊詭
集體中每一個人都是理性的他們的偏好都符合傳遞性
沒有任何矛盾之處 但在投票時
當我們試著將這些偏好聚合在一起時我們得到的結果卻并不一致
這是一種聚合悖論 在我們談論聚合時
一個簡單的規則可能創造了一個復雜的現象
我們在這兒要表達的意思是偏好或其他結構聚合時會有一種特殊的屬性：
聚合的部分所具有的某些性質可能是聚合結果所沒有的
每一個的都是理性的 但聚合結果卻是非理性的
專業上稱這為孔多塞悖論（投票悖論）每個人都是理性的
每個人都有一個理性偏好集合但當我們投票時
聚合結果卻是非理性的讓我們返回水果的例子看一下
聚合結果表明 椰子與蘋果比較 集體更喜歡椰子蘋果與香蕉相比 集體更喜歡香蕉
所以你將認為集體必然喜歡椰子多過香蕉
但事實上如果你讓人們投票選擇他們將喜歡香蕉多過椰子 這個就是孔多塞悖論
每個人都是理性的 但是集體卻是非理性
這意味著投票可能會非常嚴重后果這一后果是：
當我們想到用投票解決問題時 出乎我們意料的是我們并不一定會得到一個正確的結果
我們可能得到一個幾乎是隨機的結果這意味著一件事：
人們可能會在投票時使用策略所以在稍后的課中
當我們開始建立人們如何投票的模型時那是在接近課程結束的時候
我們將了解到事實上聚合并不真的有效
聚合還是有一些問題的偏好聚合也有一點問題
但聚合仍將發展出新的動機、機會和情景在這些情境中人們可能會想要控制議程
隱瞞他們的偏好或者故意歪曲他們的偏好
以獲得他們想要的結果選水果就是個例子
在這個例子里集體偏好并不能給我們想要的對了徹底明白這一點我們再返回看一下
每個人的偏好都是理性的 具有傳遞性的
這與你期待的完全一致但當你看這個集體偏好時可以發現它是非理性的
因而聚合是一個有趣的概念這也是社會科學
在這個特殊的例子中 政治如此有趣的原因
因為發生在宏觀層面上的東西在邏輯上似乎是自相矛盾的
即使大概它走出宏觀層面時就完全沒有問題
我們已經看到了幾種不同形式的聚合我們看到了數字在中心極限定理中的聚合
我們在生命游戲和一維細胞自動機模型中
看到了規則的聚合我們意識到
可以從簡單的部分中得到非常復雜的東西這一節中我們看到了偏好的聚合
我們很好奇在其他數學結構也就是排序中的聚合是怎樣的
我們發現有以下兩個性質：
即使在數學意義上是可傳遞的在社會學意義上是理性的
然而排序聚合的結果未必是可傳遞性的和理性的
我們發現當排序逐漸在宏觀上聚合時可能喪失邏輯一致性
這些關于聚合的有趣的方面我們將通過整個課程來了解
這些特殊的模型中沒有一個是真實的
但它們卻是最為基本的為我們思考問題打下了基礎
我希望這些課程至少能教你們一件事
即讓你們領略到把事情聚合起來是多么神秘和復雜
以及為什么社會與組成它的部分非常不同謝謝大家