福州市鼓樓第一中心小學(xué) 林漢銘
“分?jǐn)?shù)”在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中扮演著重要的角色。分?jǐn)?shù)所具有的“量”和“率”雙重屬性，猶如一條細(xì)繩將除法、比、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等模塊有效地串聯(lián)在了一起。對(duì)分?jǐn)?shù)的深度理解，有利于打通各個(gè)模塊之間的壁壘，促使學(xué)生可以從更上位的角度，對(duì)數(shù)與代數(shù)的體系有一個(gè)更加立體的認(rèn)識(shí)。我有幸和盧聲怡老師一同參與“小學(xué)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)研修系列活動(dòng)”。在研課和磨課的過(guò)程中，我收獲頗豐，以下與大家分享體驗(yàn)和思考。
1.聯(lián)合研課，閱讀資料梳理脈絡(luò)
在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之前，我和盧老師先對(duì)多個(gè)版本教材進(jìn)行了橫向?qū)Ρ取Ｎ覀儼l(fā)現(xiàn)人教、北師、蘇教版的教材都從分物開(kāi)始引入分?jǐn)?shù)，但細(xì)微不同的是人教、北師版對(duì)于分?jǐn)?shù)定位傾向“率”屬性，對(duì)于“量”屬性沒(méi)有涉及。然而，蘇教版除了主打“率”屬性以外，還巧妙地追加了“量”的連接。從平均分多個(gè)物體逐漸到平均分1個(gè)物體，進(jìn)而順理成章地得到了半個(gè)，即二分之一個(gè)，接著再進(jìn)一步研究“二分之一”。從量入手，過(guò)渡到率，顯得更加符合學(xué)生認(rèn)知邏輯，也間接打通了除法和分?jǐn)?shù)的部分聯(lián)系，初步體會(huì)1?2=1/2。
不僅如此，我們又查閱了很多分?jǐn)?shù)的相關(guān)資料，這使我們對(duì)分?jǐn)?shù)脈絡(luò)有了更加深入的理解。從定義角度，分?jǐn)?shù)就有4重不同的定義，除了即將要學(xué)習(xí)的份數(shù)定義以外，分?jǐn)?shù)還有商定義、比定義以及公理化定義。從HPM視角來(lái)看，現(xiàn)在我們所看到的分?jǐn)?shù)，并不是一開(kāi)始就是這個(gè)模樣，早期的分?jǐn)?shù)沒(méi)有分?jǐn)?shù)線且分子分母都是以圖形呈現(xiàn)，之后在漫長(zhǎng)的歷史演變過(guò)程中，分?jǐn)?shù)逐漸數(shù)字化，分?jǐn)?shù)線也隨之增加。從量率同行的角度，孩子們更多的關(guān)注分?jǐn)?shù)的“率”，而忽略了分?jǐn)?shù)的“量”，所以當(dāng)問(wèn)題中混合“量”和“率”時(shí)，孩子們常常容易混淆。
出于以上考慮，我們初步把教學(xué)主線定位成為：感受“一半”和“半個(gè)”→認(rèn)識(shí)1/2 → 再識(shí)幾分之幾→ 創(chuàng)造1/4→用分?jǐn)?shù)講故事。這樣的設(shè)計(jì)不僅有效整合了本單元中幾分之一、幾分之幾的相關(guān)內(nèi)容，還兼顧了“量率同行”。
2.兩次試上，關(guān)注學(xué)情聚焦沖突
基于設(shè)計(jì)的主線，我們?cè)O(shè)計(jì)了三個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)。學(xué)習(xí)任務(wù)1：分月餅，標(biāo)出1/2在哪？（目標(biāo)：初步認(rèn)識(shí)1/2，理解1/2的含義）；學(xué)習(xí)任務(wù)2：再寫出一些這樣的分?jǐn)?shù)，想想它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（目標(biāo)：加深分母和分子的理解，體會(huì)分母表示平均分幾份，分子表示這樣的幾份）；學(xué)習(xí)任務(wù)3：選一個(gè)圖形，在圖形中畫出1/4，并把1/4標(biāo)出來(lái)（目標(biāo)：進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)）；課后擴(kuò)展：選一個(gè)分?jǐn)?shù)，用它說(shuō)一個(gè)故事（目標(biāo)：逆向，還原情境）。
通過(guò)兩次不同校際的試上，課程總體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，循序漸進(jìn)。孩子們?cè)谥饾u感受和理解分?jǐn)?shù)的意義的同時(shí)，有效地激發(fā)了對(duì)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的興趣。當(dāng)然，我們也發(fā)現(xiàn)了一些共性問(wèn)題：1.從孩子們的角度，本課程對(duì)孩子們最大的挑戰(zhàn)就是對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的精準(zhǔn)表達(dá)，特別是“每份是它的二分之一”這句話，孩子們經(jīng)常表達(dá)成“每份是二分之一”；2.在分月餅的過(guò)程中，孩子們對(duì)于“1/2在哪？”具有認(rèn)知沖突，有的孩子認(rèn)為其中的一份表示1/2，有的孩子認(rèn)為中間的分割線表示1/2，還有一部分的孩子認(rèn)為每一份都可以表示1/2。3.初步方案的橫縱容量較大，在“認(rèn)識(shí)幾分之一”之后，課程時(shí)間所剩不多，根本無(wú)法支撐對(duì)圖形1/4探究的總時(shí)長(zhǎng)。
介于這些發(fā)現(xiàn)，我們開(kāi)始進(jìn)一步思考如何對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化處理。思考方向主要有兩個(gè)：1.如何整合任務(wù)，使得在有限時(shí)間內(nèi)從多個(gè)維度實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義理解的多元化和最大化？2.如何讓孩子們能夠更加精準(zhǔn)地做出表達(dá)？
3.反復(fù)打磨，多維建構(gòu)深度理解
在后續(xù)的打磨中，我們做了更細(xì)致地調(diào)試：
（1）以中秋為情景，通過(guò)“將盒子里的月餅分給兩個(gè)好朋友，怎么分比較公平？”，引出“平均分成2份”，進(jìn)而符號(hào)化表示為“÷2”，這樣一來(lái)給了分?jǐn)?shù)和除法一個(gè)有效的接口。之后，通過(guò)改變盒子里月餅的數(shù)量，讓孩子感受雖然盒子里月餅的數(shù)量不斷發(fā)生變化，但每個(gè)人分到月餅的數(shù)量始終是“這個(gè)盒子的一半”。不僅如此，通過(guò)感受每人分到月餅的數(shù)量變化（2個(gè)→ 1個(gè)→半個(gè)），進(jìn)而引發(fā)“半”可以用什么數(shù)來(lái)表示？，感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。這樣的調(diào)試，使得分?jǐn)?shù)與除法產(chǎn)生縱向聯(lián)結(jié)，將分?jǐn)?shù)的“量”和“率”做到有機(jī)的結(jié)合。
（2）學(xué)習(xí)任務(wù)一：這個(gè)月餅的1/2在哪？先分一分，再把“1/2”標(biāo)在合適的位置。本活動(dòng)聚焦學(xué)生認(rèn)知沖突，過(guò)程圍繞“1/2在哪？”這個(gè)核心問(wèn)題，依托紙片，讓學(xué)生初步理解1/2含義。
（3）學(xué)習(xí)任務(wù)二：從分?jǐn)?shù)的寫法和讀法上，你對(duì)1/2有什么新的認(rèn)識(shí)？
從讀寫兩個(gè)角度出發(fā)，對(duì)1/2展開(kāi)更加深度解讀，從而加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，可以讓孩子們從原來(lái)分月餅的具體情境脫離出來(lái)，完成更加抽象的理解，同時(shí)也非常符合現(xiàn)階段對(duì)孩子數(shù)學(xué)閱讀能力培養(yǎng)的需求。
（4）學(xué)習(xí)活動(dòng)三： 再寫出三個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)，選一個(gè)向大家介紹它的含義。學(xué)習(xí)活動(dòng)開(kāi)放，一方面對(duì)孩子們掌握幾分之一的含義進(jìn)行有效評(píng)估，另一方面讓孩子們展開(kāi)想象創(chuàng)造更多的幾分之幾。在實(shí)踐過(guò)程中，本環(huán)節(jié)的學(xué)生生成一般出現(xiàn)三類，第一類學(xué)生生成寫出的是幾分之一，第二類學(xué)生生成寫出的是幾分之幾，第三類學(xué)生生成會(huì)寫出幾分之幾（假分?jǐn)?shù)）。雖然第三類以孩子現(xiàn)有的認(rèn)知還比較難理解，卻在小小的心靈中埋下了無(wú)比的好奇。在交流中孩子們感悟分母表示平均分幾份，分子表示有這樣的幾份，很好做到三、五年級(jí)對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的一致性。從這個(gè)角度孩子們很容易理解像50/100這樣的分?jǐn)?shù)，表示將一個(gè)物體平均分成100份，有這樣的50份。這樣也為后續(xù)的分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生，以及進(jìn)一步比較分?jǐn)?shù)的大小，打下了結(jié)實(shí)的基礎(chǔ)。
（5）有關(guān)分?jǐn)?shù)，你還想知道什么？讓孩子們將自己所想所思外化，為研究分?jǐn)?shù)提供內(nèi)驅(qū)力的同時(shí)，也培養(yǎng)孩子們提問(wèn)的能力，符合新課標(biāo)精神。
這次磨課，給我留下非常深的印象。內(nèi)容的縱橫關(guān)聯(lián)，以及對(duì)于教學(xué)的內(nèi)容的瞻前顧后，為后續(xù)我進(jìn)一步專業(yè)成長(zhǎng)，提供了很有價(jià)值的體驗(yàn)。最后，非常感謝盧聲怡悉心的教導(dǎo)。
