奇解（本人每天在祈求上天給我個奇跡看懂此書）

布魯克泰勒解一階二次方程時觀察到：奇解不能通過通解+特定常數的方式求出（即不是特解），萊布尼茨在1694年看到：一個解族的包絡也是一個解。克萊羅和歐拉對奇解做了更完整的探討。

1734年克萊羅對y=xy'+f(y')求解（該方程現稱為克萊羅方程），得到通解y=cx+f(c)和另一個解x+f'(y')=0。聯立兩式得到x+f'(c)=0，即奇解是通解的包絡。1708年歐拉給出了一個從特殊積分鑒別奇解的判別法，在未知通解的情況下也可以應用。達朗貝爾加強了該判別法，后來拉普拉斯把奇解（他稱為特殊解）的概念推廣到高階方程和三個變量的方程。

拉格朗日系統地研究了奇解和通解的關系，他給出了從通解消去常數得到奇解的一般方法，擴大了克萊羅和歐拉對奇解的認識，最后他從幾何上解釋奇解為積分曲線族的包絡。在奇解理論中他也有一些盲區，比如他沒意識到一個奇解可以包括一支特解。奇解的完整理論發展于19世紀，1872年凱利和達布將其表達為現在使用的形式。

二階方程與黎卡提方程

1691年詹姆斯伯努利研究了船帆在風力下的形狀問題，得到二階常微分方程?(s為弧長)。同年約翰伯努利處理了這個問題，認為它在數學上和懸鏈線是一個問題。泰勒和約翰伯努利研究兩端固定的彈性振動弦（如小提琴弦）的形狀和基頻時也用到了二階方程。

1728年歐拉在力學研究中使用二階方程，如擺在有阻尼介質中的運動。他還利用變量替換把一類二階方程化為一階方程。這項工作的意義在于開啟了二階方程的系統性研究，而且引入了對解二階、高階方程非常重要的指數函數。

1733年丹尼爾伯努利在離開圣彼得堡前完成了一篇研究懸鏈線的論文，他研究的是上端固定，無重量但帶等間隔重荷的懸鏈線，當鏈線振動時他發現質點系相對于懸掛點垂線作不同模式的振動，每個模式有一個特征頻率，他認為這個理論可以推導出泰勒和他爹的音樂弦理論。歐拉做了相似研究，在數學上有了更清晰的表述。

1739年歐拉研究了諧振子的微分方程和強迫振動方程，用積分法解釋了共振現象。他研究聲在空氣中的傳播模型，求出了每個質點的特征頻率和簡諧振動疊加的一般解。

有些一階非線性方程（方程中出現變量y,y',y''）與線性二階方程密切相關，比如非線性的黎卡提方程。

黎卡提方程

黎卡提伯爵（1676-1754）引入該方程求解二階常微分方程，降低常微分方程的階成為處理高階常微分方程的主要方法。1760年歐拉研究黎卡提方程將方程化為線性，將解方程化為求積分。達朗貝爾將黎卡提方程推廣到一般形式（即上式）并命名為黎卡提方程。