一階常微分方程

惠更斯1693年明確提到微分方程，萊布尼茨稱微分方程是特征三角形的邊的函數，我們現在所認為的常微分，即由給定函數及其導數中消除任意常數后得到微分方程，是1740年Alexis Fontaine des Bertins提出的。

1690年詹姆斯伯努利研究等時問題：求一條曲線，當擺沿著曲線振動時，不管經歷的弧長大小，擺做一次振動的用時都相等（這條曲線就是擺線）。萊布尼茨給出了一個分析解，而伯努利通過微分等式得出了曲線方程。同年他提問：一根柔軟而定長的弦自由懸掛于兩固定點，求弦形成的曲線。早在15世紀達芬奇也有此問，伽利略猜想是拋物線，惠更斯否認了這一猜測，因為除非弦的重量及載荷按水平方向計算是均勻的，曲線才是拋物線，而這個問題里重量沿曲線方向均勻。

次年約翰伯努利用微分方程dy/dx=s/c推導出結果，其中s是最低點到弦上任意點的弧長，c是弦在單位長度的重量，這個方法也是現代微積分和力學課本中采用的方法，結果記為，因為解決了哥哥的提問，他很得意，1718年在給Montmort（1678-1719）的信中炫耀自己比哥哥聰明（朋友，這都27年了還念念不忘，而且對方都快去世了還要聽你炫耀，什么仇什么怨啊！）

1691-1692年，伯努利兄弟解決了很多繩子形狀問題，約翰還解決了逆問題：已知非彈性細繩形狀的曲線方程，求繩子密度相對于弧長的變化規律，在力學教科書里搶占了一席之地。哥哥也沒閑著，證明了給定繩長和固定點，所有形狀的繩子里，懸鏈線的重心最低；此外推導了跟蹤曲線的方程。

1691年萊布尼茨想到了常微分方程的分離變量法，把形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程改寫為dx/f(x)=g(y)dy/y就能在兩邊積分，但他沒建立一般方法。同年他對一階齊次方程y'=f(y/x)求解，1694年約翰伯努利對變量分離和齊次方程做了更完整的說明。1695年詹姆斯提出求解一個方程（現在叫伯努利方程），次年他通過分離變量解出，萊布尼茨通過變量替換把方程化成線性方程，給了另一種解法。

1694年萊布尼茨和詹姆斯伯努利引入了找等交曲線或曲線族的問題：找一曲線或曲線族與已知曲線相交于給定角度。他們解出了一些特例，暫時擱置了問題，直到1715年萊布尼茨向牛頓挑戰：找出求一已知曲線族的正交軌線的一般方法（很懷疑萊布尼茨想到頭禿終于想到咋做了，興沖沖提問）牛頓利用睡前時間得到了答案，還指明了如何求與已知曲線族相交成定角或相交角隨族中曲線規律變化的曲線。詹姆斯的學生Jacob?Hermann給出了正交軌線的常微分方程，把萊布尼茨的方法闡釋得更為明確。

當時人們已認識了一階恰當方程。1739年克萊羅給出了恰當方程的條件（1734年歐拉也給出了），如果是恰當方程就可以積分，如果方程不恰當，往往可以乘以一個量（積分因子）轉化為恰當方程。歐拉確立了能轉為恰當方程的方程類屬，克萊羅引入了積分因子概念，完善了理論。