題目

難度：★★★★☆
類型：數學
方法：動態規劃

傳送門

一個機器人位于一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為“Finish”）。

現在考慮網格中有障礙物。那么從左上角到右下角將會有多少條不同的路徑？

網格中的障礙物和空位置分別用 1 和 0 來表示。

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例

輸入:
[
[0,0,0],
[0,1,0],
[0,0,0]
]
輸出: 2
解釋:
3x3 網格的正中間有一個障礙物。
從左上角到右下角一共有 2 條不同的路徑：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

解答

與上一道題不同的是，這里在網格里面增加了障礙物，我們可以把這個問題看做動態規劃問題。

定義與輸入網格相同大小的矩陣dp，矩陣中每個元素[i, j]代表機器人走到該位置的所有可能性。

初始條件

對于第一行和第一列元素，由于機器人只能向下或向右行走，因此在向右或者向下行走的過程中，只要碰到障礙物，則障礙物右邊或者下面的所有dp矩陣中的元素填充為0，即代表不可能走到這些位置。

狀態轉移

到達某位置[i, j]的可能性總數由到達該位置左邊[i-1, j]和上面一個位置[i, j-1]的可能性總和來確定。

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

特殊情況

當遇到障礙物時，該位置填充為零，代表到達該位置的可能性為零種。

最后情況

最后返回矩陣中最右下角的位置即可。

class Solution(object):
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        """
        :type obstacleGrid: List[List[int]]
        :rtype: int
        """

        m = len(obstacleGrid)           # 列
        n = len(obstacleGrid[0])        # 行

        if obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0

        # 第一個位置
        obstacleGrid[0][0] = 1

        # 填充第一列
        for i in range(1,m):
            obstacleGrid[i][0] = int(obstacleGrid[i][0] == 0 and obstacleGrid[i-1][0] == 1)

        # 填充第一行
        for j in range(1, n):
            obstacleGrid[0][j] = int(obstacleGrid[0][j] == 0 and obstacleGrid[0][j-1] == 1)

        # 狀態轉移
        # cell[i][j] = cell[i - 1][j] + cell[i][j - 1]
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i-1][j] + obstacleGrid[i][j-1]
                else:
                    obstacleGrid[i][j] = 0

        # 選取最后一個
        return obstacleGrid[m-1][n-1]

例如對于輸入矩陣：

        [
        [0, 0, 0, 1],
        [0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0],
        ]

則最后到達每個位置的可能矩陣為：

        [
        [1, 1, 1, 0], 
        [1, 0, 1, 1], 
        [1, 1, 2, 3]
        ]

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