作者：王國波
建議先看本系列第一篇文章數(shù)學(xué)思想方法揭秘-前言(原創(chuàng))。
前一篇數(shù)學(xué)思想方法揭秘-4(原創(chuàng))。
? 這篇文章中的題來自某知名線上app，發(fā)現(xiàn)講的不怎么好。不只是一兩個(gè)老師存在問題，是多個(gè)老師都有這樣那樣的問題：方法繁瑣、有些解題不嚴(yán)謹(jǐn)、開始破題的思維過程不講或幾句帶過或講不到重點(diǎn)上。
? ? 這個(gè)系列本來想封筆，但看到線上的問題，還是演示下用正確的數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下的解題思維過程是怎樣的，特別是在解題開始階段，草稿紙上的幕后思維過程，萬事開頭難，這個(gè)開局很關(guān)鍵。
? 線上線下的數(shù)學(xué)培訓(xùn)，講的大多是具體的解法，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)思維過程的內(nèi)容偏少。如何用數(shù)學(xué)思想方法來破題，來探索解題突破口？探索解題突破口的幕后(大腦中)和草稿紙上經(jīng)歷了怎樣的探索思維過程？如何從解題過程碰到的挫折和彎路進(jìn)行反思中找到正確的解題方法？很多數(shù)學(xué)題的講解，這些思維過程是偏少的或缺失的，因?yàn)楹芏嗳穗y以有這樣的思維過程。而恰好這些思維過程才是探索解題突破口的關(guān)鍵，這些內(nèi)容的缺失導(dǎo)致學(xué)生的思維缺少啟迪和正確的思維熏陶。老師拿著現(xiàn)成的答案照本宣科，或用比較挫的解法來講解，以訛傳訛，這樣怎么能培養(yǎng)出具有高素質(zhì)數(shù)學(xué)思維的學(xué)生。難怪到現(xiàn)在很多學(xué)生還說數(shù)學(xué)難！山中無老虎，數(shù)學(xué)老師們要加油，整體水平要提高！
? 考試一考就糊，題目一講就懂，老師講解時(shí)用到的知識(shí)點(diǎn)都是學(xué)生學(xué)過的，并且很多學(xué)生都掌握的比較好，但自己當(dāng)時(shí)就是沒想到要用這些知識(shí)點(diǎn)。這種現(xiàn)象如何解決，大多數(shù)人的看法是一致的，也提出了可行的改進(jìn)方案，但解決方案中最關(guān)鍵的部分，也就是對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟是比較缺失的，思考能力不可能高，碰到難度大些的題，問題不會(huì)得到根本解決。
? 為何說這塊比較缺失，從小初高的教材和教學(xué)內(nèi)容看得出來，從線上線下的教學(xué)，從公辦和社會(huì)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的教學(xué)看的出來。不管教學(xué)理念如何好，看具體實(shí)際，很多公辦學(xué)校在高中階段都還沒有數(shù)學(xué)思想方法的專門教材，或含有數(shù)學(xué)思想方法的教材。這方面的學(xué)習(xí)靠老師在講題時(shí)從牙縫里零星滲透一些出來，還有就是靠學(xué)生自己領(lǐng)悟，這個(gè)領(lǐng)悟過程對大多數(shù)學(xué)生一般是很漫長的。這其實(shí)是教育部的失職，沒有把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)放到和數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)等同的位置上，不要求更高的位置，至少等同都沒做到。知識(shí)點(diǎn)是死的，也是相對容易學(xué)會(huì)的，但也是容易忘記的，但思想方法一旦掌握領(lǐng)悟，一輩子都難以忘記，它已經(jīng)成為一種習(xí)慣，受益終身。
? ? 這里只是對部分存在問題的題給出了解法，在我今日頭條號(hào)：數(shù)學(xué)之道上對另外一些存在問題的題給出了自己認(rèn)為不錯(cuò)的解法，我不是老師也不是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)，工作后最近兩年才開始重新接觸數(shù)學(xué)解題，可能還有更好的方法，期望大家指正。
第19題(初中題)
? ? 解方程，x、y、z均為實(shí)數(shù)。
自己解了之后，看了某知名app線上的老師講解，如下圖，倒數(shù)法，不是很好。后面沒看下去，只能看前面120秒，要收費(fèi)才能繼續(xù)看。
上圖左下角就在進(jìn)行倒數(shù)變形，用倒數(shù)麻煩，畫蛇添足。
直接簡單的方法如下圖。
這題要觀察方程式特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)將三個(gè)方程式相乘會(huì)在式子的左右兩邊均出現(xiàn)xyz，這個(gè)也是啟發(fā)我們沿著這個(gè)相乘路子走下去的蛛絲馬跡，按xyz是否為0分類討論。當(dāng)xyz0時(shí)，消掉xyz變形后得到2式，觀察2式左邊發(fā)現(xiàn)是3個(gè)類似
的特征式子相乘，肯定要聯(lián)想到不等式
。其余過程如上圖。通過觀察，也可發(fā)現(xiàn)原題中的三個(gè)方程式左邊具有一定的同構(gòu)特征，三個(gè)方程式還具有輪換特征。
也可以這樣解，如下圖，同樣是利用方程與不等式的辯證關(guān)系，方程與不等式存在特殊與一般的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際情況利用好這種關(guān)系，對此題就是突破方程邊界想到不等式，將方程轉(zhuǎn)化成不等式，利用不等式等號(hào)成立的條件來解題。
也可縱向觀察上圖中的不等式1、2、3，也就是把它們綜合起來得出：x <= z <= y <= x，由這個(gè)前后都有x的兩邊夾逼的形式可得x=y=z，故3個(gè)不等式中的等號(hào)均成立，由等號(hào)成立，可知必有。
總結(jié)：觀察，通過觀察發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的特征和關(guān)系、整體思想、組合思想，要有把幾個(gè)分離的對象組合在一起進(jìn)行集成或發(fā)生類似化學(xué)反應(yīng)的思想，這個(gè)在第一篇文章中提到過組合思想，其實(shí)這個(gè)也是來自辯證法中的萬物相互聯(lián)系關(guān)聯(lián)和整體思想以及我們明確提出的關(guān)系思想，組合思想強(qiáng)調(diào)把幾個(gè)對象聚合整合在一起發(fā)生反應(yīng)或觀察它們之間的聯(lián)系和相互作用，創(chuàng)造出新對象新關(guān)系。辯證理解分與合，適時(shí)利用分與合的關(guān)系。聯(lián)想，基于形式特征的聯(lián)想，聯(lián)想到。
思想觀念和認(rèn)知決定行為影響行為，這道題的解題思維過程，要用辯證法普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)武裝頭腦，指導(dǎo)解題思維活動(dòng)和解題操作：先前講過要搭建數(shù)學(xué)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，要知曉知識(shí)點(diǎn)之間的(橫向、縱向)聯(lián)系，打通知識(shí)邊界，做到靈活變通左右逢源，思想圓融解脫。對這道題的解題方法，就用到了方程與不等式的關(guān)系，可以相互轉(zhuǎn)化。這樣才能在思維心理上打破方程與不等式的界限，否則就會(huì)自我設(shè)限畫地為牢：在思想上局限自己的思維，始終在方程的范圍內(nèi)思考，不敢大膽超越方程的知識(shí)邊界想到和方程有聯(lián)系的不等式。
沒有真正掌握辯證法在實(shí)踐中的運(yùn)用，沒有體會(huì)到辯證法在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中解放思想、靈活變通的作用，就容易產(chǎn)生思維心理障礙，數(shù)學(xué)思維不可能靈活。
在數(shù)學(xué)解題實(shí)踐中體會(huì)到了辯證法的指導(dǎo)作用，數(shù)學(xué)思維才算基本入門了。人心惟危，道心惟微，惟精惟一，允執(zhí)厥中。繼續(xù)在實(shí)踐中悟道，運(yùn)用之妙，存乎一心，辯證法就是變化法，思維像孫悟空那樣隨心所欲自由變化，則數(shù)學(xué)思維的精微玄妙盡矣！
第20題(初中題)
化簡，分母有理化的競賽題。
分母有理化的題，分母中一般只有兩個(gè)根號(hào)的比較多，這題分母有3個(gè)比較麻煩。對化簡題，通常情況下，分母中根號(hào)越多就越復(fù)雜，越少越簡單。對這道題，一步就將分母中根號(hào)數(shù)量減少到0比較困難，“逐步減少逐步逼近”，逐步逼近分母中根號(hào)數(shù)量為0的目標(biāo)狀態(tài)，這個(gè)策略應(yīng)該容易想到。
首先要觀察，這題主要是觀察數(shù)字，發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間或隱(隱藏)或顯(明顯)的特征，再根據(jù)這些特征，順應(yīng)這個(gè)特征，隨形就勢采取行動(dòng)，探索解題突破口。這就是在該系列第一篇和三篇文章中講過基于特征的聯(lián)想，提過過數(shù)值特征和關(guān)系特征。
我們可以發(fā)現(xiàn)什么？
發(fā)現(xiàn)分母中2+3=5，這個(gè)就是隱藏的關(guān)系特征，但有點(diǎn)小障礙的地方(矛盾的地方)是它們被根號(hào)隔開。另一個(gè)是和化簡相呼應(yīng)，在解題行動(dòng)上要減少分母中根號(hào)的個(gè)數(shù)，盡量一次性減少到0。
基于這個(gè)關(guān)系特征和我們的行動(dòng)目標(biāo)，我們會(huì)反問如何利用好這個(gè)特征，如何達(dá)成這個(gè)目標(biāo)。有理化，我們會(huì)聯(lián)想到用平方差去掉根號(hào)或減少根號(hào)，但分母中要乘以一個(gè)什么樣的式子來進(jìn)行平方差運(yùn)算？
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的2+3=5這個(gè)隱藏關(guān)系，我們應(yīng)敏銳意識(shí)到應(yīng)該乘以，只有這樣才能利用好這個(gè)關(guān)系。大腦中很快就排除了其他式子，因?yàn)橹挥羞@個(gè)式子能較好地利用2+3=5這個(gè)關(guān)系，也就是運(yùn)用平方差公式后會(huì)出現(xiàn)2+3-5=0，這樣分母中根式的個(gè)數(shù)減少到1個(gè)，顯然變簡單了，離分母中根號(hào)數(shù)量為0的目標(biāo)狀態(tài)近了，也就是與目標(biāo)狀態(tài)的差異在縮小。這個(gè)也是第3篇提到的在大腦中'走幾步'，平方差運(yùn)算和2+3-5=0在大腦中完成了。
總結(jié)：這題要觀察，抓重點(diǎn)，分母有理化的首要重點(diǎn)在分母上，抓主要矛盾，基于分母中的數(shù)值特征和關(guān)系特征展開聯(lián)想和合理設(shè)想，也運(yùn)用了類似聯(lián)想，平時(shí)做過有理化的題。同時(shí)也體會(huì)到前面強(qiáng)調(diào)過的關(guān)系思想的重要性，要識(shí)別出關(guān)系，要利用好關(guān)系。
這些數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用，有機(jī)結(jié)合地運(yùn)用，貫穿在我們的整個(gè)解題思維過程中，特別是解題開始階段。思想是我們思維行動(dòng)的向?qū)Ш徒痄撱@，沒有思想或沒有正確的思想或思想層次不高，難以走遠(yuǎn)難以走好。
21題(初中題)
? 已知正數(shù)x和y滿足x+y =1 ，求的最小值。
觀察，結(jié)論中兩個(gè)分式相加，分子中是常量，分母是變量，感覺已知條件和結(jié)論好像不協(xié)調(diào)，相互之間不咬弦，熟悉的知識(shí)點(diǎn)用不上。也就是已知條件和結(jié)論存在矛盾，相互之間不呼應(yīng)。
不變肯定不行，把x=y-1或y=x-1任一個(gè)代入結(jié)論式子中感覺也很繁瑣，用一元二次方程判別式似乎做不出來。
怎么辦?
其實(shí)問題在分子中的常量上，常量導(dǎo)致已知條件和所求結(jié)論的關(guān)聯(lián)關(guān)系不協(xié)調(diào)不順暢，已知條件發(fā)揮不了作用。
要把分子中的常量1去掉，要看到已知條件中的1和結(jié)論式子中的1是相同的，是有聯(lián)系的，其實(shí)這個(gè)就是基于數(shù)值特征的聯(lián)想。用x+y替換分子中的1，變換如下：
所以最小值為。
也可用
總結(jié)：矛盾分析法、轉(zhuǎn)化變換、基于數(shù)值特征的聯(lián)想。辯證靈活地看問題，辯證考慮正向與反向的關(guān)系，要能反過來使用x+y=1，也就是把1換成x+y來用，這樣用心理上不要有障礙，不要有思維障礙和思維定勢。對這個(gè)條件，我們一般是正向使用，如果有這種思維定勢，那反過來用就容易有思維障礙，思維上不容易想到或不容易接受要反過來用，思維不能固化！
22題(初中題)
初中題，不能用三角函數(shù)中的二倍角公式，初中沒學(xué)。
是求兩條直角邊的乘積，不是求兩個(gè)直角邊的長度。
角度15度，另一個(gè)銳角是75度，不是30度、45度、60度這些已知正弦和余弦值的特殊角。分析法，要求乘積，只要計(jì)算出兩條直角邊長度即可，但初中階段15度角不好計(jì)算，所以放棄。另外聯(lián)想到這個(gè)乘積是面積的兩倍，也能關(guān)聯(lián)聯(lián)想到用斜邊乘以斜邊上的高，而斜邊長度是已知的，只要求出這個(gè)高就行了，比求兩條直角邊要簡單，因此問題轉(zhuǎn)化為求斜邊上的高。
如何求斜邊上的高？如果對數(shù)字特征和關(guān)系思想敏感，會(huì)想到15X2 = 30，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，我們設(shè)想是否能利用30度的角來進(jìn)行求解。下一步要思考如何構(gòu)造出30度的角？
基于題目中的直角三角形和圖形結(jié)構(gòu)，我們會(huì)聯(lián)想到直角三角形的斜邊的中線以及中線分出來的兩個(gè)等腰三角形會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)兩個(gè)15度角(斜邊中點(diǎn)和直角頂點(diǎn)相連后直角三角形中出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，這就是直角三角形的性質(zhì)特征，在這道題中就是三角形AOC和BOC為等腰，所以AOC中有兩個(gè)15度角)。所以取AB斜邊中點(diǎn)O，連接CO，作高CD，如下圖。
總結(jié)：矛盾分析法、轉(zhuǎn)化、基于數(shù)值特征、關(guān)系特征以及性質(zhì)特征的聯(lián)想。
題外，有讀者說要一題多解，一題多解要有發(fā)散思維求異思維，從多角度多維度去看問題(這里指數(shù)學(xué)題)，結(jié)合多種數(shù)學(xué)思想方法，調(diào)動(dòng)掌握的知識(shí)體系，尋找可能的變化點(diǎn)或變化的維度，這里變一變，或那里變一變，就能變出多種方法。這里舉例給出這道題的7種初中解題方法，如下圖，方法1就是上面的方法，最簡潔。高中階段還可以用三角函數(shù)、余弦定理，就不介紹了。
本系列主要講數(shù)學(xué)思想方法論的核心內(nèi)容，從總體上把它融匯貫通，一題多解不是本系列的重點(diǎn)，另外本人是業(yè)余寫這個(gè)系列，不是學(xué)校老師，沒多少工夫每道題都去搞一題多解，另外一個(gè)主要原因，是結(jié)合所講的主題內(nèi)容來講的，所用的方法當(dāng)然要契合主題，和主題呼應(yīng)，為主題服務(wù)，不能打左燈向右轉(zhuǎn)，講的是一套，實(shí)際的方法卻用的是另一套。況且有的題，我想講述的是不落俗套的方法或最簡潔巧妙的方法，就省略了一般的常規(guī)方法，此外有的題自身就只有一個(gè)方法，或受限于能力和當(dāng)時(shí)思考的環(huán)境、心情情緒、身體狀況，當(dāng)時(shí)只能想出一種或少數(shù)幾種方法。
23題(初中題)
這題是初中題，沒學(xué)過余弦定理。不能用余弦定理求出一個(gè)角的余弦值，之后得出正弦值，再用兩邊長乘積
夾角正弦值來計(jì)算面積。
由于邊長均為根式，根號(hào)中為質(zhì)數(shù)，沒有公約數(shù)，用海倫公式算面積也比較繁瑣，計(jì)算量大，意識(shí)到不是出題人的本意，應(yīng)該有巧妙的方法。
觀察圖形，它不是直角三角形，沒等腰，沒特殊角，也不好切割拆分化整為零來算。怎么辦？
要辯證靈活思考和反思，不能拆就改為補(bǔ)！
要有大局觀整體觀，要想著將這個(gè)不規(guī)則(說它不規(guī)則是因?yàn)樗鼪]有特殊角，如90度，60度，邊長有根號(hào))的三角形補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則的大圖。
如果能想到將大圖設(shè)想成一個(gè)矩形就比較好，即使沒有如此設(shè)想，如果我們能從三個(gè)根號(hào)中的數(shù)值中發(fā)現(xiàn)特征也不錯(cuò)：，
，
，這個(gè)就是這組數(shù)中隱藏的平方和特征。聯(lián)想到勾股定理，把
作為直角三角形斜邊邊長，1、2、3、4作為直角邊邊長。在草稿紙上經(jīng)過3次左右的嘗試，就可構(gòu)造出如下圖形：
中間的三角形面積等于矩形面積減去3個(gè)直角三角形面積，計(jì)算省略。
總結(jié)：辯證思考，矛盾分析、轉(zhuǎn)化問題、整體大局觀、構(gòu)造圖形模型、對應(yīng)、實(shí)驗(yàn)、數(shù)形結(jié)合。
通過這道題也能再次體會(huì)到具體情況中可能蘊(yùn)含的表象復(fù)雜性，這幾個(gè)邊長是具體數(shù)字，大多數(shù)人總偏愛具體，看到具體的感覺很好，但從這些具體的數(shù)字中我們大多數(shù)人難以看出其中隱藏平方和形式特征。但如果這題的邊長改成抽象形式，如上圖右側(cè)。
此時(shí)應(yīng)該就容易想到要對根號(hào)中的式子稍加變形，如上圖。變形之后就能聯(lián)想到勾股定理，這就是抽象(動(dòng)詞)和抽象形式抽象模型的簡單性，消除了表象復(fù)雜性。令a=1，b=3就是原題中的具體邊長。
反者道之動(dòng)，這里的道可以指辯證法，此處的反就是矛盾的相互轉(zhuǎn)化。出題人是反過來設(shè)計(jì)這些邊長的值：從抽象形式到具體數(shù)字，增加了表象復(fù)雜性。其實(shí)這個(gè)就是運(yùn)用了辯證法中矛盾的相互轉(zhuǎn)化來出題，來增加題目的難度和復(fù)雜性，例如抽象變具體、具體變抽象、數(shù)變形、形變數(shù)、特殊到一般、一般到特殊、從復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單，從簡單轉(zhuǎn)化成復(fù)雜，從開到關(guān)、從已知到未知等等多種類型的矛盾對立統(tǒng)一相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。出題人用這個(gè)道來出題，利用抽象到具體來出題。我們解題也能用這個(gè)道，從具體到抽象，或撥開加在具體形式上的表象復(fù)雜性，返本歸元(源)，看到其隱藏在幕后的抽象本質(zhì)。
通過本系列數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1、第三篇、第四篇和本篇的實(shí)戰(zhàn)講解，辯證法( 萬物相互聯(lián)系關(guān)聯(lián)&關(guān)系、矛盾觀、運(yùn)動(dòng)發(fā)展觀、否定之否定、矛盾分析法、具體問題具體分析)到底能不能指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題？還認(rèn)為辯證法是空洞的，用來耍滑詭辯的？
很多人其實(shí)還沒從一些小學(xué)生思想觀念中解脫出來，小學(xué)算術(shù)題就是搞1+1這些具體的，先入為主搞習(xí)慣了，到后面還不能辯證地看問題，例如偏愛具體，不能正確看待抽象和具體的關(guān)系，不會(huì)應(yīng)用到實(shí)踐中。因?yàn)槌醺咧心酥链髮W(xué)都很少給學(xué)生講辯證法在其他學(xué)科中例如數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用，讓大多數(shù)人其實(shí)只是口頭上講辯證或認(rèn)為是滑頭的詭辯術(shù)，實(shí)際上根本不懂如何具體運(yùn)用。即使是那些市面上的數(shù)學(xué)思想書籍，也很少能把辯證法在數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用講透徹，特別是數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用很少有人能講透徹，這個(gè)系列應(yīng)該把辯證法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用講的比較透徹了。
自從一見本系列，始覺從前錯(cuò)用心！很多學(xué)生被人誤了，耽誤了糟蹋了。
類似有道題，如下圖。已知三角形三條邊長，求三角形面積。
可以自己想一下，原視頻中是解二元二次方程，如下圖。其實(shí)也可以不用解方程，構(gòu)造出大圖，幾秒鐘口算得出答案，在原視頻評論中可看到我的方法。
24題(初中題)
? 這道題，方程中有兩個(gè)未知數(shù)x和y，按照常規(guī)，我們會(huì)解方程，或直接求出x+y。但觀察題目中的兩個(gè)方程式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)是分?jǐn)?shù)，且運(yùn)算量大，解方程是很費(fèi)功夫的，這就是題目中的矛盾，這個(gè)矛盾阻礙我們解方程。
? 直接求x+y也不可行，因?yàn)閮蓚€(gè)方程中x和y的系數(shù)不一樣，系數(shù)之和或之差也不相等，無法兩個(gè)方程式直接相加或相減，也就是不會(huì)出現(xiàn)a(x+y)=b這種形式(a為系數(shù))，再得出x+y=，出題人在設(shè)計(jì)這道題時(shí)已經(jīng)把這條路堵死了。
? 如何化解或轉(zhuǎn)化這個(gè)矛盾？首先要意識(shí)到解方程求出x、y不是出題人的本意，當(dāng)然蠻力硬解方程也是可以的，但我們不會(huì)采用這種方式，應(yīng)該有巧妙的方法。
? 正確的方法是，我們觀察兩個(gè)方程式，識(shí)別發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)方程式在代數(shù)式形式上有很多相似的地方，有共性，具有相同的函數(shù)或方程模式，不同的地方是自變量，一個(gè)自變量取值，另一個(gè)是
。去粗取精，去偽成真，保留本質(zhì)，從共性上看這兩個(gè)方程式是同構(gòu)的，具有同構(gòu)特征。同構(gòu)：多個(gè)事物之間具有相同或相似的構(gòu)造、相同的結(jié)構(gòu)、相同的性質(zhì)屬性、相同的規(guī)律。注意識(shí)別題目中的本質(zhì)和表象、結(jié)構(gòu)形式中蘊(yùn)含的同構(gòu)特征、共性特征、共性規(guī)律，利用這些同構(gòu)特征、共性來解題。
? 對共性和同構(gòu)，我們通常的處理手段是運(yùn)用抽象概括，提取共性和同構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)通用的、抽象的數(shù)學(xué)模型(模型可以是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、幾何圖形等等)，一以概之，一言以蔽之，我們學(xué)的概念和很多公式、定理都是這樣，眾多具體情況可以用一個(gè)簡潔的抽象形式的公式，一個(gè)定理來刻畫。
? 運(yùn)用抽象思想和構(gòu)造法，這兩個(gè)式子可以提煉抽象成一個(gè)統(tǒng)一的方程式，也就是構(gòu)造出如下的方程：
? 這個(gè)方程其實(shí)是一元二次方程，方程的主元未知數(shù)是m，和
是該方程的兩個(gè)根，把x和y作為系數(shù)或常數(shù)。先前習(xí)慣認(rèn)為是變量，是未知數(shù)的x和y要看成這個(gè)方程中的已知系數(shù)、常數(shù)和次要角色。
? 構(gòu)造思想或構(gòu)造法在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-5第15題和16題都有運(yùn)用，可以回過頭再去體會(huì)。
先前在本系列數(shù)學(xué)思想方法揭秘3-1中用太極圖來講述過辯證地看問題，在對立統(tǒng)一相互聯(lián)系中要相互轉(zhuǎn)化，相互變化。辯證法中運(yùn)動(dòng)發(fā)展的觀點(diǎn)和矛盾雙方相互轉(zhuǎn)化都告訴我們沒有什么東西是固定不變的，是一直不變一成不變的，要用于打破思維定勢，不要固化觀念僵化觀念，要解放思想，思想自由，但不是不要思想，也不是胡思亂想，是要用正確的辯證的靈活的思想方法論來指導(dǎo)思維過程，遵從方法論的內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律來思考。這題中，主要與次要、未知數(shù)與已知數(shù)、具體與抽象、變量與常量之間的界限和角色都發(fā)生了逆轉(zhuǎn)變化：先前處于未知數(shù)、變量以及主元的x和y變成了已知數(shù)和常量（把x、y人為看作已知數(shù)、系數(shù)、常量）、次要的；兩個(gè)方程式變成一個(gè)更抽象的共性的方程式，原來的兩個(gè)方程式成為該抽象方程式的具體形式；
從具體的數(shù)值變成了抽象的未知數(shù)m（把
這兩個(gè)數(shù)看做m的解，m是這兩個(gè)解的未知數(shù)形式的符號(hào)表示，也就是從它的解往后溯源，返回到解的符號(hào)表示，這體現(xiàn)追根溯源的思維，通過逆向思維返本歸元，回到本源，就像西游記中要知道妖精的原形，知道原形就知道它的來龍去脈，就好收服它，解題中也是這樣，找到題目藏在幕后的本來面目，就容易直達(dá)本質(zhì)，從本質(zhì)出發(fā)，想到解題方法。這也類似特斯拉CEO馬斯克所講的第一性原理，對事物進(jìn)行蒸餾，消除虛幻的表象，保留內(nèi)在本質(zhì)，基于本質(zhì)來思考）。在本系列數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1中也提到過很多要靈活辯證地來思考來看待的多個(gè)相對的概念和屬性，例如主要與次要、已知與未知、變量與常量、復(fù)雜與簡單、抽象與具體、一般與特殊，可以回去看看其中介紹的辯證思維詞匯表。
上面的方程最終可變形如下：
這是一個(gè)關(guān)于m的一元二次方程，這個(gè)方程的根為和
。
觀察一次系數(shù)，其中的-x-y和我們要求的x+y有關(guān)系。聯(lián)想到一元二次方程韋達(dá)定理中兩根之和公式：
總結(jié)：敏銳觀察發(fā)現(xiàn)具有共性特征：統(tǒng)一的同構(gòu)特征。要橫向和縱向多維度地對事物進(jìn)行觀察比較，觀察它們的特征和聯(lián)系；基于共性-個(gè)性特征的聯(lián)想與抽象，通過抽象來提升問題層次同時(shí)達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的；靈活辯證地看問題，打破思維定勢，別固化自己的觀念，此一時(shí)彼一時(shí)，具體問題具體分析，該改變時(shí)就大膽改變和聯(lián)想。
同構(gòu)：多個(gè)具體對象(事物)具有統(tǒng)一(相同的)的抽象結(jié)構(gòu)模式，此時(shí)我們就從多個(gè)具體對象中抽象出他們共同的模式對象，基于該模式對象的性質(zhì)和特點(diǎn)來進(jìn)行研究和解決問題。
同構(gòu)特征其實(shí)是抽象和具體的一種特殊形式而已。
抽象和具體是一對多的關(guān)系，一個(gè)抽象可以包含或衍生多個(gè)具體。
例如
。這是從抽象下降到具體，一到多。
反過來，如果我們看到，應(yīng)該要馬上敏銳意識(shí)到它們是同構(gòu)的，具有統(tǒng)一的抽象，要返本歸源，想到這個(gè)抽象模式：
。這是從具體上升到抽象，多到一。
同構(gòu)問題訓(xùn)練，對同構(gòu)再舉幾例：
1). 實(shí)數(shù)m和n，滿足。問m和n具有什么關(guān)系？如果把題目中的n換成9-m，求m是多少？
2).初中題，解方程 。
提示：簡便方法肯定不是用蠻力展開來算。如果不能在15秒內(nèi)算出，就要反思下是否掌握好了同構(gòu)問題，是否掌握好了一元二次方程和一元二次函數(shù)的一些知識(shí)。
3）初中題，對上道題做下推廣，次數(shù)增大。 為實(shí)數(shù)，解方程
。
4）初中題，已知,求ab的值。
5）初中題，已知，且
，求
。
6）求方程的實(shí)數(shù)解。
提示：1） 可變形為
，這樣等式左右兩邊是同構(gòu)的，所以可構(gòu)造函數(shù)
。這樣
就變?yōu)?img src="https://math.jianshu.com/math?formula=f(m)%3Df(n)" alt="f(m)=f(n)" mathimg="1">。由于
是增函數(shù)，必有m=n，所以m和n是相等關(guān)系。
總結(jié)：觀察，發(fā)現(xiàn)可按m和n進(jìn)行歸類（分類&歸類&分組思想），所以變形為
，繼續(xù)觀察比較變形后的等式，發(fā)現(xiàn)這個(gè)等式左右兩邊是同構(gòu)的，有共性，所以構(gòu)造出函數(shù)
，構(gòu)造出函數(shù)之后，思維自然就要延續(xù)到函數(shù)上，就要聯(lián)想到函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，例如函數(shù)的增減性（遞增遞減）、奇偶性、極值&最值、對稱性、周期性、函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，利用這些知識(shí)點(diǎn)來解題，這題就用到函數(shù)的遞增性。
? 其他幾道同構(gòu)題類似，都是函數(shù)的同構(gòu)，識(shí)別出函數(shù)同構(gòu)后，一般是運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來討論函數(shù)自變量的關(guān)系，例如。同構(gòu)不只是在等式中，在不等式中也可能存在同構(gòu)特征，例如已知
,證明
。
? 除了函數(shù)或代數(shù)式，高中求數(shù)列通項(xiàng)公式，有時(shí)也會(huì)碰到同構(gòu)。
利用同構(gòu)解決函數(shù)、方程、數(shù)列問題，首先要有敏銳的眼光，見微知著發(fā)現(xiàn)同構(gòu)的蛛絲馬跡，通過變形(移項(xiàng)、拼湊、分組、分離等變形)構(gòu)造出同構(gòu)結(jié)構(gòu)，在變形過程中一般要遵循均衡、對稱、高內(nèi)聚低耦合原則。在函數(shù)問題中構(gòu)造出同構(gòu)結(jié)構(gòu)后，通常要”金蟬脫殼”，脫去函數(shù)外衣，得到兩個(gè)自變量的大小關(guān)系。
25題(初中題)
這道題沒看講解，不知道是否有問題。
用這道題的目的主要是再次演示下如何作輔助線。
幾何題中一般包含一個(gè)或多個(gè)幾何對象，例如三角形對象和矩形對象，每個(gè)三角形對象又包含三條線段和三個(gè)角，它們也是幾何對象。角度有度數(shù)，線段有長度，這些都是對象的屬性，屬性一般通過數(shù)值來度量。幾何對象還有幾何性質(zhì)、特征，例如三角形的兩邊之和大于第三邊，三個(gè)內(nèi)角和為180度。幾何對象之間一般存在關(guān)系，關(guān)系一般有結(jié)構(gòu)關(guān)系(位置關(guān)系關(guān)系是結(jié)構(gòu)關(guān)系中的一種)、數(shù)量關(guān)系。結(jié)構(gòu)和位置關(guān)系例如兩條線平行，數(shù)量關(guān)系比如兩個(gè)角相等或存在倍數(shù)關(guān)系等。
如果數(shù)學(xué)題的已知條件之間、已知條件和結(jié)論之間以及題目(已知條件、結(jié)論)和知識(shí)點(diǎn)之間如果比較協(xié)調(diào)，相互支撐配合較好時(shí)是最好解題的，水到渠成就可得到結(jié)論。但難度大些的題，或者說為何稱其為難題，就是因?yàn)轭}目中存在各種矛盾和障礙，也就是不協(xié)調(diào)因素，導(dǎo)致我們難以一眼就看穿已知條件和結(jié)論的聯(lián)系，難以用上已有的知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)，最終表現(xiàn)為難以找到解題突破口以及解題思路。
幾何題中圖形的結(jié)構(gòu)格局和位置關(guān)系等也應(yīng)該看作已知條件。
有些幾何題，其圖形中的結(jié)構(gòu)格局不協(xié)調(diào)，結(jié)構(gòu)和結(jié)論不協(xié)調(diào)或幾何對象之間的關(guān)系（結(jié)構(gòu)關(guān)系、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系)不協(xié)調(diào)，已知條件之間不協(xié)調(diào)、或幾何對象或已知條件與結(jié)論之間之間不協(xié)調(diào)。例如兩條線段相距較遠(yuǎn)(結(jié)構(gòu)位置關(guān)系)，它們之間雖然存在長度上的數(shù)量關(guān)系，但位置關(guān)系較遠(yuǎn)，導(dǎo)致數(shù)量關(guān)系在解題中不好發(fā)揮它的作用和價(jià)值。這些都會(huì)導(dǎo)致難以解題。
幾何題作輔助線提倡自然心法，比較自然地從心中流出來，綜合地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法，基于各種特征(結(jié)構(gòu)特征、位置特征、各種關(guān)系特征、性質(zhì)特征、數(shù)量數(shù)值特征等)來作輔助線。具體而言就是在數(shù)學(xué)思想方法(幾何題中一般要運(yùn)用形象思維數(shù)形結(jié)合、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、合理設(shè)想、比較、整體思想大局觀、類比、分析綜合、矛盾分析法、反思等)的指導(dǎo)下，基于幾何直觀，也就是觀察和分析幾何圖形中的結(jié)構(gòu)、位置、關(guān)系(分析時(shí)，對有難度的題一般要采用矛盾分析法)，順應(yīng)或根據(jù)幾何圖形結(jié)構(gòu)、已知條件、結(jié)論三者的特點(diǎn)特征(結(jié)構(gòu)和位置特征、數(shù)量特征、各種關(guān)系特征、幾何對象的性質(zhì)特征。特征不一定就是幫助解題的正面因素，如果是正面的，此時(shí)一般要順應(yīng)它；有些特征是阻礙解題的，此時(shí)一般是根據(jù)它的問題來改造轉(zhuǎn)化它或改造轉(zhuǎn)化和它不協(xié)調(diào)的其他特征和對象)，隨形就勢，順勢而為，逢山過山，逢水過水，架橋修路，移形換位(例如平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等幾何變換)，閃躲騰挪，有時(shí)也不排除移山填海(例如各種割和補(bǔ))。輔助線的目的就是通過它來調(diào)整、改造、轉(zhuǎn)化幾何題的各種不協(xié)調(diào)的矛盾因素，作為溝通橋梁和潤滑劑來消除不協(xié)調(diào)的障礙因素，也就是改造或轉(zhuǎn)化不協(xié)調(diào)的各種關(guān)系：幾何對象的結(jié)構(gòu)位置關(guān)系、結(jié)構(gòu)和結(jié)論的關(guān)系(理想情況下，如果有這樣的結(jié)論就需要對應(yīng)的結(jié)構(gòu)，但現(xiàn)實(shí)的題中卻不是這樣)、數(shù)量關(guān)系、已知條件之間的關(guān)系、已知條件和結(jié)論的關(guān)系。
幾何題圖如何做輔助線和幾何變換對初學(xué)者是一個(gè)難點(diǎn)，除了多練習(xí)找感覺，更要多總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，當(dāng)然應(yīng)該學(xué)習(xí)很多參考書上已經(jīng)總結(jié)的一些固定的口訣套路，例如倍延中線(三角形中有中線，延長中線等中線)，很多題可以根據(jù)這些口訣來作輔助線，但這里不講這些口訣套路，要講的是高于這類口訣的一些東西。這些在本系列第3篇中也講過，其中提到過要順應(yīng)題目中的關(guān)系和已知條件，隨形就勢，基于幾何直觀和合理設(shè)想來作輔助線，要反問自己如何利用好題目中的已知條件和關(guān)系，是否利用了所用的已知條件。通過反問，激發(fā)自己的思維，很多情況下就可呼之欲出，自然而然作出輔助線。這里用這道題再來演示一下。
觀察幾何圖形，基于EH=EG，角AEH=角CEG，結(jié)合分析法可以知道如果能證明對邊相等和平行即可，而平行需要證明內(nèi)錯(cuò)角相等。這個(gè)對邊，根據(jù)幾何直觀，也就是EH=EG，以及圖形結(jié)構(gòu)，最可行最合適的對邊要選AD、BC，而不是AB、CD。因此設(shè)想如果能證明三角形AEH全等于三角形CEG就好辦了，接下來用直覺感覺和評估一下，要證明這樣的全等不太好辦，很快就否定了這個(gè)設(shè)想。
我們緊盯著題目中的已知條件不放，對自己做如下反問和檢查：是否利用了所有的已知條件(完備，已知條件很少有多余的)，如何利用好已知條件。
這樣反問，我們可以發(fā)現(xiàn)AE+AH=CE+CG這個(gè)已知條件(該已知條件是一個(gè)關(guān)系)應(yīng)該要好好利用?；趫D形的幾何結(jié)構(gòu)，這個(gè)關(guān)系，這個(gè)已知條件不適合直接利用。既然不能直接利用，我們就要對這個(gè)關(guān)系進(jìn)行改造，進(jìn)行轉(zhuǎn)化之后再來間接加以利用，這就是前面關(guān)系思想中提到過的：要改造關(guān)系轉(zhuǎn)化關(guān)系。
AE和AH目前是分離的，在兩條不同線段上，CE和CG也是，要利用好倆線段之和相等這個(gè)關(guān)系，我們要合理設(shè)想，嘗試將它們拼接到一條線段上，這就是對關(guān)系和不好的格局進(jìn)行改造和轉(zhuǎn)化，條件不好，不具備就要?jiǎng)?chuàng)造條件改造條件，這在第三篇中講過。
具體如何拼接，還是要觀察圖形結(jié)構(gòu)格局，我們應(yīng)該比較自然想到要延長EA到M，令A(yù)M=AH；延長EC到N，令CN=CG，如下圖。這樣顯然可得出EM=EN的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是對先前不好利用的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造之后新產(chǎn)生的一個(gè)關(guān)系，同時(shí)圖形格局也有了新的變化。再結(jié)合先前提到的EH=EG，角AEH=角CEG條件，可得出三角形EMH全等于ENG，所以角EMH=角ENG。其余證明過程如下圖。
這個(gè)簡單的幾何題，上面的整個(gè)思維過程，其實(shí)對有經(jīng)驗(yàn)的人是一閃而過，幾秒的時(shí)間就完成了。
有時(shí)作輔助線要根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)和幾何對象的性質(zhì)來，有些題的輔助線是多種思想方法的綜合運(yùn)用的結(jié)果，多種思想方法的有機(jī)結(jié)合，這個(gè)可以體會(huì)下21題。在21題中，首先我們運(yùn)用矛盾分析法，否定了一些設(shè)想之后，再聯(lián)想到15和30度的倍數(shù)關(guān)系，合理設(shè)想要構(gòu)造30度角，進(jìn)而觀察圖形結(jié)構(gòu)和直角三角形性質(zhì)特征，聯(lián)想到利用斜邊中線的性質(zhì)特征，就用中線作輔助線。至于作斜邊上的高，是基于已經(jīng)知道斜邊長度，要到的結(jié)論和答案，只要再知道高就行，當(dāng)然之前是運(yùn)用矛盾分析法和關(guān)系轉(zhuǎn)換，將兩條直角邊相乘轉(zhuǎn)化為斜邊乘以高。直角三角形一般要考慮斜邊上的中線，三角形中線一般等倍延長等，這些都是為了能利用上幾何對象性質(zhì)上的特征，這也是一些書上總結(jié)的一些口訣套路的由來。
對復(fù)雜的幾何題，也是運(yùn)用這個(gè)系列中講的那一套數(shù)學(xué)思想方法，但在幾何題領(lǐng)域中也有它的特殊性，也要掌握一些該領(lǐng)域中特有的相對具體的方法，例如同一法。
總結(jié)：矛盾分析法、轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化關(guān)系，改造關(guān)系，改造圖形結(jié)構(gòu)格局、反思反問，如何利用好已知條件，是否用上了全部的已知條件，是否有遺漏。靈活辯證地快速轉(zhuǎn)換/切換解題思路和行動(dòng)方向。另外可以體會(huì)到，通過輔助線，可以幫助釋放出原始已知條件的價(jià)值和作用和已知條件之間以及已知條件和結(jié)論之間隱藏的內(nèi)在聯(lián)系，沒有輔助線，這些價(jià)值和作用是無法直接利用或不便于利用的。
26題
奧數(shù)幾何題
如圖，在ABC中，D為BC中點(diǎn)，
A=
，
B=
，E點(diǎn)在AC上且
EDC=
。
，即三角形ABC面積與CDE面積兩倍之和為
。求AC長度。
這道幾何題可以用兩種方法來解，一種是偏計(jì)算的，不用作輔助線，要用到高中三角函數(shù)的和差公式，第二種是純正的幾何解法，只需要初中知識(shí)，但要作輔助線。
第一種方法(偏計(jì)算,使用到高中三角函數(shù)和差知識(shí)點(diǎn))
觀察這道題，三角形角度都為已知，可以想到三角形正弦定理，和用邊長與正弦算面積的公式。D為BC中點(diǎn)，題目中有涉及到三角形CDE面積，所以我們選取AC和BC兩條邊來計(jì)算ABC的面積。
由正弦定理得：
易知=
，所以
，CD=CE。
完成。
note：
最繁瑣的就是對的系數(shù)進(jìn)行化簡，三角函數(shù)和差公式具有開與合的雙向作用，開就是分解裂開，例如sin(
)裂開成
，可以理解成角度是變小的方向；合就是向上合攏，例如
。
在這道題的化簡中，要多次進(jìn)行開與合，有時(shí)要開，有時(shí)要合，需要掌握好開與合操作的選擇，運(yùn)用好開與合的辯證關(guān)系。
第二種方法(初中方法)
是個(gè)特殊數(shù)值，要好好利用，很可能要在它上面做文章動(dòng)腦筋，這個(gè)就是前面講的數(shù)值特征的聯(lián)想，其他的
數(shù)值不好利用。
另外這個(gè)式子中一個(gè)系數(shù)是1，一個(gè)是2，數(shù)值不一致，這個(gè)面積相加的關(guān)系式不好對應(yīng)到有幾何意義的圖形上(不容易對應(yīng)到有意義的幾何解釋)，不好對應(yīng)就導(dǎo)致這個(gè)式子不好直接利用，但顯然我們必須要利用這個(gè)主要的已知條件，繞不過去，要想辦法進(jìn)行改造和轉(zhuǎn)化之后間接利用。觀察圖形還發(fā)現(xiàn)
，有重疊，這個(gè)因素也會(huì)導(dǎo)致這個(gè)面積相加關(guān)系不好對應(yīng)到有意義的幾何圖形上，這個(gè)也是不好的因素。這就是矛盾分析法，凸顯題中的矛盾。
結(jié)合這些分析，對角，我們展開聯(lián)，合理設(shè)想到要構(gòu)造一個(gè)等邊三角形。觀察圖形，根據(jù)感覺，應(yīng)該能自然地想到要構(gòu)造如下的等邊三角形。
如何改造轉(zhuǎn)化中的1和2？我們的行動(dòng)目標(biāo)是把它們的系數(shù)變成相同，一種是找一個(gè)小三角形，讓它的面積是
的
，這樣
，提取公因數(shù)2，這就好處理了。另一個(gè)方式是把這兩個(gè)三角形放大。
另一個(gè)不利因素是內(nèi)部，存在重疊，導(dǎo)致'這個(gè)面積之和'已知條件也不好利用，面積之和在圖上有直觀的幾何意義就比較好，重疊會(huì)導(dǎo)致在圖上難以對應(yīng)有價(jià)值的幾何意義，要想法把它們挪開或把一個(gè)轉(zhuǎn)移出去。
結(jié)合上面構(gòu)造的等邊三角形，另外基于對稱美感，在等邊三角形中構(gòu)造另一個(gè)，該
和
ABC全等，且在等邊三角形中對稱。
如圖中的解釋，相似比為2，面積之比為相似比平方，所以
。
整個(gè)等邊面積為：
=
總結(jié)：矛盾分析法凸顯矛盾，數(shù)值特征聯(lián)想、合理設(shè)想、構(gòu)造、數(shù)學(xué)美思想/對稱美。
27題( 初中)
有興趣先看下這題的復(fù)雜解法，截圖如下，網(wǎng)址為http://url.cn/5bcCzzo。
簡潔的解法如下，解析幾何坐標(biāo)法
直接上圖，解析幾何坐標(biāo)法。
總結(jié)：證明幾何題過程中通常都涉及到代數(shù)運(yùn)算，例如各種比例關(guān)系，勾股定理等。解析幾何用代數(shù)解析式和函數(shù)方程來研究幾何性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的完美結(jié)合，是代數(shù)和幾何的有機(jī)結(jié)合，是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的天才之作。另外高中的向量法也可用在平面和立體幾何中。幾何題數(shù)形結(jié)合是形要結(jié)合數(shù)，不能只靠形，需要數(shù)來做定量方面的助力。
28題(初中簡單幾何題)
如圖，中，AB=AC，線段EF交AB與E，交BC于點(diǎn)D，交AC的延長線于F，且BE=CF。
證明：DE=DF
這題雖然很簡單，不過它適合來作為例子說明輔助線的作用，也用來體會(huì)我們前面說過的要反問自己如何利用好已知條件和結(jié)論。
觀察圖形結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了哪些地方覺得別扭的？或感覺到哪些不爽的？
觀察圖形并結(jié)合已知條件，可以發(fā)現(xiàn)已知條件BE=CF和圖形結(jié)構(gòu)不協(xié)調(diào)，沒有良好的相互呼應(yīng)，就像開車打左燈向右轉(zhuǎn)，心口不一。圖形中BE與CF在位置關(guān)系上相距較遠(yuǎn)，它們也不在全等的三角形中，另外它們兩條線的傾斜方向，就像兩個(gè)人背對著不相互溝通交流，感覺很別扭。這些問題導(dǎo)致我們不能利用好BE=CF這個(gè)已知條件。觀察發(fā)現(xiàn)的這些鬧別扭，矛盾，不協(xié)調(diào)不相互呼應(yīng)的地方，就是我們在前面幾篇文章中提到的要改造轉(zhuǎn)化的，環(huán)境不適宜，我們就改善環(huán)境。條件不好，我們就創(chuàng)造好的條件。要把BE、CF的位置矯正下，顯然不能直接矯正它們，但我們可以矯正它們的等價(jià)替身或有關(guān)系的對象來達(dá)到間接矯正的目的，其實(shí)就是根據(jù)關(guān)系的傳遞性來進(jìn)行矯正。
看到EF與BC交叉，結(jié)合要證明的結(jié)論以及發(fā)現(xiàn)別扭的地方，我們比較自然地作如下的輔助線，兩種輔助線對應(yīng)兩種方法。第一種是過E點(diǎn)做CF的平行線EG交BC于G點(diǎn)。
總結(jié)：體會(huì)下反問自己如何利用好關(guān)系，如何用矛盾分析法發(fā)現(xiàn)不協(xié)調(diào)的地方，矛盾的地方。體會(huì)下輔助線的作用：調(diào)節(jié)糾正改善關(guān)系以便溝通。
通過第三篇和本篇的幾個(gè)幾何題，應(yīng)該能更近一步體會(huì)到輔助線和幾何變換的作用，其作用總結(jié)如下：
1.作為溝通媒介、橋梁和各種關(guān)系的潤滑劑，對各種關(guān)系進(jìn)行調(diào)節(jié)、改善、轉(zhuǎn)化和疏通。
2.完善殘缺的圖形(一般是對圖形進(jìn)行向外擴(kuò)張，補(bǔ)成大圖，要有大局觀，眼界要高遠(yuǎn))和混沌未成熟的幾何圖形(一般是圖形內(nèi)部不完善，通常在原始圖形內(nèi)部和周邊進(jìn)行聯(lián)線來作輔助線，添幾筆來分割圖形，例如找特征點(diǎn)連線或基于性質(zhì)特征來作輔助線進(jìn)行分割)，起到填補(bǔ)作用，補(bǔ)其結(jié)構(gòu)上位置上的不足不協(xié)調(diào)，改善圖形的結(jié)構(gòu)格局，改善和糾正位置結(jié)構(gòu)關(guān)系、數(shù)量關(guān)系上的不協(xié)調(diào)，為解題創(chuàng)造良好條件。
? 在第三篇文章中提到過幾何構(gòu)造形，幾何定理一般都有對應(yīng)的圖形，這個(gè)圖形就是這個(gè)幾何定理的幾何構(gòu)造形，我們基于題目的特征( 結(jié)構(gòu)特征、關(guān)系特征、數(shù)值特征、幾何概念和幾何對象的性質(zhì)特征等)，通過各種聯(lián)想(特征聯(lián)想、見微知著聯(lián)想、接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、關(guān)聯(lián)聯(lián)想等)、類比等找出對應(yīng)的幾何構(gòu)造形，用這個(gè)構(gòu)造形和題目中的圖形進(jìn)行比較，少什么就補(bǔ)什么。
3.通過輔助線，產(chǎn)生更多的對象和關(guān)系，產(chǎn)生滾雪球的放大效應(yīng)，充分釋放和挖掘出已知條件和結(jié)論中蘊(yùn)含的價(jià)值和內(nèi)涵。
4.拉近、聚攏集中先前分散的、位置相距較遠(yuǎn)的幾何元素對象和條件，讓它們靠近或聯(lián)系更緊密，碰在一起容易有火花，通過組合來發(fā)生關(guān)系或創(chuàng)造出關(guān)系或轉(zhuǎn)化關(guān)系。
如何作輔助線和幾何變換,先多體會(huì)上面講的輔助線的作用，這里也重復(fù)下：
1.基于幾何對象和概念的性質(zhì)特征來作輔助線，參考書上有很多口訣和套路，這個(gè)一般優(yōu)先使用。
2.通過矛盾分析法，分析法、綜合法、合理設(shè)想、聯(lián)想、類比、反思反問、轉(zhuǎn)化、關(guān)系思想、數(shù)形結(jié)合、大局觀和幾何直觀、感覺來作。
29題(初中)
x為實(shí)數(shù)，求下列代數(shù)式的最小值
-------------------------
觀察這題的代數(shù)式形式，應(yīng)該要聯(lián)想起熟悉的知識(shí)點(diǎn)，它和什么長得比較像？
類似聯(lián)想：感覺代數(shù)式在結(jié)構(gòu)形式上和勾股定理，和直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式比較像，比較接近，這題可看成是兩個(gè)距離相加。
在這個(gè)初步感覺它們比較接近的基礎(chǔ)上，按照距離公式做變形如下，進(jìn)一步確認(rèn)它確實(shí)是兩點(diǎn)間的距離公式，從有些像變成百分百完全就是距離公式，這樣也能對應(yīng)出點(diǎn)的坐標(biāo)。
把代數(shù)式中的兩個(gè)根號(hào)項(xiàng)和兩點(diǎn)間距離公式對應(yīng)，在草稿紙上畫一下，可得到3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,2)、B(x,0),C(12,3)
這就是數(shù)形結(jié)合，在本題中，把代數(shù)式對應(yīng)到它的直觀幾何圖形解釋上，這樣求代數(shù)式的最小值就轉(zhuǎn)化為求兩條線段(AB、BC)長度之和的最小值，這個(gè)也是構(gòu)造法，構(gòu)造出代數(shù)式對應(yīng)的幾何圖形。
看到這個(gè)圖形，應(yīng)該可以立即聯(lián)想到‘將軍飲馬‘問題，做(0,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)(0,-2),根據(jù)距離公式，該對稱點(diǎn)到(12,3)的距離13就是代數(shù)式的最小值。
總結(jié)：聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)和幾何知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)來轉(zhuǎn)化問題，數(shù)到形，形到數(shù)，利用幾何圖形的直觀性和數(shù)的精確性來解題。形象思維、數(shù)形結(jié)合在高中解題中也非常有用，例如看到題目中代數(shù)式的形式為一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為定值，我們就要想到橢圓。題目中有些代數(shù)式對應(yīng)的是圓方程、直線方程或斜率公式。
看到下面這個(gè)帶絕對值的簡單式子
你會(huì)聯(lián)想對應(yīng)到什么？
30題(初中多動(dòng)點(diǎn)問題)
這題視頻網(wǎng)址為：http://url.cn/5Epogtc。可以先看視頻講解。
動(dòng)點(diǎn)就是運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，本題中動(dòng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)點(diǎn)在DC上運(yùn)動(dòng)。這題有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將軍飲馬只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。求三條線段長度之和最小值。
對這道題，要將不熟悉的兩動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的將軍飲馬問題(一個(gè)動(dòng)點(diǎn))。
兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)都動(dòng)，增加了問題的復(fù)雜性，在第3篇文章中我們使用過局部調(diào)整法，就是固定一些變化的因素，只讓少數(shù)因素變化，在這道題中就是固定一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，只讓一個(gè)變化。
直接上圖。隨便固定哪個(gè)點(diǎn)都行，我們固定F點(diǎn)不動(dòng)。此時(shí)要取最小值，根據(jù)將軍飲馬，F'EC必須三點(diǎn)共線，這是取最小值的必要條件，第一次將軍飲馬。MN平行于AB，和AB距離為2，MN是DC上的多個(gè)F點(diǎn)關(guān)于AB對稱之后產(chǎn)生的軌跡線(對稱點(diǎn)的集合)。這里的F'點(diǎn)代表了下下個(gè)圖中的'、
' 等諸如此類的點(diǎn)。
這里透徹講下這題中的局部調(diào)整和取最小值的必要條件。
其實(shí)可以理解成割韭菜，村里或小區(qū)每家都長有各種高度的韭菜，比如你家有多種高度的韭菜(升序排列,最小值在前面)：5厘米、12厘米、20厘米，...，。張三家也有多種高度：4厘米、6厘米、15厘米，...，。李四家也有。我們要求村里只留下高度最小的韭菜，其他全部割掉。怎么割？有種方法是分兩撥割，第一撥是每家割自家的，只留下最短的，例如你家只留下5厘米的，張三家只留下4厘米的，如此類似。第二撥開始，每戶把自家最短的長度報(bào)出來，和其他家的一起進(jìn)行比較，選出最短的，其余全部割掉，例如你家5厘米的就被割掉了，因?yàn)樗皇亲疃痰?。這道題的方法與此類似。當(dāng)F點(diǎn)在點(diǎn)(
點(diǎn)類比為你家)不動(dòng)時(shí)，E點(diǎn)可以動(dòng)，所以此時(shí)三條線段長度之和有很多種數(shù)值，但長度最小的是
' +?
'
,? 這是
家最短的韭菜高度，
'是
點(diǎn)關(guān)于AB軸的對稱點(diǎn)，此時(shí)
'、E、C三點(diǎn)共線；類似，當(dāng)F點(diǎn)在
點(diǎn)(類比為張三家)不動(dòng)時(shí)，三條線段長度之和也有很多，此時(shí)的最小值就是
' +
'C，這是
家最短的韭菜，此時(shí)
'、E、C三點(diǎn)共線;? F點(diǎn)在DC上，所以還有很多家，不管有多少家，第一撥之后，每家只剩下最短的，這些最短的情況集合就是另一個(gè)將軍飲馬問題：河流是MN，
'、
'、
'等等就是飲馬點(diǎn)，這些點(diǎn)在MN上。將軍飲馬中的兩個(gè)定點(diǎn)對應(yīng)本道題中的A點(diǎn)與C點(diǎn)，將軍從A點(diǎn)出發(fā)，到MN中的某點(diǎn)飲馬，再去C點(diǎn)( 終點(diǎn))。相比較而言，從每戶選出來的最短集合中還有個(gè)最短的。所以第二撥就是從這個(gè)集合中，從這個(gè)將軍飲馬問題中，在MN上找出一個(gè)最短長度的F點(diǎn)(這個(gè)點(diǎn)是
'、
'、
',...,等諸多點(diǎn)中的一個(gè))，得到一個(gè)最短的就是本題的最終答案。
? 每一次的將軍飲馬問題也可理解成根據(jù)三點(diǎn)共線(對稱點(diǎn)、飲馬點(diǎn)、終點(diǎn))必要條件來過濾得到最小值，對這道題而言，對局部調(diào)整時(shí)的第一次將軍飲馬，三點(diǎn)共線是必要條件，不是充要，必須要共線，但即使共線，并不能選出最終的最小值，因?yàn)檫€有很多家，但它對每家內(nèi)部取最小值來說是充要條件；對第二次而言是充要條件，它選出了最終的最小值。
還不明白就在草稿紙上多畫幾種情況，得到感性認(rèn)識(shí)增進(jìn)理解。
懂局部調(diào)整思想和它具體運(yùn)用的人很快就能把題做出來，上面的詳細(xì)冗余的講解是為了盡量讓不理解的人明白。
這類多動(dòng)點(diǎn)問題，線上的幾個(gè)老師都講的不好，不得法，原因是沒掌握好局部調(diào)整思想。
總結(jié)：局部調(diào)整法，它具有逐步逼近的思想、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化。
? 并不是所有多動(dòng)點(diǎn)問題都可用局部調(diào)整法來解決。很多動(dòng)點(diǎn)問題要找?guī)讉€(gè)定點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)，利用定點(diǎn)之間直線最短或三角形中兩邊之和大于等于第三邊(等于是包含了當(dāng)為3點(diǎn)共線，180度這種特殊情況)和兩邊之差小于等于第三邊( 等于也是包含了共線的特殊情況)。有的動(dòng)點(diǎn)問題可以用函數(shù)最值來解，有的可用不等式來解。
31題(另一道多動(dòng)點(diǎn)問題)
這題和上一道題類似，也可運(yùn)用局部調(diào)整法，固定P點(diǎn)，運(yùn)用將軍飲馬類似的對稱法，或者說運(yùn)用取最小值的必要條件，注意不是充要條件。在草稿紙上畫一下圖，做對稱，找出E的對稱點(diǎn)軌跡線，就馬上明白怎么做了。
可以理解成通過必要條件排除了絕大多數(shù)不能取最小值的情況，但留下來的情況還是很多，留下的情況集合可以理解成原集合的特殊子集或特殊分類。從這個(gè)特殊子集中再取唯一的最小值已經(jīng)很容易了。具體怎么做，自己思考下。
這題的講課老師也沒講到點(diǎn)子上，不得法。
32題(初中競賽題)
已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足。求
。
視頻網(wǎng)址http://url.cn/509uDQU
這個(gè)題第一眼看到，就要根據(jù)聯(lián)想起對應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)：
。要把結(jié)論中的式子盡量往已知條件和聯(lián)想起的知識(shí)點(diǎn)上接近靠攏，要試著用好這些已知條件和聯(lián)想起的知識(shí)。
把結(jié)論中的式子展開，再變形為，所以最大值為27。
另外也可聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)，這里要考慮a、b、c可為負(fù)數(shù)。如何求ab+ac+bc的最小值可以思考下？
這里我給出另一種解法，一元二次方程的判別式法，要能聯(lián)想到判別式，如下圖。
要提醒的是，我們通過a-b=m和b-c=n，用換元法把結(jié)論式子中的a-b和b-c換成了m和n，讓結(jié)論式子在形式上變簡單，這樣把復(fù)雜性移到了已知條件，這也是第一篇文章中提到的矛盾分析法中的轉(zhuǎn)移矛盾，把復(fù)雜性和矛盾從結(jié)論轉(zhuǎn)移到已知條件上?？瓷蠄D就明白了，學(xué)數(shù)學(xué)，一定要掌握靈活辯證看問題和處理問題，要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)移。
33題(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)
求。
是開立方。
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講課的老師玩的是奇淫技巧，絕大多數(shù)學(xué)生很難想到，或等想到黃花菜都涼了。在沒有普適的方法時(shí)可以玩技巧。
普適的實(shí)用簡潔的方法直接上圖，如下：
總結(jié)：合理設(shè)想猜想加待定系數(shù)法。出題人(命題人)思維在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-3有提到過。出題人在題目中加入隱藏信息(條件或結(jié)論、特征)、變形的偽裝馬甲、組合出死結(jié)或綜合多種知識(shí)點(diǎn)、制造矛盾(制造對立和差異或運(yùn)用矛盾的相互轉(zhuǎn)化，例如從抽象變到具體或具體變到抽象，從一般到特殊，從整體到局部)、無序(熵)、混淆或過河拆橋就成為了難題，但難題總有破綻，我們要用各種數(shù)學(xué)思想方法來做反向工程，返本歸元，來發(fā)現(xiàn)它們的破綻，發(fā)現(xiàn)原型，進(jìn)而找到解題突破口，破解題目。
大總結(jié)：這幾道題仍是重復(fù)前面幾篇文章中的思想方法和一些觀點(diǎn)，用具體的題來詮釋這些思想方法和觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想方法論本身內(nèi)容不多，但內(nèi)涵比較深刻，要多實(shí)踐領(lǐng)悟。
下一篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-6(原創(chuàng))。
王國波? 2019.5.7于廣州
