看阿基米德如何處理圓面積

阿基米德其人

阿基米德是人類歷史上最偉大的數學家之一。是的，是有“之一”，但也可以說就是最偉大的數學家。有人這么說，如果找當今的數學家作一個調查，請他們列出人類歷史上最偉大的10個數學家，可能不同的人會有不同的看法，但如果人數減少到3人，即請他們列出人類歷史上最偉大的3個數學，那么這個名單會非常集中，集中在這三個人：阿基米德，牛頓，高斯。還有人說，如果阿基米德能到現在大學數學系的課堂里去聽課，他很快就不會有太多障礙。

阿基米德處理數學問題，既體現出熟練的計算技巧，又有嚴格的證明。

阿基米德是被羅馬士兵殺死的……

我們從阿基米德的著作《圓的度量》中選一個命題，用我們現代習慣的表達方式寫出來，方便我們體會一個這位天才的數學家的思想。

我們先來說一個有意思的結論：

一個量A可以任意接近另一個確定的量B，那么A大于任意比B小的確定的量C

這里包含有阿基米德的微積分思想萌芽。

道理是很簡單的。如上圖，C比B小，即數軸上，C在B的左邊，且與B有固定的距離。而A可以任意接近B，當然終于會比C更接過B，從而大于C。

下面，我們來看阿基米德的命題：

任一圓的面積等于以該圓的半徑和周長為兩直角邊的直角三角形的面積。

我們在前面的文章中，曾經給出過一個形象的說明（圓面積的另類推導）

現在我們來看阿基米德的嚴謹證明。

假設上述三角形的面積為K，圓的面積為S，阿基米德要證明的是：S=K

他的思路是：

為了證明S=K，分兩步：第一步，證明S不大于K；第二步，證明S不小于K。

怎么樣，這個步驟看起來與把大象放進冰箱里的步驟差不多吧！

阿基米德完成了證明！他完成每一步的證明都是反證！

假設S大于K。

考慮圓的內接正多邊形。顯然，隨著邊的增加，正多邊形的面積可以任意的接近圓的面積。

但圓的面積S是大于K的，于是，終于會得到一個正多邊形，它的面積也會大于K。（就是應用一開始給出的結論）

但讓我們來看圓內接正多邊形的情況：

圓內接正多邊形可以分成若干個三角形，每個三角形的面積都等于多邊形邊長與邊心距（即圖中的k）乘積的一半。于是多邊形的面積就等于多邊形的周長乘邊心距的一半。

但顯然，多邊形的周長小于圓的周長，邊心距小于圓的半徑。從而，多邊形的面積小于以圓的周長和半徑為直角邊的三角形面積。矛盾！

于是S不可能大于K。

完全類似的，我們只要考慮圓外切正多邊形，就可以證明：S不可能小于K。

從而，S=K。