自守函數(shù)
龐加萊和克萊因繼續(xù)研究線性微分方程理論，他們引入了自守函數(shù)的課題，在微分方程理論和應(yīng)用中均十分重要。
龐加萊(1854-1912)是Sorbonne(即巴黎大學(xué))的教授，他和歐拉、柯西一樣高產(chǎn)，涉足數(shù)學(xué)、物理的大量領(lǐng)域，他的物理研究包括：毛細(xì)管引力、彈性學(xué)、位勢理論、流體力學(xué)、熱傳播、電學(xué)、光學(xué)、電磁理論、相對論（他還是愛因斯坦的對家，可能是法國人看不慣德國人吧），最突出的是天體力學(xué)。龐加萊洞察力極強(qiáng)，善于揭示問題本質(zhì)。他能敏銳地專注于問題，并細(xì)致地考察，對問題的各個(gè)方面作定性研究。
自守函數(shù)是圓函數(shù)、雙曲函數(shù)、橢圓函數(shù)以及初等分析中其它函數(shù)的推廣，函數(shù)sin z當(dāng)z換為z+2mπ(m為整數(shù))時(shí)函數(shù)值不變，也就是說當(dāng)z受到群z'=z+2mπ的任何變換時(shí)，函數(shù)sin z的值是不變的；雙曲函數(shù)sinh x，當(dāng)z受到群z'=z+2πmi的變換時(shí)值不變；橢圓函數(shù)在群z'=z+mω+m'ω'（ω和ω'是該函數(shù)周期）的變換下值不變，所有這些群都是不連續(xù)的（龐加萊引入的術(shù)語），就是說在群的變換下，任何一點(diǎn)的所有變式的數(shù)目在任何有界區(qū)域內(nèi)都是有限的。
自守函數(shù)今天包括在變換群或這個(gè)群的某些子群作用下不變的函數(shù)，其中abcd可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，而ad-bc=1。此外在復(fù)平面任何有限部分上，這群必須是不連續(xù)的。
最早研究的自守函數(shù)是橢圓模函數(shù)，這些函數(shù)在模群或其某些子群的作用下不變，模群就是類似的一個(gè)子群，abcd是實(shí)整數(shù)且ad-bc=1，這些橢圓模函數(shù)是從橢圓函數(shù)中導(dǎo)出的。
更一般的自守函數(shù)是研究二階線性微分方程時(shí)引入的，其中p1,p2最初是z的有理函數(shù)，一個(gè)特殊情形是有0,1,∞三個(gè)奇點(diǎn)的超幾何方程
黎曼在1858-1859年的超幾何級數(shù)講義和1867年關(guān)于極小曲面的遺作中，和施瓦茨獨(dú)立得到了以下理論：令η1和η2是二階線性微分方程的任兩個(gè)特解，于是所有解可以表示為η=mη1+nη2，當(dāng)z繞奇點(diǎn)閉路徑一周后，η1和η2變?yōu)閍η1+bη2和cη1+dη2，而令z繞所有奇點(diǎn)的閉路徑運(yùn)動時(shí)，就得到線性變換的集合，即微分方程的單值群。
現(xiàn)在令ζ(z)=η1/η2，z繞閉路徑一周時(shí)，商ζ變?yōu)?aζ+b)/(cζ+d)，ζ滿足微分方程：
如果把超幾何方程中的特殊函數(shù)取為p1,p2，就得到
其中λ^2=1-γ^2，μ^2=(γ-α-β)^2，γ^2=(α-β)^2，λ、μ、v取正數(shù)（α、β、γ是實(shí)的），變換后的ζ就是該微分方程的單值群。
接著黎曼和施瓦茨證明。當(dāng)λ、μ、v是實(shí)數(shù)時(shí)，該微分方程的每個(gè)特解ζ(z)都是一個(gè)從上半z平面到ζ平面上的 以圓弧為邊，以λπ、μπ、vπ為角的曲線三角形的保角變換。
當(dāng)區(qū)域由三圓弧圍成時(shí)，如果三個(gè)角滿足一定條件，則ζ=ζ(z)的反函數(shù)就是一個(gè)自守函數(shù)z=Φ(ζ)，它的存在區(qū)域是半平面或圓，ζ經(jīng)線性變換群中的元素變換后，函數(shù)保持不變，變換把上述形狀的曲線三角形變到另一曲線三角形，給定的”圓邊“三角形是這個(gè)群的基本區(qū)域，在這變換群的作用下，這個(gè)區(qū)域變成類似三角形，它們的和覆蓋了半平面或圓。這圓形三角形類似橢圓函數(shù)中的平行四邊形。（云里霧里中。。。）
龐加萊和克萊因在此基礎(chǔ)上繼續(xù)前進(jìn)，1880年以前，克萊因在自守函數(shù)上做了些基本工作，1881-1882年與龐加萊合作。龐加萊受富克斯工作吸引，對這個(gè)課題進(jìn)行了一些研究。1884年龐加萊在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表了五篇關(guān)于自守函數(shù)的重要論文，首篇發(fā)表時(shí)克羅內(nèi)克還警告編輯米塔格-累夫勒，說這篇論文寫得太不成熟、太隱晦難懂了，要刊登的話咱們期刊就完蛋了。
龐加萊以橢圓函數(shù)理論為指導(dǎo)發(fā)明了一類新的自守函數(shù)，這類自守函數(shù)是考慮方程的兩個(gè)線性無關(guān)解的商的反函數(shù)，其中w,z由多項(xiàng)式方程Φ(w,z)=0相連，PQ是有理函數(shù)。這時(shí)富克斯型自守函數(shù)，由基本圓內(nèi)一致（單值）全純函數(shù)組成，這圓在形如
的線性變換作用下不變，abcd是實(shí)數(shù)且ad-bc=1。這些使圓及其內(nèi)部不變的變換形成一個(gè)群，叫做富克斯群。最簡單的富克斯群是施瓦茨函數(shù)Φ(ζ)，于是龐加萊證明了比橢圓模函數(shù)更普遍的自守函數(shù)類的存在性。
龐加萊根據(jù)他的θ級數(shù)作出關(guān)于自守函數(shù)的構(gòu)造，設(shè)群的變換是
令z1,z2,...為z在群中各種變換下的象，令H(z)是一個(gè)有理函數(shù)，于是龐加萊的θ級數(shù)是函數(shù)
現(xiàn)在令θ1(z)和θ2(z)是具有同一m的兩個(gè)θ級數(shù)，這些級數(shù)單值且是整函數(shù)，因此F(z)=θ1(z)/θ2(z)是群的一個(gè)自守函數(shù)，如果是富克斯群上面的級數(shù)稱為θ-富克斯級數(shù)，如果是克萊因群就叫θ-克萊因級數(shù)。
富克斯型函數(shù)有兩類，一類存在于整個(gè)平面，另一類只存在于基本圓內(nèi)部，富克斯型函數(shù)的反函數(shù)是代數(shù)系數(shù)的二階線性微分方程的兩個(gè)積分之比，龐加萊把這種方程稱為富克斯型方程，可用富克斯型函數(shù)的方法積分求出。
后來龐加萊把變換群推廣到復(fù)系數(shù)，并討論了這種群的幾個(gè)類型，龐加萊把這種群稱為克萊因群。如果一個(gè)群在本質(zhì)商不是有限的或不是富克斯型的，但也形如，并且在復(fù)平面的任何部分上不連續(xù)，那么這個(gè)群是克萊因群。龐加萊對克萊因群得到了新的自守函數(shù)：克萊因函數(shù)，即在克萊因群變換下不變的函數(shù)。這些函數(shù)有類似富克斯型函數(shù)的性質(zhì)，但基本區(qū)域比圓復(fù)雜。順便一提的是，克萊因考慮過富克斯型函數(shù)，但富克斯沒研究過，于是克萊因跟龐加萊抗議，我也搞了這個(gè)工作，咋名字被富克斯占便宜了，龐加萊說啊你既然不滿意的話，我接下來發(fā)現(xiàn)的自守函數(shù)就叫克萊因函數(shù)好了，反正克萊因你也沒發(fā)現(xiàn)這種函數(shù)哇。
后來龐加萊指出如何借助克萊因函數(shù)表示僅有正則奇點(diǎn)的代數(shù)系數(shù)的n階線性微分方程的積分。這樣，整個(gè)這類的線性微分方程都可用龐加萊這些新的超越函數(shù)來解了。
