? 作者：楊之勇? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

微積分理論的創立

讀過大學特別是理工科院?；驍祵W專業的人都不會忘記在校微積分的學習過程，學后多年不用，能否很清楚的還掌握和靈活運用，確實是個問題，本文就是要幫助那些還沒學懂的少部分朋友們，重溫微積分的原理和有關關聯聯系問題。很好德理解和掌握已學的知識。

人類為何要發明微積分？是為了解決什么問題？一切產生的東西都來自需要：一切科技成果的產生是源于當時的社會生產需要，以及環境的促進有關，由于生產的發展，機械制造、建筑、航海、軍事武器等實業的發展，許多生產現實問題擺在工程技術及研究者面前，如：變速運動、不規則圖形面積等這些問題是初等數學難以解決的，因而數學從研究常量為主的初等數學，發展到以研究反映客觀事物運動變化過程的變量為主的高等數學，微積分是高等數學的一個主要組成部分。從初等數學發展到高等數學，是數學史上一個飛躍，恩格斯曾經指出過：數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，函數概念和理論使微積分學術思想初露頭角，是繼尤拉幾何之后，是數學理論中一個最大的創造。微積分的創立。首先是為了處理和解決十七世紀科技前沿有關科技難題：1.不斷變化的即時速度和加速度問題。2.物理光學引出的變化的曲線和切線問題。3.求函數的最大值與最小值問題。4.求曲線長度等問題.。5.有些工程近似計算問題等。

? ? ? ? 促使微積分產生的因素：是函數概念的采用，即用符號闡明事物要素的關聯關系這是科學的再發展的鋪墊：v=RT/P,? 是表明一定量的理想氣體在體積V是它的壓強P和它的絕對溫度的函數。Q=UIt, 表明電力用戶所耗電能Q是電壓U,電流I和時間它的函數，引入U=IR歐姆定律便得Q=R(I^2) t? , s=r?+? 這就是機械上曲柄滑塊機構中滑塊位置和曲柄轉角之間的函數關系。 ?

? ? ? ? 微積分是順應軍事和生產中的相關數學的發展，經過很多數學家研究成果積累并總結起來的一套數學運算系統，目的是為了解決各種科學模型中的變量求解問題。微積分作為初等數學和高等數學的分水嶺，在現代科學中有著極其重要的作用，微積分的發明也絕對堪稱人類智慧的結晶。

? ? ? ?在17世紀以前，很多數學家已經開始萌發了微積分的思想；比如中國古代數學家祖沖之利用割圓術求圓周率，阿基米德的微元法求體積、希臘數學家的極限思想等等。科學是人們的社會實踐（物質生產、國防安全、科學實驗、等等）的產物和工具，因需要促使發展。數學中的微積分學問的發生與發展主要也是這樣，古代生產水平低下，需要和涉及的數學和其它科學就簡單；近代生產的逐漸發達，科學技術在進步，數學和其它科學一樣，也日趨復雜。隨著社會生產實踐發展到一定階段，常量的數學就不夠用了，于是變量的數學應運而生處理和解決變化現象的重要數學學科——微積分。微積分學科由十七世紀的英國人牛頓與德國人萊布尼茲同時獨立發現。微積分是微分法與積分法的簡稱。微分法和積分法是對立統一的兩種分析和計算方法猶如加法和減法、乘法和除法。微分是將研究的對象虛擬劃分為極其細微的小部分，這種極其微小部分被稱為無窮小量，有大變小，由小變為無窮小，目的是要實現計算方式上的轉變，以直代去曲，以不變代可變，以微小直至極限理論去分析化解計算整體和部分變量數學的轉變性分析數學的科學。正如恩格斯指出的：“只有微分學才能使自然科學有可能用數學不僅僅表明狀態，并且也表明過程：運動。”

? ? ? 人們對幾何圖形的認識過程，同認識其它事物一樣，也是經歷了從簡單到復雜、從直觀到抽象的過程。在初等數學中直線和曲線是兩個不同性質的感念，直線和曲線很明顯有著不同的外觀和幾何特征。但是直曲線能不能在一定條件下實現轉化呢？可以轉化的，古代勞動人民在他們生產實踐中已經實現了直和曲的轉化了，他們用條形或方形直磚砌成成拱形的橋，如趙州橋等歷史古跡。另外，我國魏晉時期的劉徽和南北朝時期的祖沖之利用圓的內正多邊形去計算圓的周長和面積也是利用直線和曲線的轉化達到目的的。到了十七世紀以后，隨著數學微積分理論的產生和發展人們對直和曲的關系的認識計入了一個新階段。當時恩格斯曾指出：高等數學的主要基礎之一是這樣一個矛盾：在一定條件下直線和曲線應當是一回事。

? ? ? ? 認識和認知來源與概念，什么是概念？概念是反映事物本質屬性的思維表達形式。內涵是概念的質的體現，外延是概念量的表達，通常是指本概念使用范圍。

概念解讀：

? ? ? ?從事物及要素間的關聯看，從數學角度來分析有的是始終保持不變的量被成為常量或常數，有的是可以變化的量被成為變量或變數。事物要素間的關聯體現在一個要素的變化或改變，會引起相關聯的兩個要素的變化或改變，這種要素間的關聯關系被稱為函數關系。

? ? ? ?函數的導數是指函數因變量的變化率與自變量的變化率之比，也稱微商；導數的通俗定義：在函數某一定義域內，自變量有微小改變引起因變量的的改變值與自變量改變中商值的極限

導數的常規數學定義：

? ? ?函數差商的極限稱為函數y=f(x)在點x處的導數。? ?函數的差商{f()? -? f(x)}/

(-x)? ? =? ?y-y? /x-x? ?=△y /△x? ? 來源于：微積分和數學分析引論? ?R.克朗? F 約翰 著

西安交大高等數學中導數的定義：設有函數y=f(x),當自變量x在處有改變量△x時，函數y相應地有改變量△y=f(+△x)-f();如果這兩個該變量之比當?0時的極限。存在，那么這極限值稱為函數y=f(x)在的導數。并說函數f(x)在可導，記作? f＇()或 y＇

用普通語言講：函數的導數是函數增量與因變量在函數量值變化趨近于零時（最?。┑淖兓戎担杭春瘮底兓隽?因變增量的商變值，也成為微商。

?函數自變量某一點值的導數（微商）的應用：

? ? ? ?1.判斷該區域段函數的升、降、以及升降快慢，2.求函數在改點最大值（極值）3.求解事物要素間關聯關系：1）運動的速度是路程對于時間的導數，即v=ds/dt.,2)比熱是熱量對于溫度的導數，即c=dq/dτ,3)線性密度是質量對于長度的導數，即δ=dm/?。一種理論的誕生是社會生產需要所促進的產物，學習理論目的是要能掌握事物要素間關聯關系，能更清楚的認識事物和認知事物，學習的目的全在于應用，在應用中獲取效益和成果。

? ? ? ?導數是一個數學概念。微積分和數學分析引論（R.柯朗.F.約翰? 著）函數差商的極限稱為函數y=f(x),在x點處的導數，是計算和分析力學中的瞬時速度、電學中的電流強度、化學中的反應速度等有力工具。1.可對函數線性化處理和分析計算。2.應用生產和測量及工廠技術中的近似計算公式的推導計算。3.可分析曲線的凹凸性判斷函數變化趨勢。4.求函數的極值（最大最小值）

? ? ? ?微分的定義：函數y=f(x)在x點可導，則f＇(x)dx，稱為函數y=(x)在x點的微分。通俗來講：函數在某曲線上的一點可導，函數自變量的改變量與其在該點導數之積成為給函數在該點的微分。

函數的微分與導數的關系

? ? ? 在微分的定義中可知，dy和dx是同時存在的，它們的比：就是導數f＇(x),所以導數也叫微商。

微分學發展歷史萌芽時期

? ? ? ?早在希臘時期，人類已經開始討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念。這些都是微分的中心思想；雖然這些討論從現代的觀點看有很多漏洞，有時現代人甚至覺得這些討論的論證和結論都很荒謬，但無可否認，這些討論是人類發展微分的第一步??。

? ? ? ?例如公元前五世紀，希臘的德謨克利特（Democritus）提出原子論：他認為宇宙萬物是由極細的原子構成。在中國，《莊子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，萬世不竭」，亦指零是無窮小量。這些都是最早期人類對無窮、極限等概念的原始的描述。

? ? ? 其他關于無窮、極限的論述，還包括芝諾（Zeno）幾個著名的悖論：其中一個悖論說一個人永遠都追不上一只烏龜，因為當那人追到烏龜的出發點時，烏龜已經向前爬行了一小段路，當他再追完這一小段，烏龜又已經再向前爬行了一小段路。芝諾說這樣一追一趕的永遠重覆下去，任何人都總追不上一只最慢的烏龜－－當然，從現代的觀點看，芝諾說的實在荒謬不過；他混淆了「無限」和「無限可分」的概念。人追烏龜經過的那段路縱然無限可分，其長度卻是有限的；所以人仍然可以以有限的時間，走完這一段路。然而這些荒謬的論述，開啟了人類對無窮、極限等概念的探討，對后世發展微積分有深遠的歷史意味。

? ? ? ?另外值得一提的是，希臘時代的阿基米德（Archimedes）已經懂得用無窮分割的方法正確地計算一些面積，這跟現代積分的觀念已經很相似。由此可見，在歷史上，積分觀念的形成比微分還要早－－這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛剛相反。

十七世紀的牛頓和萊布尼茨的貢獻

? ? ? ?中世紀時期，歐洲科學發展停滯不前，人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有什么突破。中世紀以后在微分方面，十七世紀人類也有很大的突破。費馬（Fermat）在一封給羅貝瓦（Roberval）的信中，提及計算函數的極大值和極小值的步驟，而這實際上已相當于現代微分學中所用，設函數導數為零，然后求出函數極點的方法。另外，巴羅（Barrow）亦已經懂得透過「微分三角形」（相當于以dx、dy、ds為邊的三角形）求出切線的方程，這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的。由此可見，人類在十七世紀已經掌握了微分的要領。微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

? ? ? ?微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想，是在無限微小分化的極限條件原理情況下實現由曲到直的轉變的一種數學分析和數學上的手段和工具。

? ? ? ?從直到曲，由曲化直的認識是先由形的客觀事物為上學的認識開始的，在歐幾里幾何學中人們開始認識形，研究直線和圓的某些性質，面對復雜的曲線圖形還很少研究。人類在認識史上先認識事物，而后才能研究過程。必須先知道一個事物是什么，而后才能覺察這個事物中所發生的變化。

導數和微分的區別

? ? ? ?導數是函數圖像在某一點處的斜率，也就是縱坐標增量（Δy）和橫坐標增量（Δx）在Δx0時的比值的極限。微分是指函數圖像在某一點處的切線在橫坐標取得增量Δx以后，縱坐標取得的增量，一般表示為dy。導數是函數圖像在某一點處的斜率，也就是縱坐標變化率和橫坐標變化率的比值。微分是指函數圖像在某一點處的切線在橫坐標取得Δx以后，縱坐標取得的增量。

? ? ? ?微分在數學中的定義：由函數B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函數改變量的線性主要部分。微積分的基本概念之一。?

? ? ? ?微分定義：設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx)是比Δx高階的無窮?。ㄗⅲ簅讀作奧密克戎，希臘字母）那么稱函數f(x)在點x是可微的，且AΔx稱作函數在點x相應于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。

? ? ? ? 函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。

導數與函數的區別之處：導數和微分的區別一個是比值的極限、一個是增量。

1、導數是函數圖像在某一點處的斜率，也就是縱坐標增量（Δy）和橫坐標增量（Δx）在Δx-->0時的比值。

2、微分是指函數圖像在某一點處的切線在橫坐標取得增量Δx以后，縱坐標取得的增量，一般表示為dy。

函數的導數等于函數的微分與自變量的微分之商。也就是微分之值既自變量x有關，也與dx有關。

微分應用：

? ? ? 1、我們知道，曲線上一點的法線和那一點的切線互相垂直，微分可以求出切線的斜率，自然也可以求出法線的斜率。

? ? ? ?2、假設函數y=f(x)的圖象為曲線，且曲線上有一點(x1,y1)，那么根據切線斜率的求法，就可以得出該點切線的斜率m：m=dy/dx在(x1,y1)的值，所以該切線的方程式為：y-y1=m(x-x1)。由于法線與切線互相垂直，法線的斜率為-1/m且它的方程式為：y-y1=(-1/m)(x-x1)

? ? ? ?3、增函數與減函數

微分是一個鑒別函數（在指定定義域內）為增函數或減函數的有效方法。

鑒別方法：dy/dx與0進行比較，dy/dx大于0時，說明dx增加為正值時，dy增加為正值，所以函數為增函數；dy/dx小于0時，說明dx增加為正值時，dy增加為負值，所以函數為減函數。

? ? ? ?4、變化的速率

微分在日常生活中的應用，就是求出非線性變化中某一時間點特定指標的變化。

在t=3時，我們想知道此時水加入的速率，于是我們算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

所以我們可以得出在加水開始3秒時，水箱里的水的體積以每秒1/8升的速率增加。

微積分的誕生歷史回顧

? ? ? ?隨著物理學方面的發展，很多物理問題的研究遇到了困難，比如：行星橢圓軌道的推導過程、最速降曲線問題、 曲線的切線問題、函數極值問題、復雜球體的體積問題等等。這時候科學家們對以上問題的解決，有著非常迫切的需求，期間很多數學家對微積分的誕生做了鋪墊，比如笛卡爾發明坐標系、費馬、開普勒、伽利略、哈雷等人也有貢獻。

? ? ? ?最終在17世紀末，英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲，分別獨立地發明了微積分，兩者對微積分的切入點不一樣，但是本質思想是一致的。微積分的誕生，對以上科學問題，簡直猶如天助，輕輕松松就能解決很多以前解決不了的問題；雖然微積分在創立之初遭遇到很多難題，但都被后來的數學家們完善。

微積分的基本思想是求極限，函數角度看就是求切線和面積，又可分為積分和微分兩大類，兩者互為逆運算。

比如下圖：對于一個函數f（x），在定義域[a，b]內，函數圖像和橫坐標圍成一個陰影面積，如果要求陰影面積的大小，只用初等數學知識是很難的，但使用微積分就變得非常簡單。

微積分有一套嚴格的微分和積分法則，比如該函數表達式為f（x）=x^3，a=2，b=5，那么可以很快求出陰影部分的面積：

? ? ? ?微積分的發明與發展離不開實際需要，在16、17世紀科學技術處于攻堅階段，當時的物理學家牛頓在研究力學，流體力學的問題中，提出了很多新課題，這些問題使用當時的數學方法是無法解決的，于是牛頓和萊布尼茲發明了微積分理論。

? ? ? ?最早，伽利略在研究力學時，提出了變量的概念，這是函數的基礎，在他的著作里提出全新的數學概念，后來經過數學家萊布尼茲的發展，引進了函數符號的概念，這樣就給微積分的誕生打下了堅實的基礎。

? ? ? 而牛頓發明微積分幾乎是和牛頓平行而獨立進行的，他們倆對函數的稱呼也不一樣，一個叫做function，沿用至今，另一個叫做fluent，即：流量，為什么牛頓把它叫做流量呢？因為當時他在研究流體力學。

? ? ? ?當時的科技發展給數學家門出了幾個難題，比如如何在已知位移公式的情況下求出v、a（速度、加速度），又如已知曲線方程求其某個點上的切線，或者求出曲線某段的弦長，還有在某個區間內，求出函數的最大或者最小值問題。

? ? ? ?牛頓在解決這些問題時，使用到了極限的運算，后來就出現了對函數的求導數運算，這樣就發明了微分學，有了微分學理論，就可以解決上面提到的求物體運動的瞬間速度和加速度問題，就可以求出曲線在某點的切線問題。

后來，這些物理力學家和數學家發現光有微分理論，還不能解決其他問題，比如已知速度公式如何求出位移函數，已知曲線函數如何求出在某個區間上內圍成圖形的面積，以及如何求曲線的長度等。

? ? ? ?這些問題的解決，同樣離不開極限運算，在物理學家和數學家們的辛勤勞動下，積分學終于誕生了。在微積分學的發展歷程中，牛頓和萊布尼茨是代表性的人物，他們做出了巨大貢獻，微積分的發展是科學技術發展的重要的里程碑。是定量數學向變量數學轉變的一個階梯。

待續…