分治算法的基本思想是將一個計算復雜的問題分為規模較小，計算簡單的小問題求解，然后綜合各個小問題，而得到最終問題的答案。分治算法的執行過程如下：
- 對于一個規模為N的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模N較小），則直接解決，否則執行下面的步驟。
- 將該分解為M個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立，并且與原問題形式相同。
- 遞歸地解決這些子問題。
- 然后，將各個子問題的解合并得到原問題的解。
使用分治算法需要待求解問題能夠化簡為若干個小規模的相同問題，通過逐步劃分，能夠達到一個易于求解的階段而直接進行求解。然后，程序中可以使用遞歸算法來進行求解。
下面我們通過一個例子來看分治算法具體的應用場景。
一個袋子里有30個硬幣，其中一枚是假幣，并且假幣和真幣一模一樣，肉眼很難分辨，目前只知道假幣比真幣輕一點。請問如何區分出假幣呢？
下面我們來分析一下問題。可以采用遞歸分治的思想來求解這個問題，操作步驟如下：
- 首先為每個硬幣編號，然后可以將所有的硬幣分為兩份，放在天平的兩邊。這樣就將區分30個硬幣的問題，變為區分兩堆硬幣的問題。
- 因為假硬幣的分量較輕，因此天平較輕一側中一定包含假硬幣。
- 再將較輕一側中的硬幣等分為兩份，重復上述做法。
- 直到剩下的兩枚硬幣可用天平直接找出來假硬幣來。
public class Solution {
static final int MAXNUM = 30;
public static int FalseCoin(int[] coin, int low, int high) {
int res = 0;
int i, sum1, sum2, sum3;
sum1 = sum2 = sum3 = 0;
if (low + 1 == high) {
if (coin[low] < coin[high]) {
res = low + 1;
return res;
} else {
res = high + 1;
return res;
}
}
if ((high - low + 1) % 2 == 0) { // n是偶數
for(i = low; i <= low + (high - low) / 2; ++i) {
sum1 = sum1 + coin[i]; // 前半段和
}
for (i = low + (high - low) / 2 + 1; i <= high; ++i) {
sum2 = sum2 + coin[i]; // 后半段和
}
if (sum1 > sum2) {
res = FalseCoin(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);
}
else if (sum1 < sum2) {
res = FalseCoin(coin, low, low + (high - low) / 2);
} else {
}
} else { // n是奇數
for (i = low; i <= low + (high - low) / 2 - 1; ++i) {
sum1 = sum1 + coin[i]; // 前半段和
}
for (i = low + (high - low) / 2 + 1; i <= high; ++i) {
sum2 = sum2 + coin[i]; // 后半段和
}
sum3 = coin[low + (high - low) / 2];
if (sum1 > sum2) {
res = FalseCoin(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);
return res;
} else if (sum1 < sum2) {
res = FalseCoin(coin, low, low + (high - low) / 2 - 1);
return res;
} else {
}
if (sum1 + sum3 == sum2 + sum3) {
res = low + (high - low) / 2 + 1;
return res;
}
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
int[] coin = new int[MAXNUM];
int i, n;
int pos;
System.out.println("分治算法求解假硬幣問題！");
System.out.print("請輸入硬幣總的個數:");
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
System.out.println("請輸入硬幣的真假:");
for (i = 0; i < n; ++i) {
coin[i] = in.nextInt();
}
pos = FalseCoin(coin, 0, n - 1);
System.out.println("在上述" + MAXNUM + "個硬幣中，第" + pos + "個硬幣是假的！");
}
}
遞推算法是一種理性思維模式的代表，其根據已有的數據和關系，逐步推導而得到結果。遞推算法的執行過程如下：
- 根據已知結果和關系，求解中間結果。
- 判斷是否達到要求，如果沒有達到，則繼續根據已知結果和關系求解中間結果；如果滿足要求，則表示尋找到一個正確的答案。
遞推算法往往需要用戶知道答案和問題之間的邏輯。在許多數學問題中，都有著明確的計算公式可以遵循，因為往往可以采用遞推算法來實現。
下面通過一個斐波那契數列來看一下遞推的具體應用場景：
如果有一對兩個月大的兔子以后每一個月都可以生一對小兔子，而一對新生的兔子出生兩個月后才可以生小兔子。也就是說，1月份出生，3月份才可以產仔。那么假定一年內沒有兔子死亡事件，那么1年后共有多少對兔子呢？
我們先來分析一下兔子產仔問題。來逐月看一次每月的兔子對數：
第一個月：1對兔子；
第二個月：1對兔子；
第三個月：2對兔子；
第四個月：3對兔子；
第五個月：5對兔子；
......
從上面可以看出，從第3個月開始，每一個月的兔子總對數等于前兩個月兔子數的總和。相應的計算公式如下：
第n個月兔子總數Fn = Fn-1 + Fn-2。
這里，初始第一個月的兔子數為：F1 = 1，第二個月的兔子數為F2 = 1。
import java.util.Scanner;
public class Solution {
public static int fibonacci(int n) {
int t1, t2;
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
} else {
t1 = fibonacci(n - 1);
t2 = fibonacci(n - 2);
return t1 + t2;
}
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println("遞推算法求解兔子產仔問題！");
System.out.println("請先輸入時間：");
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int num = fibonacci(n);
System.out.println("經過" + n + "月的時間，共能繁殖成" + num + "對兔子！");
}
}
運行結果
