Catalan數——卡特蘭數 今天阿里淘寶筆試中碰到兩道組合數學題，感覺非常親切，但是筆試中失蹤推導不出來后來查了下，原來是Catalan數。悲劇啊，現在整理一下一、Catalan數的定義令h(1)=1，Catalan數滿足遞歸式：h(n) = h(1)h(n-1) + h(2)h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2該遞推關系的解為：h(n) = C(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...（其中C(2n-2,n-1)表示2n-2個中取n-1個的組合數）
問題描述:12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？
這個筆試題，很YD，因為把某個遞推關系隱藏得很深。
問題分析:
我們先把這12個人從低到高排列,然后,選擇6個人排在第一排,那么剩下的6個肯定是在第二排.
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那么含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.比如000000111111就對應著第一排：0 1 2 3 4 5第二排：6 7 8 9 10 11010101010101就對應著第一排：0 2 4 6 8 10第二排：1 3 5 7 9 11問題轉換為，這樣的滿足條件的01序列有多少個。
觀察1的出現，我們考慮這一個出現能不能放在第二排，顯然，在這個1之前出現的那些0,1對應的人要么是在這個1左邊，要么是在這個1前面。而肯定要有一個0的，在這個1前面，統計在這個1之前的0和1的個數。也就是要求，0的個數大于1的個數。
OK，問題已經解決。如果把0看成入棧操作，1看成出棧操作，就是說給定6個元素，合法的入棧出棧序列有多少個。這就是catalan數,這里只是用于棧，等價地描述還有，二叉樹的枚舉、多邊形分成三角形的個數、圓括弧插入公式中的方法數，其通項是c(2n, n)/(n+1)。
在<<計算機程序設計藝術>>，第三版，Donald E.Knuth著，蘇運霖譯，第一卷，508頁，給出了證明:問題大意是用S表示入棧，X表示出棧，那么合法的序列有多少個(S的個數為n)顯然有c(2n, n)個含S，X各n個的序列，剩下的是計算不允許的序列數(它包含正確個數的S和X，但是違背其它條件)。在任何不允許的序列中，定出使得X的個數超過S的個數的第一個X的位置。然后在導致并包括這個X的部分序列中，以S代替所有的X并以X代表所有的S。結果是一個有(n+1)個S和(n-1)個X的序列。反過來，對一垢一種類型的每個序列，我們都能逆轉這個過程，而且找出導致它的前一種類型的不允許序列。例如XXSXSSSXXSSS必然來自SSXSXXXXXSSS。這個對應說明，不允許的序列的個數是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。驗證：其中F表示前排，B表示后排，在枚舉出前排的人之后，對應的就是后排的人了，然后再驗證是不是滿足后面的比前面對應的人高的要求。

#include <iostream>  
using namespace std;  
  
int bit_cnt(int n)  
{  
    int result = 0;  
    for (; n; n &= n-1, ++result);  
    return result;  
}  
  
int main(void)  
{  
    int F[6], B[6];  
    int i,j,k,state,ok,ans = 0;  
    for (state = 0; state < (1 << 12); ++state)  
    {  
        if (bit_cnt(state) == 6)  
        {  
            i = j = 0;  
            for (int k = 0; k < 12; ++k)  
            {  
                if(state&(1<<k))  
                    F[i++] = k;  
                else  
                    B[j++] = k;  
            }  
            ok = 1;  
            for (k = 0; k < 6; ++k)  
            {  
                if (B[k] < F[k])  
                {  
                    ok = 0;  
                    break;  
                }  
            }  
            ans += ok;  
        }  
    }  
    cout << ans << endl;  
    return 0;  
}  

結果：132
而c(12, 6)/7 = 121110987/(765432) = 132
注意：c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)估計出題的人也讀過<<計算機程序藝術>>吧。PS：另一個很YD的問題:有編號為1到n(n可以很大，不妨在這里假定可以達到10億)的若干個格子，從左到右排列。在某些格子中有一個棋子，不妨設第xi格有棋子(1<=i<=k, 1<=k<=n)每次一個人可以把一個棋子往左移若干步，但是不能跨越其它棋子，也要保證每個格子至多只有一個棋子。兩個人輪流移動，移動不了的為輸，問先手是不是有必勝策略。三、Catalan數的典型應用：1、括號化問題。矩陣鏈乘： P=A1×A2×A3×……×An，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足X的個數大于等于Y的個數。以下為長度為6的dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY 將上例的X換成左括號，Y換成右括號，Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數： ((())) ()(()) ()()() (())() (()())
2、將多邊行劃分為三角形問題。將一個凸多邊形區域分成三角形區域(劃分線不交叉)的方法數?類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?