C(n) = C(0)C(n-1) + C(1)C(n-2) + ... + C(n-1)C(0)
或者C(n) = (2n)! / (n!(n+1)!)
C(0) = C(1) = 1
滿足這樣條件的序列就是卡特蘭數(shù)。
- 1到n的整數(shù)能構(gòu)建多少不同的BST（binary search tree)?
任一個整數(shù)做根節(jié)點時，其左右BST子樹的個數(shù)乘積就是這個整數(shù)做根節(jié)點的BST的個數(shù)，而1到n任一個整數(shù)做根節(jié)點的子樹的個數(shù)相加，就是該問題的答案。例如：設(shè)該問題的解為h(n), 1做根節(jié)點，則左子樹不可能有節(jié)點，而2～n共n-1個節(jié)點構(gòu)成了右子樹，所以BST個數(shù)是h(0)h(n-1), k做根節(jié)點，則左子樹只能有k-1個節(jié)點，而右子樹只能有n-k個節(jié)點，此時BST個數(shù)是h(k-1)h(n-k), 綜上， h(n) = h(0)h(n-1) + h(1)h(n-2) + ... + h(k-1)h(n-k) + ... + h(n-1)h(0)。可以看出該問題的答案實際上就是求解卡特蘭數(shù) - 設(shè)有無窮大的棧，已知入棧序列為1,2,...,n，求所有可能的出棧序列的個數(shù)
假設(shè)最后一個出棧的元素是k, 1 <= k <= n, 則顯然在k入棧之前，1到k-1已經(jīng)全部出棧了；而在k入棧后，k+1到n開始入棧，并在k出棧前全部出棧完畢。設(shè)該問題的解是h(n), 則顯然當(dāng)最后一個出棧的元素是k時，左右可能的出棧序列是h(k-1)h(n-k),
而h(n) = h(0)h(n-1) + h(1)h(n-2) + ... + h(k-1)h(n-k) + ... + h(n-1)*h(0)。可以看出該問題的答案實際上也是求解卡特蘭數(shù)。 - 有n對（），求所有可能的括號序列個數(shù)，比如n = 2時(()), ()()
我們可以把'('看成入棧，')'看成出棧，所以問題3實際上就等同于問題2 - 有2n個人買票，票價是5元，n個人有5元，n個人有10元，劇場沒有零錢，有多少種可能排隊，可以讓所有人都買到票。
我們可以吧5元看成入棧，10元看成出棧，所以問題4實際上就等同于問題2
問題2還可以用另一種角度來看，假設(shè)1代表入棧，0代表出棧，在2n位二進制數(shù)中填入n個1的方案數(shù)為c(2n,n),不填1的其余n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數(shù)大于1的累計數(shù)）的方案數(shù)即為所求。
不符合要求的數(shù)的特征是由左而右掃描時，必然在某一奇數(shù)位2m+1位上首先出現(xiàn)m+1個0的累計數(shù)和m個1的累計數(shù)，此后的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把后面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結(jié)果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數(shù)，即一個不合要求的數(shù)對應(yīng)于一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數(shù)，由于0的個數(shù)多2個，2n為偶數(shù)，故必在某一個奇數(shù)位上出現(xiàn)0的累計數(shù)超過1的累計數(shù)。同樣在后面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數(shù)，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數(shù)必對應(yīng)一個不符合要求的數(shù)。
因而不合要求的2n位數(shù)與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應(yīng)。
顯然，不符合要求的方案數(shù)為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數(shù)目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。
public class Solution {
static void parenthese(String currentSeq, int leftLNum, int leftRNum) {
if (leftRNum == 0) {
System.out.println(currentSeq);
return;
}
if (leftLNum == 0) {
for (int i = 0; i < leftRNum; i++) {
currentSeq += ")";
}
System.out.println(currentSeq);
return;
}
if (leftLNum == leftRNum) {
parenthese(currentSeq + "(", leftLNum - 1, leftRNum);
} else {
parenthese(currentSeq + "(", leftLNum - 1, leftRNum);
parenthese(currentSeq + ")", leftLNum, leftRNum - 1);
}
}
public static void parenthese(int n) {
parenthese("", n, n);
}
static void printStack(final String seq) {
int oneCount = 0;
int zeroCount = 0;
for (int i = 0; i < seq.length(); i++) {
if (seq.charAt(i) == '1') {
oneCount++;
} else {
if (seq.charAt(i - 1) == '1') {
System.out.print(oneCount);
zeroCount = 0;
} else {
System.out.print(oneCount - zeroCount);
}
zeroCount++;
}
}
System.out.print("\n");
}
static void stack(String currentSeq, int leftPushNum, int leftPopNum) {
if (leftPopNum == 0) {
printStack(currentSeq);
return;
}
if (leftPushNum == 0) {
for (int i = 0; i < leftPopNum; i++) {
currentSeq += "0";
}
printStack(currentSeq);
return;
}
if (leftPushNum == leftPopNum) {
stack(currentSeq + "1", leftPushNum - 1, leftPopNum);
} else {
stack(currentSeq + "1", leftPushNum - 1, leftPopNum);
stack(currentSeq + "0", leftPushNum, leftPopNum - 1);
}
}
public static void stack(int n) {
stack("", n, n);
}
public static void main(String[] argc) {
parenthese(4);
stack(4);
}
}
參考閱讀
求所有可能出棧序列
判斷出棧序列是否合法
卡特蘭數(shù)_百度百科
從《編程之美》買票找零問題說起
Unique Binary Search Trees
