前言
無論國際象棋還是中國象棋中，馬的走位都是先橫著或直著走一格，然后再斜著走一個對角線，俗稱“馬走日”。
那么在一個特定棋盤中馬在有限步數下有多少種走法？今天就研究一個關于“馬走日”的問題：騎士游歷。
題目
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單點時限:1000ms
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描述
在8x8的國際象棋棋盤上給定一只騎士（俗稱“馬”）棋子的位置(R, C)，小Hi想知道從(R, C)開始移動N步一共有多少種不同的走法。
輸入
第一行包含三個整數，N，R和C。
對于40%的數據， 1 <= N <= 1000000
對于100%的數據， 1 <= N <= 1000000000 1 <= R, C <= 8
輸出
從(R, C)開始走N步有多少種不同的走法。由于答案可能非常大，你只需要輸出答案模1000000007的余數。
樣例輸入
2 1 1
樣例輸出
12
分析
首先，比較直觀的思路是嚴格按照規則，每走一步記錄狀態，每個狀態下馬走的路徑最多8條，然后迭代查詢每條下面路徑下的子路徑，最后求的結果。這種思路是指數型增長的，并且迭代調用函數，可能沒計算幾步計算機就無能為力了。
既然迭代不行，就可以用動態規劃，記錄每一點每一步狀態下可能的路徑，但是這個方法在 N = 1000000000的時候還是會超時。
因為N會很大，如果按照直觀思路肯定是無法解，要么找到循環規律之類，要們降低N計算次數。
對于本題，我們看到其實馬走的路徑彼此之間是唯一聯系的，可以看作是連通圖，然后連通圖的鄰接矩陣A乘法就是路徑狀態的記錄。比如在8x8對于點（1，1），初始狀態與他相連的點是（2，3），（3，2），鄰接矩陣（1，1）對應的行狀態就是[0,0,...,1(10),0,..0...1(17),0]，所以如果N=1，總路徑就是2。N=2，我們就需要進行矩陣乘法AxA，（1，1）對應的狀態會變成[2,0,1,0,1,0...0,1(11)，0...0,1(16),0..0,1(20),0...0,1(25),0,2,0..0,1(32),0,1,0...0]，總路徑就是12。
初始聯通圖：
void initGrid()
{
for (int i = 1; i <= 8; i++) {
for (int j = 1; j <= 8; j++) {
int index = (i-1)*8+j-1;
if (j + 2 <= 8 && i + 1 <= 8) {
int temp = i*8+j+1;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j + 1 <= 8 && i + 2 <= 8) {
int temp = (i+1)*8+j;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j + 2 <= 8 && i - 1 >= 1) {
int temp = (i-2)*8+j+1;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j + 1 <= 8 && i - 2 >= 1) {
int temp = (i-3)*8+j;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 1 >= 1 && i - 2 >= 1) {
int temp = (i-3)*8+j-2;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 2 >= 1 && i - 1 >= 1) {
int temp = (i-2)*8+j-3;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 1 >= 1 && i + 2 <= 8) {
int temp = (i+1)*8+j-2;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 2 >= 1 && i + 1 <= 8) {
int temp = i*8+j-3;
grid[index][temp] = 1;
}
}
}
}
有了上面的原理，我們求某點出發的路徑總數，只需要進行矩陣乘法就行了，但是N很大，如果直接計算還是不行，我們需要用到快速冪運算。其原理就是把指數看作二進制數，比如A5，5看作二進制數就是101，A5=A1x22xA0x21xA1x20，一個數記錄a=A2x，另一個數記錄結果res，遇到二進制數為1就res=resxa，計算次數降低到log2N。快速冪運算不僅適用于數字，矩陣其實也是一樣的。只是乘積算法不同，對于數字，res初始為1，矩陣初始就是Indentity Martrix。
void mul1() // res * grid
{
long long temp[64][64];
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
for (int k = 0; k < 64; k++) {
temp[i][j] += res[i][k] * grid[k][j];
temp[i][j] %= m;
}
}
}
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
res[i][j] = temp[i][j];
}
}
}
void mul2() // grid * grid
{
long long temp[64][64];
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
for (int k = 0; k < 64; k++) {
temp[i][j] += grid[i][k] * grid[k][j];
temp[i][j] %= m;
}
}
}
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
grid[i][j] = temp[i][j];
}
}
}
void Factor(long long n)
{
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
if (i == j) {
res[i][j] = 1;
}
else
{
res[i][j] = 0;
}
}
}
while (n) {
if (n&1) {
mul1();
}
mul2();
n>>=1;
}
}
結果
順利AC，但是效率還有提高的地方。
完整代碼：
//
// main.cpp
// 騎士游歷
//
// Created by Jiao Liu on 7/9/19.
// Copyright ? 2019 ChangHong. All rights reserved.
//
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
long long grid[64][64];
long long res[64][64];
long long m = 1000000007;
long long n,r,c;
void initGrid()
{
for (int i = 1; i <= 8; i++) {
for (int j = 1; j <= 8; j++) {
int index = (i-1)*8+j-1;
if (j + 2 <= 8 && i + 1 <= 8) {
int temp = i*8+j+1;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j + 1 <= 8 && i + 2 <= 8) {
int temp = (i+1)*8+j;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j + 2 <= 8 && i - 1 >= 1) {
int temp = (i-2)*8+j+1;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j + 1 <= 8 && i - 2 >= 1) {
int temp = (i-3)*8+j;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 1 >= 1 && i - 2 >= 1) {
int temp = (i-3)*8+j-2;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 2 >= 1 && i - 1 >= 1) {
int temp = (i-2)*8+j-3;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 1 >= 1 && i + 2 <= 8) {
int temp = (i+1)*8+j-2;
grid[index][temp] = 1;
}
if (j - 2 >= 1 && i + 1 <= 8) {
int temp = i*8+j-3;
grid[index][temp] = 1;
}
}
}
}
void mul1() // res * grid
{
long long temp[64][64];
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
for (int k = 0; k < 64; k++) {
temp[i][j] += res[i][k] * grid[k][j];
temp[i][j] %= m;
}
}
}
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
res[i][j] = temp[i][j];
}
}
}
void mul2() // grid * grid
{
long long temp[64][64];
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
for (int k = 0; k < 64; k++) {
temp[i][j] += grid[i][k] * grid[k][j];
temp[i][j] %= m;
}
}
}
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
grid[i][j] = temp[i][j];
}
}
}
void Factor(long long n)
{
for (int i = 0; i < 64; i++) {
for (int j = 0; j < 64; j++) {
if (i == j) {
res[i][j] = 1;
}
else
{
res[i][j] = 0;
}
}
}
while (n) {
if (n&1) {
mul1();
}
mul2();
n>>=1;
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
memset(grid, 0, sizeof(grid));
initGrid();
cin>>n>>r>>c;
Factor(n);
long long ans = 0;
long long index = (r-1)*8+c-1;
for (int i = 0; i < 64; i++) {
ans += res[index][i];
ans %= m;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
