B-樹，就是B樹，B樹的原英文名是B-tree,所以很多翻譯為B-樹,就會很多人誤以為B-樹是一種樹、B樹是另外一種樹。其實，B-tree就是B樹。
B樹是一種多叉平衡查找樹，我們之前所介紹的紅黑樹是二叉查找樹結構，B樹由于是多叉結構，對于元素數量非常多的情況下，樹的深度不會像二叉結構那么大，可以保證查詢效率。
B樹的性質（m階的B樹）
- 樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）；
- 除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
- 根結點至少有2個孩子（除非B樹只包含一個結點：根結點）；
- 所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息(可以看做是外部結點或查詢失敗的結點，指向這些結點的指針都為null)；（注：葉子節點只是沒有孩子和指向孩子的指針，這些節點也存在，也有元素。類似紅黑樹中，每一個NULL指針即當做葉子結點，只是沒畫出來而已）。
- 每個非終端結點中包含有n個關鍵字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi為指向子樹根的結點，且指針P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
c) 關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。比如有j個孩子的非葉結點恰好有j-1個關鍵碼。
B樹的插入
根據B樹的性質，一個m階的B樹需要滿足：
- 樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。
- 除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
- 除根結點之外的結點的關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（葉子結點也必須滿足此條關于關鍵字數的性質）。
針對一棵高度為h的m階B樹，插入一個元素時，首先在B樹中是否存在，如果不存在，一般在葉子結點中插入該新的元素，此時分3種情況：
如果葉子結點空間足夠，即該結點的關鍵字數小于m-1，則直接插入在葉子結點的左邊或右邊；
如果空間滿了以致沒有足夠的空間去添加新的元素，即該結點的關鍵字數已經有了m個，則需要將該結點進行“分裂”，將一半數量的關鍵字元素分裂到新的其相鄰右結點中，中間關鍵字元素上移到父結點中，而且當結點中關鍵元素向右移動了，相關的指針也需要向右移。
此外，如果在上述中間關鍵字上移到父結點的過程中，導致根結點空間滿了，那么根結點也要進行分裂操作，這樣原來的根結點中的中間關鍵字元素向上移動到新的根結點中，因此導致樹的高度增加一層。
插入以下字符字母到一棵空的5階B 樹中：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S
分析： 根據上面的性質總結，5階的B樹，非根節點關鍵字個數n滿足2<=n<=4,每個節點最多含有5個孩子，除根節點葉子節點之外，其他節點至少3個孩子。
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關鍵字個數最大4，先取前4個插入到相同的節點中。
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插入H，因為步驟一后空間不夠，就需要將中間關鍵字元素上移到父結點中，樹增加一層
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在步驟二的圖中，可以繼續插入E,K,Q三個節點，繼續插就得分裂
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插入M將進行分裂，M剛好是中間元素，直接上移到父節點中，HK、NQ分開為兩個節點
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如步驟四的圖中可以繼續插入F,W,L,T
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在步驟五之后，插入Z就得進行分裂，T上移到父節點
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如步驟六的圖中插入D,進行分裂，D上移到父節點中，然后插入后續的P,R,X,Y節點沒有分裂
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插入最后一個S，含有N,P,Q,R的節點需要分裂，Q上移，導致父節點D,G,M,T也滿了，也需要進行分裂，繼續將中間元素M上移，產生新的節點，樹高度再加一層。
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B樹的刪除
首先查找B樹中要刪除的元素，若元素存在，則進行刪除。刪除該元素后，需要判斷該元素是否有左右孩子節點
- 如果有，則上移孩子節點中的相近元素(左孩子中最右邊的節點或者右孩子中最左邊的節點)到父節點中去，移動之后的情況。
- 如果沒有，直接刪除，移動之后的情況。
刪除元素，然后進行元素移動之后，如果節點關鍵字數目不滿足條件(小于ceil(m/2)-1),則需要看其相鄰的兄弟節點是否豐滿(關鍵字個數大于ceil(m/2)-1)
- 如果豐滿，則向父節點借一個元素來滿足
- 如果其相鄰兄弟都剛脫貧，即借了之后其結點數目小于ceil(m/2)-1，則該結點與其相鄰的某一兄弟結點進行“合并”成一個結點，以此來滿足條件。
對剛剛插入的樹進行刪除操作，依次刪除H,T,R,E
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刪除H,在葉子節點H,K,L中，刪除后還剩兩個關鍵字，能夠滿足不小于ceil(m/2)-1=2，進行簡單的刪除元素后面的元素向前移動即可。
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刪除T,QT節點不滿足關鍵字要求，需要上移孩子節點中相近元素W
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刪除R,刪除后RS節點只剩一個關鍵字，根據上面的分析，兄弟節點豐滿，就向父節點借一個W,同時X需要上移到父節點中去。
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刪除E,刪除后EF節點只剩一個關鍵字，根據上面分析，兄弟節點剛脫貧，則需要跟相鄰兄弟節點合并，D在兩個需要合并的節點之間，所以需要下移到之前的AC節點中，將僅剩的F進行合并，形成ACDF節點
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但是我們發現中間有一個節點只包含一個關鍵字，并且該節點非根節點，這個就需要進行修改。接下來進行分析：如果相鄰兄弟節點豐滿，可以從父節點中進行借一個元素，但是我們右邊的QX節點并不豐滿，所以只能下移M節點，減少樹的高度。最終圖如下：
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B+樹
B樹的一種變形樹，m階的B+樹和m階的B樹區別：
- 所有葉子節點包含全部關鍵字信息，及指向含有這些關鍵字記錄的指針，且葉子節點中關鍵字進行有序鏈接
- 非葉子結點相當于是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當于是存儲（關鍵字）數據的數據層；
B+樹比B樹更適合操作系統的文件索引和數據庫索引的原因：
- B+樹的磁盤讀寫代價更低，B+樹的內部節點沒有指向關鍵字具體信息的指針，因此內部節點相對B樹更小。如果把所有同一內部節點的關鍵字放在同一塊磁盤中，盤塊所能容納的關鍵字數量也就越多，一次性讀入內存中的需要查找的關鍵字也就越多，相對IO讀寫次數降低
舉個例子，假設磁盤中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B-tree(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤塊。而B+
樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入內存中的時候，B 樹就比B+ 樹多一次盤塊查找時間(在磁盤中就是盤片旋轉的時間)。
- B+樹的查詢效率更加穩定
由于非終結點并不是最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。
總而言之，B樹在提高了磁盤IO性能的同時并沒有解決元素遍歷的效率低下的問題。正是為了解決這個問題，B+樹應運而生。B+樹只要遍歷葉子節點就可以實現整棵樹的遍歷，支持基于范圍的查詢，而B樹不支持range-query這樣的操作（或者說效率太低）。
B樹*
B*樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；
B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，并將原結點中1/2的數據復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針。
B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，并各復制1/3的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針。
總結
B-樹：多路搜索樹，每個結點存儲M/2到M個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵字范圍的子結點；所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；
B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加鏈表指針，所有關鍵字都在葉子結點 中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；
B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加鏈表指針，將結點的最低利用率從1/2提高到2/3；
借鑒于July大神的分析
