B-樹(shù)，就是B樹(shù)，B樹(shù)的原英文名是B-tree,所以很多翻譯為B-樹(shù),就會(huì)很多人誤以為B-樹(shù)是一種樹(shù)、B樹(shù)是另外一種樹(shù)。其實(shí)，B-tree就是B樹(shù)。
B樹(shù)是一種多叉平衡查找樹(shù)，我們之前所介紹的紅黑樹(shù)是二叉查找樹(shù)結(jié)構(gòu)，B樹(shù)由于是多叉結(jié)構(gòu)，對(duì)于元素?cái)?shù)量非常多的情況下，樹(shù)的深度不會(huì)像二叉結(jié)構(gòu)那么大，可以保證查詢(xún)效率。
B樹(shù)的性質(zhì)（m階的B樹(shù)）
- 樹(shù)中每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多含有m個(gè)孩子（m>=2）；
- 除根結(jié)點(diǎn)和葉子結(jié)點(diǎn)外，其它每個(gè)結(jié)點(diǎn)至少有[ceil(m / 2)]個(gè)孩子（其中ceil(x)是一個(gè)取上限的函數(shù)）；
- 根結(jié)點(diǎn)至少有2個(gè)孩子（除非B樹(shù)只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)：根結(jié)點(diǎn)）；
- 所有葉子結(jié)點(diǎn)都出現(xiàn)在同一層，葉子結(jié)點(diǎn)不包含任何關(guān)鍵字信息(可以看做是外部結(jié)點(diǎn)或查詢(xún)失敗的結(jié)點(diǎn)，指向這些結(jié)點(diǎn)的指針都為null)；（注：葉子節(jié)點(diǎn)只是沒(méi)有孩子和指向孩子的指針，這些節(jié)點(diǎn)也存在，也有元素。類(lèi)似紅黑樹(shù)中，每一個(gè)NULL指針即當(dāng)做葉子結(jié)點(diǎn)，只是沒(méi)畫(huà)出來(lái)而已）。
- 每個(gè)非終端結(jié)點(diǎn)中包含有n個(gè)關(guān)鍵字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)為關(guān)鍵字，且關(guān)鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi為指向子樹(shù)根的結(jié)點(diǎn)，且指針P(i-1)指向子樹(shù)種所有結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
c) 關(guān)鍵字的個(gè)數(shù)n必須滿(mǎn)足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。比如有j個(gè)孩子的非葉結(jié)點(diǎn)恰好有j-1個(gè)關(guān)鍵碼。
B樹(shù)的插入
根據(jù)B樹(shù)的性質(zhì)，一個(gè)m階的B樹(shù)需要滿(mǎn)足：
- 樹(shù)中每個(gè)結(jié)點(diǎn)含有最多含有m個(gè)孩子，即m滿(mǎn)足：ceil(m/2)<=m<=m。
- 除根結(jié)點(diǎn)和葉子結(jié)點(diǎn)外，其它每個(gè)結(jié)點(diǎn)至少有[ceil(m / 2)]個(gè)孩子（其中ceil(x)是一個(gè)取上限的函數(shù)）；
- 除根結(jié)點(diǎn)之外的結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字的個(gè)數(shù)n必須滿(mǎn)足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（葉子結(jié)點(diǎn)也必須滿(mǎn)足此條關(guān)于關(guān)鍵字?jǐn)?shù)的性質(zhì)）。
針對(duì)一棵高度為h的m階B樹(shù)，插入一個(gè)元素時(shí)，首先在B樹(shù)中是否存在，如果不存在，一般在葉子結(jié)點(diǎn)中插入該新的元素，此時(shí)分3種情況：
如果葉子結(jié)點(diǎn)空間足夠，即該結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)小于m-1，則直接插入在葉子結(jié)點(diǎn)的左邊或右邊；
如果空間滿(mǎn)了以致沒(méi)有足夠的空間去添加新的元素，即該結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)已經(jīng)有了m個(gè)，則需要將該結(jié)點(diǎn)進(jìn)行“分裂”，將一半數(shù)量的關(guān)鍵字元素分裂到新的其相鄰右結(jié)點(diǎn)中，中間關(guān)鍵字元素上移到父結(jié)點(diǎn)中，而且當(dāng)結(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵元素向右移動(dòng)了，相關(guān)的指針也需要向右移。
此外，如果在上述中間關(guān)鍵字上移到父結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，導(dǎo)致根結(jié)點(diǎn)空間滿(mǎn)了，那么根結(jié)點(diǎn)也要進(jìn)行分裂操作，這樣原來(lái)的根結(jié)點(diǎn)中的中間關(guān)鍵字元素向上移動(dòng)到新的根結(jié)點(diǎn)中，因此導(dǎo)致樹(shù)的高度增加一層。
插入以下字符字母到一棵空的5階B 樹(shù)中：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S
分析： 根據(jù)上面的性質(zhì)總結(jié)，5階的B樹(shù)，非根節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)n滿(mǎn)足2<=n<=4,每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多含有5個(gè)孩子，除根節(jié)點(diǎn)葉子節(jié)點(diǎn)之外，其他節(jié)點(diǎn)至少3個(gè)孩子。
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關(guān)鍵字個(gè)數(shù)最大4，先取前4個(gè)插入到相同的節(jié)點(diǎn)中。
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插入H，因?yàn)椴襟E一后空間不夠，就需要將中間關(guān)鍵字元素上移到父結(jié)點(diǎn)中，樹(shù)增加一層
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在步驟二的圖中，可以繼續(xù)插入E,K,Q三個(gè)節(jié)點(diǎn)，繼續(xù)插就得分裂
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插入M將進(jìn)行分裂，M剛好是中間元素，直接上移到父節(jié)點(diǎn)中，HK、NQ分開(kāi)為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)
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如步驟四的圖中可以繼續(xù)插入F,W,L,T
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在步驟五之后，插入Z就得進(jìn)行分裂，T上移到父節(jié)點(diǎn)
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如步驟六的圖中插入D,進(jìn)行分裂，D上移到父節(jié)點(diǎn)中，然后插入后續(xù)的P,R,X,Y節(jié)點(diǎn)沒(méi)有分裂
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插入最后一個(gè)S，含有N,P,Q,R的節(jié)點(diǎn)需要分裂，Q上移，導(dǎo)致父節(jié)點(diǎn)D,G,M,T也滿(mǎn)了，也需要進(jìn)行分裂，繼續(xù)將中間元素M上移，產(chǎn)生新的節(jié)點(diǎn)，樹(shù)高度再加一層。
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B樹(shù)的刪除
首先查找B樹(shù)中要?jiǎng)h除的元素，若元素存在，則進(jìn)行刪除。刪除該元素后，需要判斷該元素是否有左右孩子節(jié)點(diǎn)
- 如果有，則上移孩子節(jié)點(diǎn)中的相近元素(左孩子中最右邊的節(jié)點(diǎn)或者右孩子中最左邊的節(jié)點(diǎn))到父節(jié)點(diǎn)中去，移動(dòng)之后的情況。
- 如果沒(méi)有，直接刪除，移動(dòng)之后的情況。
刪除元素，然后進(jìn)行元素移動(dòng)之后，如果節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字?jǐn)?shù)目不滿(mǎn)足條件(小于ceil(m/2)-1),則需要看其相鄰的兄弟節(jié)點(diǎn)是否豐滿(mǎn)(關(guān)鍵字個(gè)數(shù)大于ceil(m/2)-1)
- 如果豐滿(mǎn)，則向父節(jié)點(diǎn)借一個(gè)元素來(lái)滿(mǎn)足
- 如果其相鄰兄弟都剛脫貧，即借了之后其結(jié)點(diǎn)數(shù)目小于ceil(m/2)-1，則該結(jié)點(diǎn)與其相鄰的某一兄弟結(jié)點(diǎn)進(jìn)行“合并”成一個(gè)結(jié)點(diǎn)，以此來(lái)滿(mǎn)足條件。
對(duì)剛剛插入的樹(shù)進(jìn)行刪除操作，依次刪除H,T,R,E
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刪除H,在葉子節(jié)點(diǎn)H,K,L中，刪除后還剩兩個(gè)關(guān)鍵字，能夠滿(mǎn)足不小于ceil(m/2)-1=2，進(jìn)行簡(jiǎn)單的刪除元素后面的元素向前移動(dòng)即可。
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刪除T,QT節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足關(guān)鍵字要求，需要上移孩子節(jié)點(diǎn)中相近元素W
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刪除R,刪除后RS節(jié)點(diǎn)只剩一個(gè)關(guān)鍵字，根據(jù)上面的分析，兄弟節(jié)點(diǎn)豐滿(mǎn)，就向父節(jié)點(diǎn)借一個(gè)W,同時(shí)X需要上移到父節(jié)點(diǎn)中去。
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刪除E,刪除后EF節(jié)點(diǎn)只剩一個(gè)關(guān)鍵字，根據(jù)上面分析，兄弟節(jié)點(diǎn)剛脫貧，則需要跟相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)合并，D在兩個(gè)需要合并的節(jié)點(diǎn)之間，所以需要下移到之前的AC節(jié)點(diǎn)中，將僅剩的F進(jìn)行合并，形成ACDF節(jié)點(diǎn)
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但是我們發(fā)現(xiàn)中間有一個(gè)節(jié)點(diǎn)只包含一個(gè)關(guān)鍵字，并且該節(jié)點(diǎn)非根節(jié)點(diǎn)，這個(gè)就需要進(jìn)行修改。接下來(lái)進(jìn)行分析：如果相鄰兄弟節(jié)點(diǎn)豐滿(mǎn)，可以從父節(jié)點(diǎn)中進(jìn)行借一個(gè)元素，但是我們右邊的QX節(jié)點(diǎn)并不豐滿(mǎn)，所以只能下移M節(jié)點(diǎn)，減少樹(shù)的高度。最終圖如下：
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B+樹(shù)
B樹(shù)的一種變形樹(shù)，m階的B+樹(shù)和m階的B樹(shù)區(qū)別：
- 所有葉子節(jié)點(diǎn)包含全部關(guān)鍵字信息，及指向含有這些關(guān)鍵字記錄的指針，且葉子節(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵字進(jìn)行有序鏈接
- 非葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是葉子結(jié)點(diǎn)的索引（稀疏索引），葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是存儲(chǔ)（關(guān)鍵字）數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層；
B+樹(shù)比B樹(shù)更適合操作系統(tǒng)的文件索引和數(shù)據(jù)庫(kù)索引的原因：
- B+樹(shù)的磁盤(pán)讀寫(xiě)代價(jià)更低，B+樹(shù)的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)沒(méi)有指向關(guān)鍵字具體信息的指針，因此內(nèi)部節(jié)點(diǎn)相對(duì)B樹(shù)更小。如果把所有同一內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字放在同一塊磁盤(pán)中，盤(pán)塊所能容納的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量也就越多，一次性讀入內(nèi)存中的需要查找的關(guān)鍵字也就越多，相對(duì)IO讀寫(xiě)次數(shù)降低
舉個(gè)例子，假設(shè)磁盤(pán)中的一個(gè)盤(pán)塊容納16bytes，而一個(gè)關(guān)鍵字2bytes，一個(gè)關(guān)鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B-tree(一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多8個(gè)關(guān)鍵字)的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)需要2個(gè)盤(pán)塊。而B(niǎo)+
樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)只需要1個(gè)盤(pán)快。當(dāng)需要把內(nèi)部結(jié)點(diǎn)讀入內(nèi)存中的時(shí)候，B 樹(shù)就比B+ 樹(shù)多一次盤(pán)塊查找時(shí)間(在磁盤(pán)中就是盤(pán)片旋轉(zhuǎn)的時(shí)間)。
- B+樹(shù)的查詢(xún)效率更加穩(wěn)定
由于非終結(jié)點(diǎn)并不是最終指向文件內(nèi)容的結(jié)點(diǎn)，而只是葉子結(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵字的索引。所以任何關(guān)鍵字的查找必須走一條從根結(jié)點(diǎn)到葉子結(jié)點(diǎn)的路。所有關(guān)鍵字查詢(xún)的路徑長(zhǎng)度相同，導(dǎo)致每一個(gè)數(shù)據(jù)的查詢(xún)效率相當(dāng)。
總而言之，B樹(shù)在提高了磁盤(pán)IO性能的同時(shí)并沒(méi)有解決元素遍歷的效率低下的問(wèn)題。正是為了解決這個(gè)問(wèn)題，B+樹(shù)應(yīng)運(yùn)而生。B+樹(shù)只要遍歷葉子節(jié)點(diǎn)就可以實(shí)現(xiàn)整棵樹(shù)的遍歷，支持基于范圍的查詢(xún)，而B(niǎo)樹(shù)不支持range-query這樣的操作（或者說(shuō)效率太低）。
B樹(shù)*
B*樹(shù)是B+樹(shù)的變體，在B+樹(shù)的非根和非葉子結(jié)點(diǎn)再增加指向兄弟的指針；
B+樹(shù)的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿(mǎn)時(shí)，分配一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，并將原結(jié)點(diǎn)中1/2的數(shù)據(jù)復(fù)制到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)中增加新結(jié)點(diǎn)的指針；B+樹(shù)的分裂只影響原結(jié)點(diǎn)和父結(jié)點(diǎn)，而不會(huì)影響兄弟結(jié)點(diǎn)，所以它不需要指向兄弟的指針。
B*樹(shù)的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿(mǎn)時(shí)，如果它的下一個(gè)兄弟結(jié)點(diǎn)未滿(mǎn)，那么將一部分?jǐn)?shù)據(jù)移到兄弟結(jié)點(diǎn)中，再在原結(jié)點(diǎn)插入關(guān)鍵字，最后修改父結(jié)點(diǎn)中兄弟結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字（因?yàn)樾值芙Y(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿(mǎn)了，則在原結(jié)點(diǎn)與兄弟結(jié)點(diǎn)之間增加新結(jié)點(diǎn)，并各復(fù)制1/3的數(shù)據(jù)到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)增加新結(jié)點(diǎn)的指針。
總結(jié)
B-樹(shù)：多路搜索樹(shù)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)M/2到M個(gè)關(guān)鍵字，非葉子結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)指向關(guān)鍵字范圍的子結(jié)點(diǎn)；所有關(guān)鍵字在整顆樹(shù)中出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次，非葉子結(jié)點(diǎn)可以命中；
B+樹(shù)：在B-樹(shù)基礎(chǔ)上，為葉子結(jié)點(diǎn)增加鏈表指針，所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn) 中出現(xiàn)，非葉子結(jié)點(diǎn)作為葉子結(jié)點(diǎn)的索引；B+樹(shù)總是到葉子結(jié)點(diǎn)才命中；
B*樹(shù)：在B+樹(shù)基礎(chǔ)上，為非葉子結(jié)點(diǎn)也增加鏈表指針，將結(jié)點(diǎn)的最低利用率從1/2提高到2/3；
借鑒于July大神的分析
